Equazioni di secondo grado spurie

Le equazioni di secondo grado spurie sono le equazioni espresse nella forma

a x^{2}+bx=0

Essa deriva dall’equazione in forma completa ax^{2}+bx+c=0 , in cui il temine c è uguale a 0.

Ma come si risolve una equazione di secondo grado spuria?

A questa domanda si risponde facilmente, poiché è sufficiente ricordare che le due soluzioni sono sempre:

x_{1}=0

x_{2}=-\frac{b}{a}

Vediamo alcuni esempi applicativi.

Esempio 1

4x^{2}-12x=0

In questa equazione i valori di riferimento sono i seguenti:

a=+4

b=-12

Non resta che sostituire questi valori all’interno delle formule risolutive:

x_{1}=0

x_{2}=-\frac{-12}{4}=+\frac{12}{4}=+3

Esempio 2

-2x^{2}+9x=0

Come per l’esempio 1, identifichiamo i valori di riferimento che ci aiuteranno a risolvere l’equazione:

a=-2

b=+9

Ora sostituiamo i valori all’interno delle formule, ottenendo:

x_{1}=0

x_{2}=-\frac{+9}{-2}=+\frac{9}{2}

Esempio 3

-5x^{2}-10x=0

In questo ultimo esempio i valori di riferimento per le formule risolutive sono i seguenti:

a=-5

b=-10

Le soluzioni dell’equazione le otteniamo sostituendo i valori:

x_{1}=0

x_{2}=-\frac{-10}{-5}=-\frac{10}{5}=-2


Qual è l’origine delle formule risolutive per svolgere le equazioni di secondo grado spurie? Lo vediamo!

Consideriamo la formula risolutiva delle equazioni di secondo grado complete:

x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{ b^{2}-4ac}}{2a}

Come detto, il termine c è uguale a 0: di conseguenza, se sostituiamo 0 al posto della lettera c, la formula si riduce come segue:

x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{ b^{2}}}{2a}

Portiamo fuori il termine al quadrato e usiamo \sqrt{b^2}=b (vero solo se b>0), ottenendo così:

x_{1,2}=\frac{-b\pm\ b}{2a}

Ora è possibile ottenere le formule iniziali:

x_{1}=\frac{-b+b}{2a}=\frac{0}{2a}=0

x_{2}=\frac{-b-b}{2a}=\frac{-2b}{2a}=-\frac{b}{a}


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Equazioni di secondo grado pure

Le equazioni di secondo grado pure sono le equazioni espresse nella forma

a x^{2}+c=0

Essa deriva dall’equazione in forma completa ax^{2}+bx+c=0 , in cui il temine b è uguale a 0.

Ma come si risolve una equazione di secondo grado pura?

A questa domanda si risponde facilmente, poiché è sufficiente ricordarsi ed applicare le due piccole formule sotto riportate:

x_{1}=-\sqrt{-\frac{c}{a}}

x_{2}=+\sqrt{-\frac{c}{a}}

Vediamo con alcuni esempi come si applicano queste formule.

Esempio 1

 x^{2}-4=0

In questa equazione i valori di riferimento sono i seguenti:

a=+1

c=-4

Non resta che sostituire questi valori all’interno delle formule risolutive:

x_{1}=-\sqrt{-\frac{-4}{1}}=-\sqrt{\frac{4}{1}}=-\sqrt{4}}=-2

x_{2}=+\sqrt{-\frac{-4}{1}}=+\sqrt{\frac{4}{1}}=+\sqrt{4}}=+2

Esempio 2

 16x^{2}-1=0

Come per l’esempio 1, identifichiamo i valori di riferimento che ci aiuteranno a risolvere l’equazione:

a=+16

c=-1

Ora sostituiamo i valori all’interno delle formule, ottenendo:

x_{1}=-\sqrt{-\frac{-1}{16}}=-\sqrt{\frac{1}{16}}=-\frac{1}{4}

x_{2}=+\sqrt{-\frac{-1}{16}}=+\sqrt{\frac{1}{16}}=+\frac{1}{4}

Esempio 3

-25x^{2}+9=0

In questo ultimo esempio i valori di riferimento per le formule risolutive sono i seguenti:

a=-25

c=+9

Le soluzioni dell’equazione le otteniamo sostituendo i valori:

x_{1}=-\sqrt{-\frac{9}{-25}}=-\sqrt{\frac{9}{25}}=-\frac{3}{5}

x_{2}=+\sqrt{-\frac{9}{-25}}=+\sqrt{\frac{9}{25}}=+\frac{3}{5}


Qual è l’origine delle formule risolutive per svolgere le equazioni di secondo grado pure? Lo vediamo!

Scriviamo l’equazione ax^{2}+bx+c=0 in modo che a>0 . Se non è così, cambiamo tutto di
segno. Questo passo è importante perché la radice quadrata prende argomenti positivi e
restituisce numeri positivi.

Consideriamo la formula risolutiva delle equazioni di secondo grado complete:

x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{ b^{2}-4ac}}{2a}

Come detto, il termine b è uguale a 0: di conseguenza, se sostituiamo 0 al posto della lettera b, la formula si riduce come segue:

x_{1,2}=\frac{\pm\sqrt{-4ac}}{2a}

Possiamo portare fuori radice il 4, ottenendo così:

x_{1,2}=\frac{\pm2\sqrt{-ac}}{2a}

Ora possiamo semplificare il 2 sopra e sotto; la formula si riduce alla forma seguente:

x_{1,2}=\frac{\pm\sqrt{-ac}}{a}

Moltiplicando numeratore e denominatore per \sqrt{a} (si può fare solo se a>0) si ottiene:

x_{1,2}=\frac{\pm\sqrt{-ac}\cdot\sqrt{a}}{a\cdot\sqrt{a}}

Eseguendo la moltiplicazione a numeratore si ottiene:

x_{1,2}=\frac{\pm\sqrt{-a^2c}}{a\cdot\sqrt{a}}

Portiamo fuori il termine al quadrato e usiamo \sqrt{a^2}=a (vero solo se a>0), ottenendo così:

x_{1,2}=\frac{\pm{a}\sqrt{-c}}{a\cdot\sqrt{a}}

Ora è possibile semplificare i due termini a che si trovano a numeratore e a denominatore; in questo modo otteniamo:

x_{1,2}=\frac{\pm\sqrt{-c}}{\sqrt{a}}

Le radici presenti a numeratore e a denominatore hanno lo stesso indice, quindi è possibile applicare la stessa radice al rapporto \frac{-c}{a} ; a questo punto si ottiene la formula finale:

x_{1,2}=\pm\sqrt{\frac{-c}{a}}

Essa corrisponde alle due formule:

x_{1}=-\sqrt{-\frac{c}{a}}

x_{2}=+\sqrt{-\frac{c}{a}}


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Equazioni di primo grado fratte

Vuoi sapere cosa sono le equazioni di primo grado fratte e come si risolvono? Sei nel posto giusto!

Le equazioni di primo grado fratte (anche dette equazioni fratte di primo grado) sono le equazioni nelle quali l’incognita (solitamente indicata con x) è presente almeno una volta a denominatore.

Generalmente questo tipo di equazioni si rappresentano, in forma normale, come segue:

\frac{N(x)}{D(x)}=0

in cui N(x) e D(x) sono, rispettivamente, i polinomi al numeratore e al denominatore della frazione.

Per svolgere un’equazione di primo grado fratta è necessario seguire alcuni passaggi, di seguito elencati:

  1. Porre le condizioni di esistenza (cioè indicare i casi in cui il denominatore non può essere 0).
  2. Ridurre in forma normale l’equazione iniziale
  3. Eliminare i denominatori
  4. Confrontare la soluzione con le condizioni di esistenza

Utilizziamo alcuni esempi per capire bene come si svolge un’equazione fratta di primo grado.

Prima di iniziare può essere utile rivedere come si risolve una equazione di primo grado intera!

Esempio 1

\frac{2}{x-1}=1

L’equazione dell’esempio è un’equazione di primo grado fratta, poiché la x compare a denominatore della frazione a sinistra.

Il primo passaggio consiste nel porre le condizioni di esistenza. In questo caso la condizione da porre è la seguente: x-1 \neq 0.

Con un semplice passaggio, portiamo il -1 a destra, cambiandolo di segno, ottenendo così: x \neq +1.

Ora si prosegue riducendo in forma normale la nostra equazione: ciò significa determinare il minimo comune multiplo (m.c.m.) dei denominatori. In questo caso c’è un unico denominatore, quindi avremo:

\frac{2}{x-1}=\frac{x-1}{x-1}

Moltiplicando a sinistra e a destra per x-1 è possibile eliminare i denominatori (si semplifica), ottenendo:

2=x-1

Portiamo la x al primo membro e il 2 al secondo membro (cambiando il segno):

-x=-2-1

Svolgiamo il calcolo al secondo membro, ottendendo:

-x=-3

Ora non resta che moltiplicare a sinistra e a destra per -1, così la x risulterà positiva:

x=3

Se confrontiamo la soluzione ottenuta (x=3) con le condizioni di esistenza ( x \neq +1) si può affermare che la soluzione è accettabile.

Esempio 2

\frac{x+3}{2x-2}=\frac{x+1}{x-1}

Prima di porre le condizioni di esistenza, osserviamo il denominatore della frazione del primo membro (2x-2): è possibile raccogliere il 2, ottenendo cosi:

\frac{x+3}{2(x-1)}=\frac{x+1}{x-1}

Ora possiamo porre le condizioni di esistenza: x-1 \neq 0. Con un semplice passaggio, portiamo il -1 a destra, cambiandolo di segno, ottenendo così: x \neq +1.

Il m.c.m. dei denominatori è 2(x-1), quindi avremo:

\frac{x+3}{2(x-1)}=\frac{2(x+1)}{2(x-1)}

Eliminando i denominatori si ottiene x+3=2(x+1).

Risolviamo la parentesi al secondo membro, ottenendo x+3=2x+2.

Portiamo le x a sinistra e i termini noti a destra, cambiando i segni; otteniamo così: x-2x=2-3

Svolgiamo i calcoli e otteniamo -x=-1.

Moltiplicando per -1 a sinistra e a destra otteniamo la soluzione finale, cioè x=1.

Se confrontiamo la soluzione ottenuta (x=1) con le condizioni di esistenza ( x \neq +1) si può affermare che la soluzione non è accettabile, quindi l’equazione è impossibile.


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Radice di una frazione

La radice di una frazione è un’operazione molto particolare che richiede attenzione.

In generale, la radice è l’opposto della potenza; per esempio:

2^4=16\to\sqrt[4]{16}=2

In questa lezione vedremo come si calcola la radice di una frazione.

In generale, vale la regola seguente:

\sqrt[a]{\frac{N}{D}}= \frac{\sqrt[a]{N}}{\sqrt[a]{D}}

Concretamente, la radice di una frazione con indice a si calcola applicando la radice sia al numeratore che al denominatore.

Presentiamo alcuni esempi per chiarire maggiormente questa regola. Se preferisci, a fondo pagina, puoi trovare un’utilissima videolezione!

Esempio 1

\sqrt[]{\frac{16}{25}}

In questo esempio è presente una radice quadrata (cioè con indice 2). Per svolgere questa operazione è sufficiente applicare la radice quadrata sia al numeratore che al denominatore della frazione, come di seguito presentato:

\sqrt[]{\frac{16}{25}}= \frac{\sqrt[]{16}}{\sqrt[]{25}} =\frac{4}{5}

Per verificare che il risultato ottenuto è corretto, è sufficiente applicare l’operazione inversa alla radice, cioè la potenza. Considerando che l’opposto della radice quadrata è la potenza alla seconda (o, al quadrato), avremo:

\frac{4^2}{5^2}=\frac{16}{25}

Esempio 2

\sqrt[3]{\frac{8}{125}}

In questo esempio è presente una radice con indice 3 (cioè una radice cubica). Per svolgere questa operazione è sufficiente applicare la radice cubica sia al numeratore che al denominatore della frazione, come di seguito presentato:

\sqrt[3]{\frac{8}{125}}= \frac{\sqrt[3]{8}}{\sqrt[3]{125}} =\frac{2}{5}

Per verificare che il risultato ottenuto è corretto, è sufficiente applicare l’operazione inversa alla radice, cioè la potenza. Considerando che l’opposto della radice cubica è la potenza alla terza (o, al cubo), avremo:

\frac{2^3}{5^3}=\frac{8}{125}

Esempio 3

\sqrt[]{1+\sqrt[]{\frac{49}{81}}}

In questo esempio è presente una doppia radice. Per svolgere questa operazione è necessario, innanzitutto, svolgere la radice interna; successivamente – quando tutte le operazioni sono state svolte e si ha un solo termine – si può risolvere la seconda radice.

Si precede, quindi, calcolando la prima radice (applicando la radice quadrata sia al numeratore che al denominatore), ottenendo:

\sqrt[]{1+\frac{7}{9}}}

Ora non resta che svolgere l’addizione, applicando le regole dell’addizione di frazioni, ottenendo così:

\sqrt[]{\frac{16}{9}}}

Applicando la radice quadrata sia al numeratore che al denominatore si ottiene:

\sqrt[]{\frac{16}{9}}= \frac{\sqrt[]{16}}{\sqrt[]{9}} =\frac{4}{3}

Questa che abbiamo appena presentato  non è l’unica operazione che è possibile svolgere con le frazioni.

Se desideri, puoi accedere ad altre lezioni sulle operazioni con le frazioni! In particolare:

E per finire, non perdere una lezione semplice ma efficace sulle espressioni con le frazioni!

Nel canale Youtube matematicaoggi è presente un’interessante playlist con una serie di videolezioni coinvolgenti, che completano le lezioni sopra elencate.

Frazioni con le proprietà delle potenze

In questa lezione vedremo le frazioni con le proprietà delle potenze.

Le proprietà delle potenze sono applicabili in molte operazioni matematiche.

Come si applicano le proprietà delle potenze alle frazioni?

  • Per prima cosa si applicano le regole in base alla specifica proprietà delle potenze
  • In seguito si applicano gli esponenti alla frazione risultante, ottenendo il risultato finale

Ci facciamo aiutare da alcuni esempi, specifici per ogni proprietà.

Prima proprietà delle potenze: prodotto di potenze con la stessa base

Esempio:

\left (  \frac{2}{3}\right )^2\cdot \left (  \frac{2}{3}\right )^3 =

La proprietà prevede di mantenere la stessa base e di sommare gli esponenti, ottenendo:

\left (  \frac{2}{3}\right )^2\cdot \left (  \frac{2}{3}\right )^3 =\left (  \frac{2}{3}\right )^{2+3}=\left (  \frac{2}{3}\right )^5

Ora non resta che svolgere la potenza, applicando l’esponente sia al numeratore che al denominatore:

\left (  \frac{2}{3}\right )^5=\frac{2^5}{3^5}\ =\frac{32}{243}\

Seconda proprietà delle potenze: quoziente di potenze con la stessa base

Esempio:

\left (  \frac{5}{4}\right )^6: \left (  \frac{5}{4}\right )^4 =

La proprietà prevede di mantenere la stessa base e di sottrarre gli esponenti, ottenendo:

\left (  \frac{5}{4}\right )^6: \left (  \frac{5}{4}\right )^4 =\left (  \frac{5}{4}\right )^{6-4}=\left (  \frac{5}{4}\right )^2

Ora non resta che svolgere la potenza, applicando l’esponente sia al numeratore che al denominatore:

\left (  \frac{5}{4}\right )^2=\frac{5^2}{4^2}\ =\frac{25}{16}\

Terza proprietà delle potenze: potenza di potenza

Esempio:

\left [  \left (  \frac{1}{2}\right )^3\right ]^2=

La proprietà prevede di mantenere la stessa base e di moltiplicare tra loro gli esponenti, ottenendo:

\left [  \left (  \frac{1}{2}\right )^3\right ]^2=  \left (  \frac{1}{2}\right )^{3 \cdot2}=  \left (  \frac{1}{2}\right )^6

Ora non resta che svolgere la potenza, applicando l’esponente sia al numeratore che al denominatore:

\left (  \frac{1}{2}\right )^6=\frac{1^6}{2^6}=\frac{1}{64}

Quarta proprietà delle potenze: prodotto di potenze con lo stesso esponente

Esempio:

\left (  \frac{3}{2}\right )^2\cdot \left (  \frac{1}{2}\right )^2 =

La proprietà prevede di mantenere lo stesso esponente e di moltiplicare le basi, ottenendo:

\left (  \frac{3}{2}\right )^2\cdot \left (  \frac{1}{2}\right )^2 =\left (  \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}\right )^2=\left (  \frac{3}{4}\right )^2

Ora non resta che svolgere la potenza, applicando l’esponente sia al numeratore che al denominatore:

\left (  \frac{3}{4}\right )^2=\frac{3^2}{4^2}=\frac{9}{16}

Quinta proprietà delle potenze: quoziente di potenze con lo stesso esponente

Esempio:

\left (  \frac{1}{3}\right )^3: \left (  \frac{1}{2}\right )^3 =

La proprietà prevede di mantenere lo stesso esponente e di dividere le basi (ricordando che la divisione di frazioni diventa una moltiplicazione, invertendo numeratore e denominatore della seconda frazione), ottenendo:

\left (  \frac{1}{3}\right )^3: \left (  \frac{1}{2}\right )^3 =\left (  \frac{1}{3} : \frac{1}{2}\right )^3=\left (  \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{1}\right )^3=\left (  \frac{2}{3}\right )^3

Ora non resta che svolgere la potenza, applicando l’esponente sia al numeratore che al denominatore:

\left (  \frac{2}{3}\right )^3=\frac{2^3}{3^3}=\frac{8}{27}

Approfondimento: Videolezione sulle espressioni con le frazioni e le proprietà delle potenze

Potenza di una frazione

La potenza di una frazione è un’operazione da svolgere con attenzione, poiché si possono commettere alcuni errori importanti.

Per prima cosa è bene distinguere due casi:

  1. Potenza di una frazione con esponente positivo
  2. Potenza di una frazione con esponente negativo

Vediamo nel dettaglio come si affrontano.

1° caso – Potenza con esponente positivo

Questo è il caso più semplice; esso segue la regola seguente:

\left ( \frac{N}{D} \right )^a=\frac{N^a}{D^a}

In sintesi, per svolgere la potenza con esponente positivo è sufficiente applicare l’esponente sia al numeratore che al denominatore della frazione all’interno della parentesi.

Vediamo alcuni esempi nella tabella seguente:

\left ( \frac{3}{2} \right )^2 \frac{3^2}{2^2} \frac{9}{4}
\left ( \frac{1}{4} \right )^3 \frac{1^3}{4^3} \frac{1}{64}
\left ( \frac{9}{5} \right )^1 \frac{9^1}{5^1} \frac{9}{5}
\left ( \frac{10}{7} \right )^0 \frac{10^0}{7^0} \frac{1}{1}= 1

2° caso – Potenza con esponente negativo

Questo è il caso richiede maggiore attenzione (è possibile fare riferimento anche alla lezione sulle potenze con esponente negativo); esso segue la regola seguente:

\left ( \frac{N}{D} \right )^{-a}=\left ( \frac{D}{N} \right )^{a}=\frac{D^a}{N^a}

In sintesi, per svolgere la potenza con esponente negativo è necessario, prima di tutto, invertire la posizione del numeratore con quella del denominatore, togliendo il segno meno dall’esponente; in seguito, si procede come nel primo caso, quindi è sufficiente applicare l’esponente sia al numeratore che al denominatore della frazione all’interno della parentesi.

Vediamo alcuni esempi nella tabella seguente:

\left ( \frac{4}{3} \right )^{-2} \left ( \frac{3}{4} \right )^{2} \frac{3^2}{4^2} \frac{9}{16}
\left ( \frac{3}{2} \right )^{-3} \left ( \frac{2}{3} \right )^{3} \frac{2^3}{3^3} \frac{8}{27}
\left ( \frac{11}{7} \right )^{-1} \left ( \frac{7}{11} \right )^{1} \frac{7^1}{11^1} \frac{7}{11}
\left ( \frac{1}{2} \right )^{-5} \left ( \frac{2}{1} \right )^{5} \frac{2^5}{1^5} \frac{32}{1}=32

Se la spiegazione che ti abbiamo presentato non ti è stata sufficientemente chiara, ti invitiamo a vedere la videolezione!

Questa che abbiamo appena presentato  non è l’unica operazione che è possibile svolgere con le frazioni.

Se desideri, puoi accedere ad altre lezioni sulle operazioni con le frazioni! In particolare:

E per finire, non perdere una lezione semplice ma efficace sulle espressioni con le frazioni!

Nel canale Youtube matematicaoggi è presente un’interessante playlist con una serie di videolezioni coinvolgenti, che completano le lezioni sopra elencate.

Riduzione di radicali allo stesso indice

La riduzione di radicali allo stesso indice è un’operazione che permette di trasformare due o più radicali in altri aventi lo stesso indice di radice.

Per poter svolgere questa trasformazione sono necessari alcuni passaggi, di seguito elencati:

  • (quando possibile) semplificare i radicali iniziali;
  • calcolare il minimo comune multiplo (m.c.m.) degli indici di radice;
  • trasformare i radicali iniziali in altri che hanno lo stesso indice, corrispondente al minimo comune multiplo.

Il terzo passaggio è quello fondamentale, che vedremo nel dettaglio grazie agli esempi sotto riportati.

Esempio 1

Ridurre allo stesso indice i seguenti radicali: \sqrt[3]{2} e \sqrt[4]{3}

Prima di tutto osserviamo i radicali e verifichiamo se è possibile semplificarli: in questo caso la semplificazione non è possibile.

In seguito, calcoliamo il m.c.m. degli indici di radice, cioè minimo comune multiplo di 3 e 4; avremo, quindi:

m.c.m. (3; 4) = 12.

L’ultimo passaggio prevede la trasformazione dei radicali iniziali, dividendo l’indice di radice corrispondente al m.c.m. per quelli iniziali e applicando il risultato della divisione al radicando.

Consideriamo il primo radicale: \sqrt[3]{2}

  • Dividiamo il m.c.m. per l’indice di radice: 12 : 3 = 4
  • Applichiamo al radicando il quoziente sopra ottenuto: 24 = 16
  • Scriviamo il nuovo radicale: \sqrt[3]{2} = \sqrt[12]{16}

Consideriamo ora il secondo radicale: \sqrt[4]{3}

  • Dividiamo il m.c.m. per l’indice di radice: 12 : 4 = 3
  • Applichiamo al radicando il quoziente sopra ottenuto: 33 = 27
  • Scriviamo il nuovo radicale: \sqrt[4]{3} = \sqrt[12]{27}

Esempio 2

Ridurre allo stesso indice i seguenti radicali: \sqrt[8]{2^6} , \sqrt[3]{17} e \sqrt[5]{21}

Prima di tutto osserviamo i radicali e verifichiamo se è possibile semplificarli: in questo caso solamente il primo radicale è semplificabile; avremo, infatti:

\sqrt[8]{2^6}=\sqrt[8:2]{2^{6:2}}=\sqrt[4]{2^3}

Dopo la semplificazione, la riduzione sarà tra \sqrt[4]{2^3} , \sqrt[3]{17} e \sqrt[5]{21} .

In seguito, calcoliamo il m.c.m. degli indici di radice, cioè minimo comune multiplo di 4, 3 e 5; avremo, quindi:

m.c.m. (4; 3; 5) = 60.

L’ultimo passaggio prevede la trasformazione dei radicali iniziali, dividendo l’indice di radice corrispondente al m.c.m. per quelli iniziali e applicando il risultato della divisione al radicando.

Consideriamo il primo radicale: \sqrt[4]{2^3}

  • Dividiamo il m.c.m. per l’indice di radice: 60 : 4 = 15
  • Applichiamo al radicando il quoziente sopra ottenuto: 23·15 = 245
  • Scriviamo il nuovo radicale: \sqrt[4]{2^3} = \sqrt[60]{2^{45}}

Consideriamo il secondo radicale: \sqrt[3]{17}

  • Dividiamo il m.c.m. per l’indice di radice: 60 : 3 = 20
  • Applichiamo al radicando il quoziente sopra ottenuto: 1720
  • Scriviamo il nuovo radicale: \sqrt[3]{17} = \sqrt[60]{17^{20}}

Consideriamo il terzo radicale: \sqrt[5]{21}

  • Dividiamo il m.c.m. per l’indice di radice: 60 : 5 = 12
  • Applichiamo al radicando il quoziente sopra ottenuto: 2112
  • Scriviamo il nuovo radicale: \sqrt[5]{21} = \sqrt[60]{17^{20}} = \sqrt[60]{21^{12}}

La riduzione di radicali allo stesso indice è ancora un problema? Guarda la nostra videolezione!

Distanza tra due punti

Quando si opera sul piano cartesiano è spesso necessario dover calcolare la distanza tra due punti.

Per calcolare la distanza tra due punti sul piano cartesiano è necessario conoscere le coordinate cartesiane di almeno due punti distinti. Unendo questi due punti si forma un segmento.

Si possono distinguere tre casi, a seconda che il segmento che si forma dall’unione dei punti sia orizzontale, verticale, obliquo.

Ipotizziamo che i due punti distinti siano A e B e che le loro coordinate cartesiane siano le seguenti:

A(x_{A}; y_{A})

B(x_{B}; y_{B})

1° caso: segmento orizzontale

Ipotizziamo che i nostri punti A e B abbiano le seguenti coordinate:

A(1; 1)

B(6; 1)

Rappresentandoli nel piano cartesiano si ottiene un segmento orizzontale, come si può osservare nel piano sotto rappresentato.

Segmento orizzontale

In questo caso, per determinare la distanza tra i punti A e B (quindi, la lunghezza del segmento AB), è sufficiente applicare la seguente formula:

AB=\left \| x_B-x_A \right \|

Ciò significa che è sufficiente fare la differenza, in modulo, tra le ascisse dei due punti; quindi avremo:

AB=\left \| 6-1 \right \|=5

2° caso: segmento verticale

Ipotizziamo che i nostri punti A e B abbiano le seguenti coordinate:

A(2; 1)

B(2; 7)

Rappresentandoli nel piano cartesiano si ottiene un segmento verticale, come si può osservare nel piano sotto rappresentato.

Segmento verticale

In questo caso, per determinare la distanza tra i punti A e B (quindi, la lunghezza del segmento AB), è sufficiente applicare la seguente formula:

AB=\left \| y_B-y_A \right \|

Ciò significa che è sufficiente fare la differenza, in modulo, tra le ordinate dei due punti; quindi avremo:

AB=\left \| 7-1 \right \|=6

3° caso: segmento obliquo

Ipotizziamo che i nostri punti A e B abbiano le seguenti coordinate:

A(2; 2)

B(6; 5)

Rappresentandoli nel piano cartesiano si ottiene un segmento obliquo, come si può osservare nel piano sotto rappresentato.

Segmento obliquo

In questo caso, per determinare la distanza tra i punti A e B (quindi, la lunghezza del segmento AB), è sufficiente applicare la seguente formula:

AB=\sqrt{ (x_B-x_A)^{2}+ (y_B-y_A)^{2}}

Questa formula non è altro che l’applicazione del Teorema di Pitagora; quindi avremo:

AB=\sqrt{ (x_B-x_A)^{2}+ (y_B-y_A)^{2}}=\sqrt{ (6-2)^{2}+ (5-2)^{2}}=\sqrt{ 4^{2}+ 3^{2}}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5

Vai alla pagina degli esercizi sulla distanza tra due punti sul piano cartesiano!

Grado rispetto alle lettere di un polinomio

Cos’è il grado rispetto alle lettere di un polinomio?

Per rispondere a questa domanda è necessario sapere cos’è il grado rispetto alla lettera di un monomio.

In sostanza, il grado rispetto alle lettere di un polinomio è l’esponente più alto con cui una certa lettera compare nei termini del polinomio (cioè nei monomi che compongono il polinomio).

In aggiunta, possiamo definire polinomio completo (rispetto ad una lettera) quel polinomio nel quale una lettera è presente dal grado più alto fino al grado 0.

Infine, un polinomio è ordinato quando i monomi sono scritti in modo tale che, rispetto ad una determinata lettera, gli esponenti sono in ordine crescente o decrescente.

Vediamo ora, con qualche esempio, di capire come si determina il grado rispetto alla lettera di un polinomio.

Esempio 1

-3x^3y^2+6x^4-8y^3

Per stabilire il grado rispetto alle lettere di questo polinomio (si tratta, in particolare, di un trinomio), è necessario definire il grado più alto di ogni lettera.

Ci facciamo aiutare da una semplice tabella, nella quale indichiamo i gradi rispetto alle lettere di ogni monomio che compone il polinomio.

Monomio Grado rispetto alla lettera x Grado rispetto alla lettera y
-3x^3y^2 3 2
+6x^4 4 0
-8y^3 0 3

Ora non resta che osservare i valori in tabella: il grado più alto della lettera x è 4, quindi il polinomio è di quarto grado rispetto alle lettera x; il grado più alto della lettera y è 3, quindi il polinomio è di terzo grado rispetto alla lettera y.

Possiamo affermare che il polinomio non è completo, né rispetto alla lettera x (mancano, infatti, il grado 1 e il grado 2), né rispetto alla lettera y (manca, infatti, il grado 1).

Infine possiamo anche affermare che il polinomio non è ordinato, né rispetto alla lettera x, né rispetto alla lettera y, in quanto non c’è un ordine preciso dei gradi.

Esempio 2

9a^3b+\frac{1}{3}a^2b^4-5ab^2-8b

Come per il primo esempio, costruiamo una tabella per definire i gradi rispetto ad ogni lettera di ogni monomio.

Monomio Grado rispetto alla lettera a Grado rispetto alla lettera b
9a^3b 3 1
+\frac{1}{3}a^2b^4 2 4
-5ab^2 1 2
-8b 0 1

Ora non resta che osservare i valori in tabella: il grado più alto della lettera a è 3, quindi il polinomio è di terzo grado rispetto alle lettera a; il grado più alto della lettera b è 4, quindi il polinomio è di quarto grado rispetto alla lettera b.

Possiamo affermare che il polinomio è completo rispetto alla lettera a: sono presenti, infatti, tutti i gradi partendo da quello massimo (in questo caso 3) fino al grado 0; il polinomio non è completo rispetto rispetto alla lettera b (mancano, infatti, il grado 0 e il grado 3).

Infine possiamo affermare che il polinomio è ordinato rispetto alla lettera a (i monomi, infatti, sono scritti in modo tale che gli esponenti della lettera a sono in ordine decrescente); il polinomio non è ordinato rispetto alla lettera b (non c’è un ordine preciso dei gradi).

Grado di un polinomio

Come si determina il grado di un polinomio?

Non è difficile rispondere a questa domanda: l’importante è sapere cos’è e come si determina il grado di un monomio!

In sostanza, il grado di un polinomio corrisponde al grado più alto dei suoi termini, cioè dei monomi che lo compongono.

In aggiunta, definiamo polinomio omogeneo quel polinomio che ha tutti i termini con lo stesso grado.

Vediamo qualche esempio.

Esempio 1

a^4b^2+2a^3-5b^2

Per stabilire il grado di questo trinomio (perché è formato da tre monomi), è necessario definire il grado di ognuno dei termini del polinomio stesso, cioè il grado di ogni monomio che compone il trinomio.

Ci facciamo aiutare da una semplice tabella, nella quale inseriamo i singoli monomi e il loro grado, ricordando che il grado di un monomio corrisponde alla somma degli esponenti della parte letterale.

Monomio Grado del monomio
a^4b^2 6 (4 esponente della lettera a + 2 esponente della lettera b)
+2a^3 3 (che corrisponde all’esponente della lettera a)
-5b^2 2 (che corrisponde all’esponente della lettera b)

Ora che abbiamo definito i gradi dei singoli monomi, è sufficiente osservare qual è il grado più alto: in questo caso è 6, quindi si può affermare che il trinomio a^4b^2+2a^3-5b^2 è di sesto grado.

Inoltre, non è un polinomio omogeneo, poiché i gradi dei suoi termini non sono uguali.

Esempio 2

-\frac{1}{2}x^5+6x^2y^3-\frac{3}{4}xy^3z-6y^5

Come per il primo esempio, costruiamo una tabella per analizzare i singoli termini del polinomio:

Monomio Grado del monomio
-\frac{1}{2}x^5 5 (che corrisponde all’esponente della lettera x)
+6x^2y^3 5 (2 esponente della lettera x + 3 esponente della lettera y)
-\frac{3}{4}xy^3z 5 (1 esponente della lettera x + 3 esponente della lettera y + 1 esponente della lettera z)
-6y^5 5 (che corrisponde all’esponente della lettera y)

Osservando i gradi dei monomi che compongono il polinomio si può notare che sono tutti di grado 5, quindi il polinomio -\frac{1}{2}x^5+6x^2y^3-\frac{3}{4}xy^3z-6y^5 è di quinto grado; inoltre, è un polinomio omogeneo, poiché i gradi dei suoi termini sono tutti uguali.

Espressioni con le frazioni

Devi svolgere delle espressioni con le frazioni? Sei nel posto giusto!

In questa lezione vedremo come risolvere una espressione con le frazioni, facendo attenzione alle regole di svolgimento che sono necessarie; faremo riferimento alle regole suggerire da altre lezioni presenti nel nostro sito, in particolare:

Altri contenuti teorici utili verranno suggeriti in seguito svolgendo gli esercizi proposti negli esempi.

Esempio 1 – Espressione con le frazioni senza parentesi

\frac{4}{3}\cdot\frac{4}{5}-\frac{1}{5}+\frac{2}{5}:\frac{3}{2}=

L’espressione dell’esempio proposto non ha parentesi; secondo le regole di svolgimento delle espressioni in generale, il primo passaggio da svolgere prevede di risolvere moltiplicazioni e divisioni, nell’ordine in cui sono scritte (può essere utile leggere come si svolgono moltiplicazioni di frazioni e divisioni di frazioni):

  • Si svolgerà la moltiplicazione \frac{4}{3}\cdot\frac{4}{5}, moltiplicando tra loro i numeratori e i denominatori delle due frazioni, ottenendo \frac{16}{15};
  • Si svolgerà la divisione \frac{2}{5} : \frac{3}{2}, che verrà trasformata in una moltiplicazione, cioè \frac{2}{5} \cdot \frac{2}{3}.

\frac{16}{15}-\frac{1}{5}+\frac{2}{5}\cdot\frac{2}{3}=

Il passaggio successivo prevede di svolgere la moltiplicazione rimasta, cioè \frac{2}{5} \cdot \frac{2}{3}, ottenendo così:

\frac{16}{15}-\frac{1}{5}+\frac{4}{15}=

A questo punto si procede svolgendo addizioni e sottrazioni (può essere utile leggere come si svolgono addizioni di frazioni e sottrazioni di frazioni): essendo frazioni, si deve determinare il minimo comune multiplo dei denominatori, cioè il minimo comune denominatore tra 5 e 15. Essendo 15 multiplo di 5, il denominatore comune è 15, quindi avremo:

\frac{(15:15) \cdot 16-(15:5) \cdot 1+(15:15) \cdot 4}{15}=

Svolgendo i passaggi al numeratore, si ottiene:

\frac{16-3+4}{15}= \frac{17}{15}

Esempio 2 – Espressione con le frazioni con le parentesi

\left [ \left ( \frac{3}{5}+\frac{1}{2} \right ) \cdot \frac{5}{11} \right ]- \frac{1}{3}=

L’espressione dell’esempio proposto ha parentesi tonde e quadre; secondo le regole di svolgimento delle espressioni in generale, il primo passaggio da svolgere prevede di risolvere le operazioni all’interno delle parentesi tonde e, in seguito, quelle all’interno delle quadre.

All’interno delle parentesi tonde è presente un’addizione \left ( \frac{3}{5}+\frac{1}{2} \right ), che si svolge come nel passaggio esposto nell’esempio 1; quindi si avrà:

\left [ \left ( \frac{6+5}{10} \right ) \cdot \frac{5}{11} \right ]- \frac{1}{3}=

Svolgiamo il calcolo all’interno delle parentesi tonde, ottenendo:

\left [ \frac{11}{10} \cdot \frac{5}{11} \right ]- \frac{1}{3}=

Tolte le parentesi tonde, ora è necessario togliere le parentesi quadre, svolgendo la moltiplicazione presente \left [ \frac{11}{10} \cdot \frac{5}{11} \right ]; è possibile semplificare, 11 con 11 e 10 con 5, ottenendo come risultato:

\frac{1}{2} - \frac{1}{3}=

Ora è sufficiente svolgere l’ultima operazione, una sottrazione, ottenendo:

\frac{3-2}{6}= \frac{1}{6}

Guarda la videolezione sotto riportata per un ulteriore esempio!

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Multipli e sottomultipli di un segmento

Multipli e sottomultipli di un segmento: ecco la lezione che ti chiarirà ogni dubbio!

  1. Un segmento misura 10 cm: quanto misura il suo doppio? E il suo triplo?
  2. Sapendo che la lunghezza di un segmento è 24 cm, qual è la lunghezza del segmento che equivale alla sua metà? Qual è il segmento equivalente alla sua quarta parte?

I problemi sopra proposti sono due esempi che riguardano il multiplo di un segmento (problema nr. 1) e il sottomultiplo di un segmento (problema nr. 2).

Il problema nr. 1 riguarda il multiplo di un segmento perché, partendo da un segmento iniziale, si chiede di trovare il suo doppio (significa due volte il segmento iniziale) e il suo triplo (cioè tre volte il segmento iniziale).

Il problema nr. 2 riguarda, invece, il sottomultiplo di un segmento perché, sapendo la misura del segmento iniziale, viene chiesto di trovare la sua metà (significa, semplicemente, dividere per 2 la misura del segmento iniziale) e la sua quarta parte (cioè trovare quanto misura \frac{1}{4} del segmento iniziale).

Risolviamo i due problemi sopra proposti.

Esempio 1

Un segmento misura 10 cm: quanto misura il suo doppio? E il suo triplo?

Come detto, il doppio del segmento significa “due volte” il segmento iniziale, cioè:

10 cm · 2 = 20 cm (doppio)

Il triplo del segmento iniziale significa “tre volte” il segmento iniziale, quindi:

10 cm · 3 = 30 cm (triplo)

Esempio 2

Sapendo che la lunghezza di un segmento è 24 cm, qual è la lunghezza del segmento che equivale alla sua metà? Qual è il segmento equivalente alla sua quarta parte?

La metà del segmento iniziale si ottiene dividendo la misura per 2 (oppure moltiplicando per \frac{1}{2}), cioè:

24 cm : 2 = 12 cm (metà)

La quarta parte si ottiene dividendo per 4 la misura del segmento iniziale (oppure moltiplicando per \frac{1}{4}), quindi:

24 cm : 4 = 6 cm (quarta parte)

In sintesi, riportiamo una tabella-guida utile per risolvere i problemi con multipli e sottomultipli di un segmento.

Multipli di un segmento

Cosa chiede il problema? Qual è l’operazione da compiere sul segmento iniziale?
Il doppio del segmento Si moltiplica per 2

AB = 3 cm

Doppio di AB → 3 cm · 2 = 6 cm

Il triplo del segmento Si moltiplica per 3

CD = 7 cm

Triplo di CD → 7 cm · 3 = 21 cm

Il quadruplo del segmento Si moltiplica per 4

EF = 10 cm

Quadruplo di EF → 10 cm · 4 = 40 cm

Il quintuplo del segmento Si moltiplica per 5

GH = 6 cm

Quintuplo di GH → 6 cm · 5 = 30 cm

Sottomultipli di un segmento

Cosa chiede il problema? Qual è l’operazione da compiere sul segmento iniziale?
La metà del segmento Si divide per 2 o si moltiplica per \frac{1}{2}

AB = 4 cm

Metà di AB → 4 cm : 2 = 2 cm

La terza parte del segmento Si divide per 3 o si moltiplica per \frac{1}{3}

CD = 15 cm

Terza parte di CD → 15 cm : 3 = 5 cm

La quarta parte del segmento Si divide per 4 o si moltiplica per \frac{1}{4}

EF = 24 cm

Quarta parte di EF → 24 cm : 4 = 6 cm

La quinta parte del segmento Si divide per 5 o si moltiplica per \frac{1}{5}

GH = 60 cm

Quinta parte di GH → 60 cm : 5 = 12 cm

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Teorema di Pitagora

In geometria il Teorema di Pitagora è, probabilmente, il teorema più conosciuto.

Il Teorema di Pitagora si applica ai triangoli rettangoli, ma esistono molteplici applicazioni anche nelle altre figure piane e nei solidi.

Innanzitutto vediamo cosa prevede questo teorema: il quadrato costruito sull’ipotenusa è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui due cateti.

Per tradurre quanto sopra presentato, vediamo la figura seguente:

Teorema di Pitagora

Il triangolo rettangolo è disegnato in blu ed è delimitato da:

  • lato AB (cateto maggiore – indicato con cM);
  • lato AC (cateto minore – indicato con cm);
  • lato BC (ipotenusa – indicata con i).

Sui tre lati sono costruiti tre quadrati: il lato di ogni quadrato è pari alla lunghezza dei lati del triangolo.

Il Teorema di Pitagora, in pratica, afferma che l’area del quadrato verde (Q3) è uguale alla somma delle aree dei quadrati arancione e giallo (Q1 e Q2), cioè:

Q3 = Q1 + Q2

Facciamo un esempio, assegnando ai lati del triangolo alcuni valori (non scelti a caso, poiché un triangolo è rettangolo se i lati hanno delle misure tali da essere una terna pitagorica).

AB = 4 cm; AC = 3 cm; BC = 5 cm.

Applicando l’enunciato del Teorema di Pitagora avremo:

52 = 32 + 42 → 25 = 9 + 16 → 25 = 25

Con questo esempio abbiamo anche implicitamente visto cos’è una terna pitagorica, cioè un insieme di tre numeri naturali (n1, n2 e n3) tali che:

n12 + n22 = n32

Nei problemi di geometria con cui si ha a che fare solitamente si utilizzano delle formule che derivano da quella sopra descritta (Q3 = Q1 + Q2); in particolare, le formule sono quelle che permettono di ottenere la misura di un lato del triangolo, conoscendo le misure degli altri due lati.

Le formule del Teorema di Pitagora sono le seguenti:

  • i=\sqrt{c_m{}^{2}+c_M{}^{2}}  → formula che permette di ricavare la misura dell’ipotenusa, conoscendo le misure dei due cateti
  • c_m{}=\sqrt{i^{2}-c_M{}^{2}} → formula che permette di ricavare la misura del cateto minore, conoscendo le misure dell’ipotenusa e del cateto maggiore
  • c_M{}=\sqrt{i^{2}-c_m{}^{2}} → formula che permette di ricavare la misura del cateto maggiore, conoscendo le misure dell’ipotenusa e del cateto minore

Vediamo qualche esempio di applicazione di queste formule in alcuni problemi sui triangoli rettangoli.

Esempio 1

I cateti di un triangolo rettangolo misurano, rispettivamente, 6 cm e 8 cm. Quanto misura l’ipotenusa?

Il problema sopra presentato è uno tra i più classici che riguardano il Teorema di Pitagora: la domanda chiede di trovare la misura dell’ipotenusa di un triangolo rettangolo, di cui si conosce la misura dei due cateti.

Per svolgere questo problema è sufficiente applicare la prima delle tre formule sopra riportate:

i=\sqrt{c_m{}^{2}+c_M{}^{2}}

Sostituendo i valori, si ottiene:

i=\sqrt{c_m{}^{2}+c_M{}^{2}}=\sqrt{6{}^{2}+8{}^{2}}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10cm

Esempio 2

La base di un rettangolo misura 15 cm. Calcolare la misura dell’altezza, sapendo che la diagonale del rettangolo misura 17 cm.

Questo è un classico problema nel quale il Teorema di Pitagora è applicato ad altre figure geometriche (in questo caso ad un rettangolo). In realtà, se si immagina la figura del problema, si può facilmente intuire che tracciando la diagonale del rettangolo si ottengono due triangoli rettangoli uguali: ecco perché è possibile (e necessario) applicare il Teorema di Pitagora.

Teorema di Pitagora_2

La richiesta del problema è la misura dell’altezza del rettangolo: si tratta, quindi, di calcolare la misura di un cateto (quello minore), poiché la diagonale corrisponde all’ipotenusa, mentre la base del rettangolo all’altro cateto (quello maggiore).

Si utilizzerà, quindi, la formula seguente:

c_m{}=\sqrt{i^{2}-c_M{}^{2}}

Sostituendo i valori, si ottiene:

c_m{}=\sqrt{i^{2}-c_M{}^{2}}=\sqrt{17{}^{2}-15{}^{2}}=\sqrt{289-225}=\sqrt{64}=8cm

Esempio 3

In un cono l’apotema misura 37 cm. Sapendo che il raggio di base è di 12 cm, calcolare la misura dell’altezza del cono.

Questo è un problema nel quale il Teorema di Pitagora è applicato ad un solido (in questo caso ad un cono).

Teorema di Pitagora_3

La richiesta del problema è la misura dell’altezza del cono: si tratta, quindi, di calcolare la misura di un cateto (quello maggiore), poiché l’apotema corrisponde all’ipotenusa, mentre il raggio del cono all’altro cateto (quello minore).

Si utilizzerà, quindi, la formula seguente:

c_M{}=\sqrt{i^{2}-c_m{}^{2}}

Sostituendo i valori, si ottiene:

c_M{}=\sqrt{i^{2}-c_m{}^{2}}=\sqrt{37{}^{2}-12{}^{2}}=\sqrt{1369-144}=\sqrt{1225}=35cm

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Espressioni con i prodotti notevoli

Le espressioni con i prodotti notevoli sono particolari operazioni che richiedono attenzione, poiché prevedono l’applicazione di una serie di regole o procedure di calcolo che è bene memorizzare; in particolare:

Per svolgere questo tipo di espressioni vediamo alcuni esempi per capire come poterle risolvere senza particolari difficoltà.

Esempio 1

 (a+2)^{2}+(a+1)(a-1)-4a=

In questa espressione sono presenti solamente parentesi tonde, quindi il primo passaggio prevede di svolgere le operazioni necessarie per poter togliere le parentesi; le operazioni da svolgere sono, nello specifico:

  • un quadrato di un binomio →  (a+2)^{2}
  • una somma per differenza → (a+1)(a-1)

Svolgendo le operazioni sopra indicate (si deve fare riferimento alle regole di svolgimento dei prodotti notevoli):

  •  (a+2)^{2}= a^{2}+4a+4
  • (a+1)(a-1)= a^{2}-1

si ottiene:

 a^{2}+4a+4+a^{2}-1-4a=

Ora è sufficiente individuare eventuali monomi simili tra loro (a^{2} e +a^{2}+4a e -4a+4 e -1) e svolgere la somma algebrica, ottenendo:

 2a^{2}+3

Esempio 2

 (x+1)^{3}-[x(x+y)+(x+y+2)^{2}]=

In questa espressione sono presenti parentesi tonde e quadre, quindi il primo passaggio prevede di svolgere le operazioni necessarie per poter togliere le parentesi tonde (in seguito, le quadre); le operazioni da svolgere sono, nello specifico:

  • un cubo di un binomio →  (x+1)^{3}
  • un prodotto di un monomio per un binomio → x (x+y)
  • un quadrato di un trinomio →  (x+y+2)^{2}

Svolgendo le operazioni sopra indicate:

  •  (x+1)^{3}= x^{3}+3 x^{2}+3x+1
  •  x(x+y)= x^{2}+xy
  •  (x+y+2)^{2}= x^{2}+ y^{2}+4+2xy+4x+4y

si ottiene

 x^{3}+3x^{2}+3x+1-[x^{2}+xy+x^{2}+y^{2}+4+2xy+4x+4y]=

Per togliere le parentesi quadre osserviamo se all’interno di esse sono presenti monomi simili tra loro (x^{2} e +x^{2}+xy e +2xy; ); si procede, quindi, svolgendo la somma algebrica ottenendo:

 x^{3}+3x^{2}+3x+1-[2x^{2}+3xy+y^{2}+4+4x+4y]=

Ora che all’interno delle parentesi quadre sono state svolte le somme algebriche tra i monomi simili tra loro, si procede togliendo le parentesi, facendo attenzione al segno meno davanti ad esse: in questo caso, tutti i monomi interni alle parentesi quadre andranno riscritti con il segno opposto. Si ottiene così la seguente espressione:

 x^{3}+3x^{2}+3x+1-2x^{2}-3xy-y^{2}-4-4x-4y=

Ora è sufficiente individuare eventuali monomi simili tra loro (+3x^{2} e -2x^{2}+3x e -4x+1 e -4) e svolgere la somma algebrica, ottenendo:

 x^{3}+x^{2}-y^{2}-x-4y-3xy-3

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Quoziente di un polinomio per un monomio

Il calcolo letterale è caratterizzato dalla presenza di una serie di operazioni, tra le quali troviamo il quoziente di un polinomio per un monomio. Le altre operazioni da non dimenticare sono la somma algebrica di polinomi, il prodotto di polinomi e i prodotti notevoli.

Per trovare il quoziente di un polinomio per un monomio è utile rivedere la seconda proprietà delle potenze (quoziente di potenze con la stessa base):

 a^{n}:a^{m}=a^{n-m}

Inoltre, per svolgere la divisione tra un polinomio e un monomio, è necessario ricordare la proprietà distributiva della divisione rispetto alla sommail quoziente di un polinomio per un monomio è un polinomio che si ottiene dividendo tutti i termini del polinomio per il monomio.

Vediamo con qualche esempio come si ottiene il quoziente di un polinomio per un monomio.

Esempio 1

 (x^{6}+x^{4}-3x^{3}y):x^{2}=

In questo esempio troviamo un trinomio (il polinomio all’interno delle parentesi tonde) diviso per un monomio.

Per svolgere questo esercizio è necessario eseguire le divisioni tra i termini del polinomio e il monomio, una alla volta, cioè:

  •  x^{6}:x^{2}=x^{4}
  •  x^{4}:x^{2}=x^{2}
  •  (-3x^{3}y):x^{2}=-3xy

Ogni termine del polinomio è stato diviso per il monomio all’esterno delle parentesi: la divisione si svolge dividendo sia i coefficienti (facendo attenzione al quoziente dei segni) che le parti letterali (applicando la seconda proprietà delle potenze, che prevede la sottrazione tra gli esponenti delle lettere uguali).

Solitamente i passaggi sopra descritti si svolgono direttamente; il risultato finale, quindi, è il seguente:

 (x^{6}+x^{4}-3x^{3}y):x^{2}=x^{4}+x^{2}-3xy

Esempio 2

(-15a^{5}b^{3}-7a^{2}b):(-5a^{4}b^{3})=

In questo esempio troviamo un binomio (il polinomio all’interno delle parentesi tonde) diviso per un monomio.

Per svolgere questo esercizio è necessario eseguire le divisioni tra i termini del polinomio e il monomio, una alla volta, cioè:

  • (-15a^{5}b^{3}):(-5a^{4}b^{3})=+3a
  • (-7a^{2}b):(-5a^{4}b^{3})=+\frac{7}{5}a^{-2}b^{-2}

Ogni termine del polinomio è stato diviso per il monomio all’esterno della parentesi: in questo caso si deve prestare particolare attenzione alle divisioni tra le parti letterali, poiché gli esponenti delle lettere del secondo monomio all’interno delle parentesi sono inferiori di quelli del monomio per cui si divide, quindi il risultato è un esponente negativo.

Il risultato finale, quindi, è il seguente:

(-15a^{5}b^{3}-7a^{2}b):(-5a^{4}b^{3})=+3a+\frac{7}{5}a^{-2}b^{-2}

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Somma di due segmenti e loro rapporto

Somma di due segmenti e loro rapporto: ecco la lezione che ti aiuterà a svolgere questo tipo di problema geometrico!

La somma di due segmenti è 35 cm e uno è i \frac{3}{4} dell’altro. Qual è la misura dei due segmenti?

Questo è un classico problema nel quale è presente la somma delle misure dei due segmenti e il loro rapporto, spesso rappresentato come una frazione.

Traducendo in simboli il problema sopra citato, potremmo scrivere:

  • n1 + n2 = 35 – cioè la somma delle misure dei due segmenti
  • n1\frac{3}{4} n– cioè il rapporto tra i due segmenti

n1 e n2 rappresentano i due segmenti incogniti.

Per determinare la misura dei due segmenti sono possibili due strade:

  1. Utilizzando la proprietà del comporre delle proporzioni
  2. Facendosi aiutare dalla geometria, rappresentando il problema proprio con due segmenti

Proprietà del comporre delle proporzioni

Sapendo che il rapporto tra n1 e n2 è \frac{3}{4}, possiamo impostare la proporzione nel modo seguente:

n1 : n2 = 3 : 4

In più, sappiamo che n1 + n2 = 35. Possiamo, quindi, applicare la proprietà del comporre scrivendo:

(n1 + n2) : n1 = (3 + 4) : 3

Ora è sufficiente sostituire 35 dentro la parentesi (n1 + n2), ottenendo:

35 : n1 = 7 : 3

Per concludere si può ora facilmente ottenere n1, applicando la proprietà fondamentale delle proporzioni, cioè:

n1 = (35 · 3) : 7 = 15

Di conseguenza, n2 si può ottenere per differenza, cioè:

n2 = 35 – 15 = 20

Geometria: segmenti

Sapendo che il rapporto tra n1 e n2 è \frac{3}{4}, possiamo disegnare due segmenti, uno di lunghezza 3 unità e l’altro di lunghezza 4 unità:

Segmento 3 unità

Segmento 4 unità

Sapendo che n1 + n2 = 35, si può disegnare il segmento somma dei due segmenti iniziali, ottenendo:

Segmento 7 unità

Come si può notare nel disegno sopra riportato, il segmento somma è formato da 7 unità, che corrispondono alla somma dei due segmenti incogniti.

Per determinare quanto vale 1 unità del segmento è sufficiente eseguire una semplice divisione, cioè:

35 : 7 = 5

Sapendo che 1 unità vale 5 e che i segmenti iniziali sono lunghi, rispettivamente, 3 unità e 4 unità, per stabilire la misura dei due segmenti incogniti è sufficiente moltiplicare 5 per le unità di ogni segmento, cioè:

5 · 3 = 15 = n1

5 · 4 = 20 = n2

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Somma e differenza di due segmenti

Somma e differenza di due segmenti: cosa significa?

La somma delle misure di due segmenti è 20 cm e la loro differenza è 10 cm. Qual è la misura dei due segmenti?

Questo è un classico problema di geometria nel quale viene chiesto di calcolare la misura di due segmenti, conoscendo la loro somma e la loro differenza.

In generale, per svolgere questo tipo di problema, si può applicare la regola generale dei problemi con somma e differenza di due numeri.

Supponiamo che i due segmenti siano a e b. Esprimiamo sotto forma di addizione e di sottrazione i dati del problema:

S = a + b
D = ab
con b < a

Come si trova la lunghezza dei due segmenti?

Ecco le due formule risolutive:

somma e differnza di due numeri_2

somma e differnza di due numeri_1

Disegniamo i due segmenti a e b:

somma e differenza di due numeri_3

Rappresentiamo la loro somma (un segmento adiacente all’altro) e la loro differenza (segmento tratteggiato in verde).

somma e differenza di due numeri_4

Proiettiamo il segmento che rappresenta la sottrazione (ab) in basso nel segmento che rappresenta l’addizione (a + b): in questo modo troviamo due segmenti uguali, che corrispondono a due volte il segmento b.

Dividendo per due, troviamo il valore di b. Ciò è rappresentato nella figura seguente.

somma e differenza di due numeri_5

In modo analogo, se dal segmento somma aggiungiamo il valore della differenza (parte tratteggiata) troviamo due segmenti uguali, che corrispondono a due volte il segmento a.

Dividendo per due, troviamo la misura del segmento a. Ciò è rappresentato nella figura seguente.

somma e differenza di due numeri_6

In sintesi, quando abbiamo la somma e la differenza di due segmenti a e b, per trovarne la misura applichiamo queste due semplici formule:

somma e differnza di due numeri_2

somma e differnza di due numeri_1

Riprendiamo il problema proposto inizialmente:

La somma delle misure di due segmenti è 20 cm e la loro differenza è 10 cm. Qual è la misura dei due segmenti?

Secondo quanto esposto poco sopra, per trovare la misura dei due segmenti è sufficiente svolgere le due operazioni seguenti:

a=\frac{20+10}{2}=\frac{30}{2}=15cm

b=\frac{20-10}{2}=\frac{10}{2}=5cm

I due segmenti misurano rispettivamente 15 cm e 5 cm (se sommiamo le loro misure otteniamo effettivamente 20 cm, mentre se eseguiamo la sottrazione otteniamo 10 cm).

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Prodotto di polinomi

Il prodotto di polinomi, insieme alla somma algebrica di polinomi, è una delle operazioni più comuni del calcolo letterale. Non vanno poi dimenticati i prodotti notevoli e il quoziente di un polinomio per un monomio.

Per trovare il prodotto di polinomi è necessario ricordare la prima proprietà delle potenze (prodotto di potenze con la stessa base):

 a^{n}\cdot a^{m}=a^{n+m}

Inoltre, per svolgere la moltiplicazione tra polinomi, è necessario ricordare la proprietà distributiva del prodotto rispetto alla sommail prodotto di polinomi è un polinomio che si ottiene moltiplicando tutti i termini di un polinomio per tutti i termini dell’altro polinomio.

Vediamo di capire, con un paio di esempi, come si svolge questo tipo di operazione.

Esempio 1

(a^{2}+2b)\cdot (a+3b)=

In questo esempio è presente una moltiplicazione tra due binomi. Si procede moltiplicando i due monomi della prima parentesi per i due monomi della seconda parentesi, ottenendo così quattro monomi (due monomi per due monomi):

  • a^{2}\cdot a= a^{3}
  • a^{2}\cdot 3b= 3a^{2}b
  • 2b\cdot a= 2ab
  • 2b\cdot 3b= 6 b^{2}

Si ritiene importante sottolineare che, nell’eseguire i prodotti, si applica – nella parte letterale – la prima proprietà delle potenze, che prevede di sommare gli esponenti delle lettere uguali (come nella prima e nella quarta moltiplicazione).

Solitamente il passaggio si compie direttamente, ottenendo così:

(a^{2}+2b)\cdot(a+3b)= a^{3}+3 a^{2}b+2ab+6 b^{2}

Osservando i quattro monomi ottenuti dalle singole moltiplicazioni, si può affermare che non vi sono monomi simili tra loro, quindi il risultato è quello finale.

Esempio 2

(x+2y-2)\cdot(x-y)=

In questo esempio è presente un trinomio per un binomio. Come nel primo esempio, moltiplichiamo tutti i termini del trinomio con tutti i termini del binomio, ottenendo così:

  • x\cdot x= x^{2}
  • x\cdot (-y)= -xy
  • 2y\cdot x= 2xy
  • 2y\cdot(-y)=-2 y^{2}
  • (-2)\cdot x=-2x
  • (-2)\cdot (-y)=2y

Anche in questo caso, nell’eseguire i prodotti, è stata applicata – nella parte letterale – la prima proprietà delle potenze (nella prima e nella quarta moltiplicazione).

Compiendo i passaggi direttamente si otterrebbe:

(x+2y-2)\cdot (x-y)= x^{2}-xy+2xy-2 y^{2}-2x+2y

Osservando i termini ottenuti dalla moltiplicazioni, si può osservare che si trovano due monomi simili tra loro (-xy e 2xy). Sommandoli algebricamente si ottiene:

(x+2y-2)\cdot (x-y)= x^{2}-xy+2xy-2 y^{2}-2x+2y=x^{2}+xy-2 y^{2}-2x+2y

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Somma algebrica di polinomi

La somma algebrica di polinomi è una operazione molto frequente nel calcolo letterale. Insieme ad essa, importanti sono anche il prodotto di polinomi, i prodotti notevoli e il quoziente di un polinomio per un monomio.

Per eseguire la somma algebrica di polinomi può essere di grande aiuto ricordare come si svolge la somma algebrica di monomi.

Vediamo con qualche esempio come si svolge la somma algebrica di polinomi.

Esempio 1

 (2a^{2}+3b-2x)+ (a^{2}-2b)=

Il primo passaggio per svolgere questo esercizio è togliere le parentesi, osservando se – all’interno di esse – sono presenti monomi simili tra loro. In questo caso non sono presenti monomi simili, quindi si può procedere togliendo le parentesi.

Per togliere le parentesi è necessario prestare attenzione al segno presente davanti ad esse: in questo caso il segno è positivo davanti ad entrambe le parentesi (nella prima non è indicato, ma è sottinteso). Di conseguenza, si può riscrivere tutto togliendo le parentesi e lasciando gli stessi segni dei termini all’interno, ottenendo così:

 +2a^{2}+3b-2x+a^{2}-2b=

Ora non resta che applicare la regola di svolgimento della somma algebrica di monomi, che prevede la riduzione dei termini simili (cioè sommare algebricamente tra loro i monomi che hanno la stessa parte letterale). In questo modo si avrà:

 (+2a^{2}+a^{2})+(+3b-2b)-2x=

Per concludere, la somma algebrica all’interno delle parentesi porta al seguente risultato:

 +3a^{2}+b-2x

Esempio 2

 (-4x^{2}+3y)-(5x^{2}-3y-2+5z)+(6x^{2}-6+5z)=

All’interno delle parentesi non sono presenti monomi simili tra loro. Si procede, quindi, togliendo le parentesi, facendo attenzione al segno meno davanti alla seconda parentesi: in questo caso, infatti, i segni dei monomi all’interno della parentesi andranno cambiati, mentre gli altri verranno riscritti con lo stesso segno.

 -4x^{2}+3y-5x^{2}+3y+2-5z+6x^{2}-6+5z=

Ora si procede sommando algebricamente tra loro i monomi simili:

 (-4x^{2}-5x^{2}+6x^{2})+(+3y+3y)+(+2-6)+(-5z+5z)=

Le somme algebriche all’interno delle parentesi portano al seguente risultato:

 -3x^{2}+6y-4

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Potenze con esponente negativo

Hai di fronte alcune potenze con esponente negativo e non sai come si svolgono? In questa lezione ti chiariremo ogni dubbio!

Prima di capire come si calcola la potenza di un numero con esponente negativo, è necessario chiarire cos’è il reciproco di un numero. Questo concetto è estremamente importante nel momento in cui dobbiamo trovare il valore della potenza di un numero al quale è applicato un esponente negativo.

Il reciproco di un numero si ottiene dividendo 1 per il numero iniziale. Vediamo cosa significa questa frase con qualche esempio nella tabella sotto riportata:

Numero iniziale Passaggio da svolgere Reciproco
2 1 : 2 = \frac{1}{2}
+ 5 1 : (+ 5) = +\frac{1}{5}
− 8 1 : (− 8) = -\frac{1}{8}
\frac{3}{4} 1 : \frac{3}{4} = 1 · \frac{4}{3} = \frac{4}{3}
+\frac{5}{7} 1 : \left ( +\frac{5}{7} \right ) = 1 · \left ( +\frac{7}{5} \right ) +\frac{7}{5}
-\frac{9}{13} 1 : \left ( -\frac{9}{13} \right ) = 1 · \left ( -\frac{13}{9} \right ) -\frac{13}{9}
+\frac{1}{10} 1 : \left ( +\frac{1}{10} \right ) = 1 · \left ( +\frac{10}{1} \right ) + 10

In sintesi, per trovare il reciproco di un numero (non frazione), è sufficiente porre quel numero come denominatore di una frazione che ha come numeratore 1. Se, invece, dobbiamo trovare il reciproco di una frazione, è sufficiente cambiare di posto numeratore e denominatore. Attenzione: il segno del numero iniziale (come si può notare anche negli esempi in tabella) non cambia!

Chiarito cos’è il reciproco di un numero, vediamo ora come si calcola la potenza con esponente negativo.

 \left ( a \right )^{-b}

Il passaggio fondamentale consiste nel “togliere il meno” dall’esponente, in modo tale che risulti poi molto semplice svolgere la potenza. Per “rendere positivo” l’esponente, è sufficiente riscrivere la potenza nel modo seguente:

  • nella base scriviamo il reciproco del numero iniziale
  • nell’esponente scriviamo l’esponente iniziale senza il segno meno

In questo modo la potenza diventa:

 \left ( \frac{1}{a} \right )^{b}

Ora risulta molto semplice trovare il risultato, seguendo le regole di svolgimento delle potenze. Vediamo qualche esempio.

Esempio 1

 \left ( +2 \right )^{-3}

In questo esempio abbiamo la base (+ 2) alla quale si deve applicare l’esponente − 3.

Procediamo scrivendo al posto di (+ 2) il suo reciproco e come esponente il numero iniziale ma senza il segno meno (3); in questo modo si ottiene:

 \left ( +\frac{1}{2} \right )^{3}

Ora è sufficiente applicare l’esponente alla base; essendo una frazione, l’esponente 3 va applicato sia al numeratore che al denominatore, ottenendo così:

+\frac{1}{8}

Esempio 2

\left ( -\frac{2}{5} \right ) ^{-2}

In questo esempio abbiamo la base \left ( -\frac{2}{5} \right ) alla quale si deve applicare l’esponente − 2.

Procediamo scrivendo al posto di \left ( -\frac{2}{5} \right ) la sua reciproca e come esponente il numero iniziale ma senza il segno meno (2); in questo modo si ottiene:

\left ( -\frac{5}{2} \right ) ^{2}

Ora è sufficiente applicare l’esponente alla base; essendo una frazione, l’esponente 2 va applicato sia al numeratore che al denominatore, facendo attenzione a cambiare il segno (“meno per meno fa più”) ottenendo così:

+\frac{25}{4}

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Espressioni con i numeri interi relativi e le proprietà delle potenze

Devi svolgere le espressioni con i numeri interi relativi e le proprietà delle potenze? Qui ti spieghiamo come procedere!

Prima di tutto è bene chiarire che una espressione di questo tipo richiede di saper applicare alcune semplici regole e/o proprietà; in particolare:

Vediamo con un paio di esempi come poter applicare le diverse regole sopra elencate e svolgere correttamente le espressioni con i numeri interi relativi e le proprietà delle potenze.

Esempio 1

[(− 4)5 : (− 4)2 − (+ 2)· (+ 2)3] : [(− 2)2]2 + (− 5)2 =

In questa espressione sono presenti parentesi tonde e quadre; inoltre è possibile applicare alcune proprietà delle potenze. In particolare (evidenziate con colori diversi):

  • quoziente di potenze con la stessa base (si lascia la stessa base e si sottraggono gli esponenti)
  • prodotto di potenze con la stessa base (si lascia la stessa base e si sommano gli esponenti)
  • potenza di potenza (si lascia la stessa base e si moltiplicano gli esponenti)

[(− 4)5 : (− 4)2(+ 2)· (+ 2)3] : [(− 2)2]2 + (− 5)2 =

Considerando che, per svolgere l’espressione, dobbiamo iniziare dalle operazioni all’interno delle parentesi tonde, applichiamo le proprietà sopra elencate, ottenendo così:

[(− 4)3 − (+ 2)5] : (− 2)4 + (− 5)2 =

Ora è sufficiente svolgere le potenze applicando gli esponenti alle rispettive basi, ottenendo:

[− 64 − (+ 32)] : (+ 16) + (+ 25) =

Un passaggio su cui bisogna prestare particolare attenzione è quello che prevede di togliere le parentesi nelle quali è contenuto un solo numero e con, al di fuori, un segno di addizione o sottrazione; in particolare:

[− 64 − (+ 32)] : (+ 16) + (+ 25) =

Nei due casi sopra evidenziati è sufficiente applicare una semplice regola pratica, cioè quella che prevede di moltiplicare il segno dentro per quello che sta al di fuori della parentesi (prodotto dei segni nella moltiplicazione di numeri interi relativi: “meno per più fa meno” e “più per più fa più”), ottenendo così:

[− 64 − 32] : (+ 16) + 25 =

Ora non resta che svolgere l’operazione all’interno della parentesi quadra:

[− 96] : (+ 16) + 25 =

Infine, svolgendo la divisione, si ottiene:

− 6 + 25 = + 19

Esempio 2

(+ 45)2 : (− 15)2 + (+ 8)0 − (+ 2)3 · (− 4)3 : (− 8)2 =

In questa espressione sono presenti solo parentesi tonde; inoltre è possibile applicare alcune proprietà delle potenze. In particolare (evidenziate con colori diversi):

  • quoziente di potenze con lo stesso esponente (si lascia lo stesso esponente e si dividono le basi)
  • prodotto di potenze con lo stesso esponente (si lascia lo stesso esponente e si moltiplicano le basi)

(+ 45)2 : (− 15)2 + (+ 8)0 − (+ 2)3 · (− 4)3 : (− 8)2 =

Considerando che, per svolgere l’espressione, dobbiamo iniziare dalle operazioni all’interno delle parentesi tonde, applichiamo le proprietà sopra elencate, ottenendo così:

(− 3)2 + (+ 8)0 − (− 8)3 : (− 8)2 =

Se osserviamo bene, l’ultima divisione è un’altra proprietà delle potenze, cioè quoziente di potenze con la stessa base (vista anche nell’esempio 1), che prevede di lasciare la stessa base e sottrarre gli esponenti; in questo modo si ottiene:

(− 3)2 + (+ 8)0 − (− 8)1 =

Ora è sufficiente svolgere le potenze applicando gli esponenti alle rispettive basi, ottenendo:

+ 9 + 1 − (− 8) =

Come nell’esempio 1 si deve fare attenzione nel momento in cui si tolgono le parentesi per svolgere gli ultimi calcoli, in particolare nel caso sotto evidenziato:

+ 9 + 1 − (− 8) =

Applichiamo la regola pratica vista anche in precedenza nell’esempio 1, cioè quella che prevede di moltiplicare il segno dentro per quello che sta al di fuori della parentesi (prodotto dei segni nella moltiplicazione di numeri interi relativi: “meno per meno fa più”), ottenendo così:

+ 9 + 1 + 8 = + 18

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Espressioni con i numeri interi relativi

Devi svolgere delle espressioni con i numeri interi relativi? Ecco come puoi fare!

Per prima cosa è bene ricordare che per trovare il valore di una espressione con i numeri interi relativi si devono conoscere le regole di svolgimento di una espressione in generale. In particolare:

  • se nell’espressione ci sono parentesi, si eseguono inizialmente le operazioni all’interno delle parentesi tonde; di seguito le operazioni all’interno delle parentesi quadre; infine, le operazioni all’interno delle parentesi graffe.
  • Le operazioni da svolgere inizialmente sono moltiplicazioni e divisioni, nell’ordine in cui sono scritte; in seguito addizioni e sottrazioni, sempre nell’ordine in cui sono scritte. Nel caso di numeri interi relativi, si parla di somma algebrica.

Non dobbiamo dimenticare, infine, le regole di svolgimento delle operazioni con i numeri interi relativi.

Vediamo nel concreto come applicare queste regole.

Esempio 1

[(− 50) : (+ 25) − (+ 4)] · (2 − 6) =

Nell’espressione sopra riportata sono presenti parentesi tonde e quadre; si inizia svolgendo le operazioni all’interno delle parentesi tonde; in particolare, si svolgono le operazioni evidenziate in rosso:

[(− 50) : (+ 25) − (+ 4)] · (2 − 6) =

Si ottiene così:

[− 2 − (+ 4)] · (− 4) =

All’interno della parentesi quadra è presente una parentesi tonda con un solo numero: in questo caso – per togliere la parentesi tonda – è sufficiente eseguire il prodotto dei segni:

[− 2 − (+ 4)] · (− 4) =

Moltiplicheremo, cioè, il meno che sta al di fuori della tonda con il più del numero all’interno della tonda (evidenziato in blu), ottenendo:

[− 2 − 4] · (− 4) =

Ora è sufficiente svolgere l’operazione all’interno della parentesi quadra (somma di due numeri negativi), ottenendo:

[− 6] · (− 4) =

Per trovare il risultato, è sufficiente eseguire la moltiplicazione:

[− 6] · (− 4) = + 24

Esempio 2

(+ 25 + 22) : [(− 8) · 4 − 15] =

Nell’espressione sopra riportata sono presenti parentesi tonde e quadre; si inizia svolgendo le operazioni all’interno delle parentesi tonde; in particolare, si svolgono le operazioni evidenziate in rosso:

(+ 25 + 22) : [(− 8) · 4 − 15] =

Si ottiene così:

(+ 47) : [− 32 − 15] =

Ora è sufficiente svolgere l’operazione all’interno della parentesi quadra (somma di due numeri negativi), ottenendo:

(+ 47) : [− 47] =

Per trovare il risultato, è sufficiente eseguire la divisione:

(+ 47) : [− 47] = − 1

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Proprietà del permutare delle proporzioni

Per risolvere una proporzione può essere utile, in alcuni casi, applicare le proprietà delle proporzioni: una di queste è la proprietà del permutare delle proporzioni.

Partiamo dalla seguente proporzione:

a : b = c : d

Per applicare correttamente la proprietà del permutare, è importante ricordare che:

  • b e c si chiamano medi
  • a e d si chiamano estremi

La proprietà si può applicare nel modo seguente:

a : c = b : d

Traducendo a parole il passaggio sopra riportato si può dire che scambiando tra loro i medi, si ottiene comunque una proporzione (primo caso).

In modo alternativo, la proprietà si può applicare anche nel modo seguente:

d : b = c : a

Traducendo a parole il passaggio sopra riportato si può dire che scambiando tra loro gli estremi, si ottiene comunque una proporzione (secondo caso).

Infine, la proprietà si può applicare anche nel modo seguente:

d : c = b : a

Traducendo a parole il passaggio sopra riportato si può dire che scambiando tra loro sia i medi che gli estremi, si ottiene comunque una proporzione (terzo caso).

Esempio 1

Applicare la proprietà del permutare alla proporzione 18 : 9 = 10 : 5

Scambiando tra di loro i medi (primo caso), si ottiene:

18 : 10 = 9 : 5

Applicando la proprietà fondamentale delle proporzioni, verifichiamo che si tratta comunque di una proporzione; infatti:

10 · 9 = 90

18 · 5 = 90

Il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi, quindi la proprietà del permutare è stata applicata correttamente.

Esempio 2

Applicare la proprietà del permutare alla proporzione 14 : 2 = 21 : 3

Scambiando tra di loro gli estremi (secondo caso), si ottiene:

3 : 2 = 21 : 14

Applicando la proprietà fondamentale delle proporzioni, verifichiamo che si tratta comunque di una proporzione; infatti:

2 · 21 = 42

3 · 14 = 42

Il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi, quindi la proprietà del permutare è stata applicata correttamente.

Esempio 3

Applicare la proprietà del permutare alla proporzione 20 : 10 = 6 : 3

Scambiando tra di loro sia i medi che gli estremi (terzo caso), si ottiene:

3 : 6 = 10 : 20

Applicando la proprietà fondamentale delle proporzioni, verifichiamo che si tratta comunque di una proporzione; infatti:

6 · 10 = 60

3 · 20 = 60

Il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi, quindi la proprietà del permutare è stata applicata correttamente.

Se questa lezione non ti ha soddisfatto, guarda la videolezione sulla proprietà del permutare delle proporzioni!

Proprietà dell’invertire delle proporzioni

Per risolvere una proporzione può essere utile, in alcuni casi, applicare le proprietà delle proporzioni: una di queste è la proprietà dell’invertire delle proporzioni.

Partiamo dalla seguente proporzione:

a : b = c : d

Per applicare correttamente la proprietà dell’invertire, è importante ricordare che:

  • a e c si chiamano antecedenti
  • b e d si chiamano conseguenti

La proprietà si può applicare nel modo seguente:

b : a = d : c

Traducendo a parole il passaggio sopra riportato si può dire che scambiando ogni antecedente con il suo conseguente, si ottiene comunque una proporzione.

Esempio 1

Applicare la proprietà dell’invertire alla proporzione 12 : 6 = 8 : 4

Scambiamo ogni antecedente con il suo conseguente (quindi, in pratica, scambiamo 12 con 6 e 8 con 4), ottenendo:

6 : 12 = 4 : 8

Applicando la proprietà fondamentale delle proporzioni, verifichiamo che si tratta comunque di una proporzione; infatti:

12 · 4 = 48

6 · 8 = 48

Il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi, quindi la proprietà dell’invertire è stata applicata correttamente.

Esempio 2

Applicare la proprietà dell’invertire alla proporzione 21 : 7 = 9 : 3

Scambiamo ogni antecedente con il suo conseguente (quindi, in pratica, scambiamo 21 con 7 e 9 con 3), ottenendo:

7 : 21 = 3 : 9

Applicando la proprietà fondamentale delle proporzioni, verifichiamo che si tratta comunque di una proporzione; infatti:

21 · 3 = 63

7 · 9 = 63

Il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi, quindi la proprietà dell’invertire è stata applicata correttamente.

Se questa lezione non ti ha chiarito ogni dubbio, guarda la videolezione sulla proprietà dell’invertire delle proporzioni!

Proprietà dello scomporre delle proporzioni

Per risolvere una proporzione può essere utile, in alcuni casi, applicare le proprietà delle proporzioni: una di queste è la proprietà dello scomporre delle proporzioni.

Partiamo dalla seguente proporzione:

a : b = c : d

La proprietà si può applicare nel modo seguente:

(a – b) : a = (c – d) : c

Traducendo a parole il passaggio sopra riportato si può dire che la differenza del primo e del secondo termine sta al primo termine, come la differenza del terzo e del quarto termine sta al terzo termine (primo caso).

In modo alternativo, la proprietà dello scomporre delle proporzioni si può applicare nel modo seguente:

(a – b) : b = (c – d) : d

Traducendo a parole il passaggio sopra riportato si può dire che la differenza del primo e del secondo termine sta al secondo termine, come la differenza del terzo e del quarto termine sta al quarto termine (secondo caso).

Esempio 1

Applicare la proprietà dello scomporre alla proporzione 25 : 5 = 10 : 2

Considerando il primo caso sopra esposto (a – b) : a = (c – d) : c, avremo:

(25 – 5) : 25 = (10 – 2) : 10

Svolgendo le sottrazioni dentro parentesi si ottiene:

20 : 25 = 8 : 10

Applicando la proprietà fondamentale delle proporzioni, verifichiamo che si tratta comunque di una proporzione; infatti:

20 · 10 = 200

25 · 8 = 200

Il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi, quindi la proprietà dello scomporre è stata applicata correttamente.

Esempio 2

Applicare la proprietà dello scomporre alla proporzione 16 : 4 = 12 : 3

Considerando il secondo caso sopra esposto (a – b) : b = (c – d) : d, avremo:

(16 – 4) : 4 = (12 – 3) : 3

Svolgendo le sottrazioni dentro parentesi si ottiene:

12 : 4 = 9 : 3

Applicando la proprietà fondamentale delle proporzioni, verifichiamo che si tratta comunque di una proporzione; infatti:

12 · 3 = 36

4 · 9 = 36

Il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi, quindi la proprietà dello scomporre è stata applicata correttamente.

Proprietà del comporre delle proporzioni

Per risolvere una proporzione può essere utile, in alcuni casi, applicare le proprietà delle proporzioni: una di queste è la proprietà del comporre delle proporzioni.

Partiamo dalla seguente proporzione:

a : b = c : d

La proprietà si può applicare nel modo seguente:

(a + b) : a = (c + d) : c

Traducendo a parole il passaggio sopra riportato si può dire che la somma del primo e del secondo termine sta al primo termine, come la somma del terzo e del quarto termine sta al terzo termine (primo caso).

In modo alternativo, la proprietà del comporre delle proporzioni si può applicare nel modo seguente:

(a + b) : b = (c + d) : d

Traducendo a parole il passaggio sopra riportato si può dire che la somma del primo e del secondo termine sta al secondo termine, come la somma del terzo e del quarto termine sta al quarto termine (secondo caso).

Esempio 1

Applicare la proprietà del comporre alla proporzione 10 : 5 = 8 : 4

Considerando il primo caso sopra esposto (a + b) : a = (c + d) : c, avremo:

(10 + 5) : 10 = (8 + 4) : 8

Svolgendo le addizioni dentro parentesi si ottiene:

15 : 10 = 12 : 8

Applicando la proprietà fondamentale delle proporzioni, verifichiamo che si tratta comunque di una proporzione; infatti:

15 · 8 = 120

10 · 12 = 120

Il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi, quindi la proprietà del comporre è stata applicata correttamente.

Esempio 2

Applicare la proprietà del comporre alla proporzione 20 : 4 = 10 : 2

Considerando il secondo caso sopra esposto (a + b) : b = (c + d) : d, avremo:

(20 + 4) : 4 = (10 + 2) : 2

Svolgendo le addizioni dentro parentesi si ottiene:

24 : 4 = 12 : 2

Applicando la proprietà fondamentale delle proporzioni, verifichiamo che si tratta comunque di una proporzione; infatti:

24 · 2 = 48

4 · 12 = 48

Il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi, quindi la proprietà del comporre è stata applicata correttamente.

Confronto di numeri interi relativi

Confronto di numeri interi relativi: ecco la lezione che fa per te!

Confrontare due numeri interi relativi significa stabilire se uno è maggiore, minore o uguale ad un altro.

Ricordiamo quali sono i simboli corretti:

  • MAGGIORE: >
  • MINORE: <
  • UGUALE: =

Nella pratica si possono seguire alcune indicazioni per eseguire facilmente il confronto di numeri interi relativi.

Prima di vedere quali sono le regole da applicare, è bene precisare il significato di valore assoluto di un numero intero relativo.

Il valore assoluto (o modulo) di un numero intero relativo è il numero che si prende in considerazione senza il segno che lo precede.

Esempi:

  • + 8 → il suo valore assoluto è 8
  • – 11 → il suo valore assoluto è 11

Solitamente il valore assoluto si indica in questo modo: |- 13| = 13, cioè si racchiude il numero intero relativo tra due segni/barre verticali proprio per indicare che quel numero va considerato senza il suo segno.

Numeri interi relativi concordi

Si parla di numeri interi relativi concordi quando i numeri che si prendono in considerazione hanno lo stesso segno.

Ecco allora che tra due numeri relativi concordi positivi è maggiore quello che ha valore assoluto maggiore.

Esempi:

  • + 5 > + 2
  • + 4 < + 20

Tra due numeri relativi concordi negativi è maggiore quello che ha valore assoluto minore.

Esempi:

  • – 1 > – 4
  • – 5 < – 3

La “regola” sopra descritta per i numeri relativi concordi negativi non è sempre immediata e facile da ricordare: in altri termini, considerando la linea dei numeri, si può dire che tra due numeri relativi concordi negativi è maggiore quello che è più vicino allo 0.

linea dei numeri

Riprendendo i due esempi sopra riportati (e osservando la linea dei numeri) risulta più facile capire che – 1 > – 4 perché – 1 è più vicino allo 0 rispetto a -4; allo stesso modo, risulta più facile capire che – 5 < – 3 perché – 5 è più lontano dallo 0 rispetto a – 3.

In aggiunta a quanto affermato, due numeri relativi concordi (positivi o negativi) che hanno lo stesso valore assoluto sono uguali.

Esempi: 

  • + 7 = + 7
  • – 9 = – 9

Numeri relativi discordi

Si parla di numeri interi relativi discordi quando i numeri che si prendono in considerazione hanno segno diverso.

Ecco allora che tra due numeri relativi discordi (quindi, uno positivo e l’altro negativo) è sempre maggiore quello con segno positivo.

Esempi:

  • + 4 > – 5
  • – 12 < + 3

Vai alla pagina degli esercizi sul confronto di numeri interi relativi!

Differenza di due numeri e loro rapporto

Differenza di due numeri e loro rapporto: ecco tutto ciò che c’è da sapere!

La differenza di due numeri è 15 e uno è i \frac{7}{4} dell’altro. Qual è il valore dei due numeri?

Questo è un classico esercizio nel quale è presente la differenza di due numeri e il loro rapporto, spesso rappresentato come una frazione.

Traducendo in simboli l’esercizio sopra citato, potremmo scrivere:

  • n1 – n2 = 15 – cioè la differenza dei due numeri
  • n1\frac{7}{4} n– cioè il rapporto tra i due numeri

n1 e n2 sono i due numeri incogniti.

Per determinare il valore dei due numeri sono possibili due strade:

  1. Utilizzando la proprietà dello scomporre delle proporzioni
  2. Facendosi aiutare dalla geometria, in particolare dai segmenti

Proprietà dello scomporre delle proporzioni

Sapendo che il rapporto tra n1 e n2 è \frac{7}{4}, possiamo impostare la proporzione nel modo seguente:

n1 : n2 = 7 : 4

In più, sappiamo che n1 – n2 = 15. Possiamo, quindi, applicare la proprietà dello scomporre scrivendo:

(n1 – n2) : n1 = (7 – 4) : 7

Ora è sufficiente sostituire 15 dentro la parentesi (n1 – n2), ottenendo:

15 : n1 = 3 : 7

Per concludere si può ora facilmente ottenere n1, applicando la proprietà fondamentale delle proporzioni, cioè:

n1 = (15 · 7) : 3 = 35

Di conseguenza, n2 si può ottenere per differenza, cioè:

n2 = 35 – 15 = 20

Geometria: segmenti

Sapendo che il rapporto tra n1 e n2 è \frac{7}{4}, possiamo disegnare due segmenti, uno di lunghezza 7 unità e l’altro di lunghezza 4 unità:

segmenti

Sapendo che n1 – n2 = 15, si può disegnare il segmento differenza dei due segmenti iniziali, ottenendo:

segmenti2

Come si può notare nel disegno sopra riportato, il segmento differenza (parte tratteggiata) è formato da 3 unità, che corrispondono alla differenza dei due segmenti, cioè dei due numeri incogniti.

Per determinare quanto vale 1 unità del segmento è sufficiente eseguire una semplice divisione, cioè:

15 : 3 = 5

Sapendo che 1 unità vale 5 e che i segmenti iniziali sono lunghi, rispettivamente, 7 unità e 4 unità, per stabilire il valore di n1 e di n2 è sufficiente moltiplicare 5 per le unità di ogni segmento, cioè:

5 · 7 = 35 = n1

5 · 4 = 20 = n2

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Somma di due numeri e loro rapporto

Somma di due numeri e loro rapporto: ecco tutto ciò che c’è da sapere!

La somma di due numeri è 70 e uno è i \frac{3}{4} dell’altro. Qual è il valore dei due numeri?

Questo è un classico esercizio nel quale è presente la somma di due numeri e il loro rapporto, spesso rappresentato come una frazione.

Traducendo in simboli l’esercizio sopra citato, potremmo scrivere:

  • n1 + n2 = 70 – cioè la somma dei due numeri
  • n1\frac{3}{4} n– cioè il rapporto tra i due numeri

n1 e n2 sono i due numeri incogniti.

Per determinare il valore dei due numeri sono possibili due strade:

  1. Utilizzando la proprietà del comporre delle proporzioni
  2. Facendosi aiutare dalla geometria, in particolare dai segmenti

Proprietà del comporre delle proporzioni

Sapendo che il rapporto tra n1 e n2 è \frac{3}{4}, possiamo impostare la proporzione nel modo seguente:

n1 : n2 = 3 : 4

In più, sappiamo che n1 + n2 = 70. Possiamo, quindi, applicare la proprietà del comporre scrivendo:

(n1 + n2) : n1 = (3 + 4) : 3

Ora è sufficiente sostituire 70 dentro la parentesi (n1 + n2), ottenendo:

70 : n1 = 7 : 3

Per concludere si può ora facilmente ottenere n1, applicando la proprietà fondamentale delle proporzioni, cioè:

n1 = (70 · 3) : 7 = 30

Di conseguenza, n2 si può ottenere per differenza, cioè:

n2 = 70 – 30 = 40

Geometria: segmenti

Sapendo che il rapporto tra n1 e n2 è \frac{3}{4}, possiamo disegnare due segmenti, uno di lunghezza 3 unità e l’altro di lunghezza 4 unità:

Segmento 3 unità

Segmento 4 unità

Sapendo che n1 + n2 = 70, si può disegnare il segmento somma dei due segmenti iniziali, ottenendo:

Segmento 7 unità

Come si può notare nel disegno sopra riportato, il segmento somma è formato da 7 unità, che corrispondono alla somma dei due segmenti, cioè dei due numeri incogniti.

Per determinare quanto vale 1 unità del segmento è sufficiente eseguire una semplice divisione, cioè:

70 : 7 = 10

Sapendo che 1 unità vale 10 e che i segmenti iniziali sono lunghi, rispettivamente, 3 unità e 4 unità, per stabilire il valore di n1 e di n2 è sufficiente moltiplicare 10 per le unità di ogni segmento, cioè:

10 · 3 = 30 = n1

10 · 4 = 40 = n2

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Frazione generatrice di un numero decimale

Frazione generatrice di un numero decimale: ecco la lezione che ti chiarirà ogni dubbio!

Come si trasforma un numero decimale in una frazione?

La frazione di cui si parla è chiamata frazione generatrice di un numero decimale. Si devono distinguere tre casi:

  • Frazione generatrice di un numero decimale limitato
  • Frazione generatrice di un numero decimale illimitato periodico semplice
  • Frazione generatrice di un numero decimale illimitato periodico misto

Frazione generatrice di un numero decimale limitato

Per ottenere la frazione generatrice di questo numero è sufficiente seguire questi passaggi:

  • al numeratore si scrive il numero senza virgola
  • al denominatore si scrive un 1 seguito da tanti zeri quante sono le cifre decimali

Esempio 1:

0,23=\frac{23}{100}

Al numeratore abbiamo scritto 23, cioè il numero iniziale senza virgola e lo zero che lo precede; al denominatore abbiamo scritto 100, poiché 0,23 ha due cifre dopo la virgola (quindi 1 seguito da due zeri).

Esempio 2:

1,077=\frac{1077}{1000}

Al numeratore abbiamo scritto 1077, cioè il numero iniziale senza virgola; al denominatore abbiamo scritto 1000, poiché 1,077 ha tre cifre dopo la virgola (quindi 1 seguito da tre zeri).

Quando possibile, la frazione che si ottiene è bene semplificarla e ridurla ai minimi termini (lezione sulla semplificazione di frazioni).

Frazione generatrice di un numero decimale illimitato periodico semplice

Per ottenere la frazione generatrice di questo numero è sufficiente seguire questi passaggi:

  • al numeratore si scrive il numero senza virgola, al quale si sottrae la parte del numero che non fa parte del periodo (parte intera)
  • al denominatore si scrive un 9 per ogni cifra che fa parte del periodo

Precisiamo che per periodo si intende la parte del numero decimale che si ripete e che è indicata con una linea al di sopra dei numeri che si ripetono, ad esempio:

1\overline{3}=1,333333333333...

In questo caso il periodo è il 3.

Esempio 3:

1,\overline{32}=\frac{132-1}{99}=\frac{131}{99}

Al numeratore abbiamo scritto 132 (il numero iniziale senza virgola) meno 1 (il numero che non fa parte del periodo); al denominatore abbiamo scritto 99, poiché il numero decimale periodico iniziale ha due cifre che fanno parte del periodo.

Esempio 4:

12,\overline{6}=\frac{126-12}{9}=\frac{114}{9}=\frac{38}{3}

Al numeratore abbiamo scritto 126 (il numero iniziale senza virgola) meno 12 (il numero che non fa parte del periodo); al denominatore abbiamo scritto 9, poiché il numero decimale periodico iniziale ha una cifre che fa parte del periodo.

Nell’ultimo passaggio numeratore e denominatore sono stati divisi entrambi per 3, per semplificare la frazione e ridurla ai minimi termini.

Frazione generatrice di un numero decimale illimitato periodico misto

Per ottenere la frazione generatrice di questo numero è sufficiente seguire questi passaggi:

  • al numeratore si scrive il numero senza virgola, al quale si sottrae la parte del numero che non fa parte del periodo (parte intera)
  • al denominatore si scrivono:
    • un 9 per ogni cifra che fa parte del periodo
    • uno 0 per ogni cifra che fa parte dell’antiperiodo

Precisiamo che per antiperiodo si intende la parte del numero decimale che si trova tra la virgola e il periodo, ad esempio:

2,4\overline{5}=2,45555555555...

In questo caso l’antiperiodo è il 4.

Esempio 5:

3,5\overline{2}=\frac{352-35}{90}=\frac{317}{90}

Al numeratore abbiamo scritto 352 (il numero iniziale senza virgola) meno 35 (il numero che non fa parte del periodo); al denominatore abbiamo scritto 90, poiché il numero decimale periodico iniziale ha una cifra che fa parte del periodo (il 2) – quindi abbiamo scritto un 9 – e una cifra che fa parte dell’antiperiodo (il 5) – quindi abbiamo scritto uno 0.

Esempio 6:

12,4\overline{78}=\frac{12478-124}{990}=\frac{12354}{990}=\frac{2059}{165}

Al numeratore abbiamo scritto 12478 (il numero iniziale senza virgola) meno 124 (il numero che non fa parte del periodo); al denominatore abbiamo scritto 990, poiché il numero decimale periodico iniziale ha due cifre che fanno parte del periodo (il 78) – quindi abbiamo scritto due 9 – e una cifra che fa parte dell’antiperiodo (il 4) – quindi abbiamo scritto uno 0.

Nell’ultimo passaggio numeratore e denominatore sono stati divisi entrambi prima per 2 e poi per 3, per semplificare la frazione e ridurla ai minimi termini.

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Minimo comune multiplo (m.c.m.) – definizione

Il minimo comune multiplo (in sigla m.c.m.) è il più piccolo tra tutti i multipli comuni dei numeri che si prendono in considerazione.

Secondo questa definizione, è necessario elencare i multipli dei numeri che prendiamo in considerazione (sappiamo che i multipli di un numero sono infiniti; ne elenchiamo alcuni); dopo averli elencati, si devono identificare quelli che sono in comune: quello più basso tra questi è il minimo comune multiplo (m.c.m.).

Vediamo come procedere secondo questa indicazione.

Esempio 1

Determinare il minimo comune multiplo dei numeri 5 e 7

Per prima cosa scriviamo alcuni multipli dei numeri 5 e 7:

  • M (5) = 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, …
  • M (7) = 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, 77, 84, 91, 98, 105, …

Mettiamo ora in evidenza i multipli che 5 e 7 hanno in comune:

  • M (5) = 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, …
  • M (7) = 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, 77, 84, 91, 98, 105, …

L’ultimo passaggio prevede di individuare qual è il più basso tra i multipli comuni di 5 e di 7; si può notare che il più basso (quindi il minimo comune multiplo) è il 35, quindi:

m.c.m. (5, 7) = 35

Esempio 2

Determinare il minimo comune multiplo dei numeri 9 e 12

Per prima cosa scriviamo alcuni multipli dei numeri 9 e 12:

  • M (9) = 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90, 99, 108, 117, 126, 135, 144, …
  • M (12) = 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120, 132, 144, 156, …

Mettiamo ora in evidenza i multipli che 9 e 12 hanno in comune:

  • M (9) = 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90, 99, 108, 117, 126, 135, 144, …
  • M (12) = 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120, 132, 144, 156, …

L’ultimo passaggio prevede di individuare qual è il più basso tra i multipli comuni di 9 e di 12; si può notare che il più basso (quindi il minimo comune multiplo) è il 36, quindi:

m.c.m. (9, 12) = 36

Nei casi che abbiamo appena presentato è semplice identificare il minimo comune multiplo; in altri casi può risultare più difficile, poiché non è sempre immediato elencare i multipli dei numeri che si prendono in considerazione.

In questi casi, per calcolare il minimo comune multiplo è possibile seguire un procedimento che prevede la scomposizione in fattori primi dei numeri che si prendono in considerazione.

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Massimo Comune Divisore (M.C.D.) – definizione

Il Massimo Comune Divisore (in sigla M.C.D.) è il più grande tra tutti i divisori comuni dei numeri che si prendono in considerazione.

Secondo questa definizione, è necessario elencare tutti i divisori dei numeri che prendiamo in considerazione; dopo averli elencati, si devono identificare quelli che sono in comune: quello più alto tra questi è il Massimo Comune Divisore (M.C.D.).

Vediamo come procedere secondo questa indicazione.

Esempio 1

Determinare il Massimo Comune Divisore dei numeri 20 e 30

Per prima cosa scriviamo tutti i divisori dei numeri 20 e 30:

  • D (20) = 1, 2, 4, 5, 10, 20
  • D (30) = 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30

Mettiamo ora in evidenza i divisori che 20 e 30 hanno in comune:

  • D (20) = 1, 2, 4, 5, 10, 20
  • D (30) = 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30

L’ultimo passaggio prevede di individuare qual è il più alto tra i divisori comuni di 20 e di 30; si può notare che il più alto (quindi il Massimo Comune Divisore) è il 10, quindi:

M.C.D. (20, 30) = 10

Esempio 2

Determinare il Massimo Comune Divisore dei numeri 14 e 25

Per prima cosa scriviamo tutti i divisori dei numeri 14 e 25:

  • D (14) = 1, 2, 7, 14
  • D (25) = 1, 5, 25

Mettiamo ora in evidenza i divisori che 14 e 25 hanno in comune:

  • D (14) = 1, 2, 7, 14
  • D (25) = 1, 5, 25

L’ultimo passaggio prevede di individuare qual è il più alto tra i divisori comuni di 14 e di 25; si può notare che esiste un solo divisore comune, che corrisponde al Massimo Comune Divisore:

M.C.D. (14, 25) = 1

Nei casi che abbiamo appena presentato è semplice identificare il Massimo Comune Divisore; in altri casi può risultare più difficile, poiché non è sempre immediato elencare tutti i divisori dei numeri che si prendono in considerazione.

In questi casi, per calcolare il Massimo Comune Divisore è possibile seguire un procedimento che prevede la scomposizione in fattori primi dei numeri che si prendono in considerazione.

Vai alla pagina degli esercizi sul Massimo Comune Divisore (M.C.D.)!

Ordine di grandezza di un numero

L’ordine di grandezza di un numero è la potenza di 10 più vicina al numero che si prende in considerazione.

In modo alternativo, si può definire come la potenza di 10 che permette di approssimare un certo numero.

In fisica, questo concetto è estremamente importante, poiché permette di confrontare agevolmente le misure riguardanti un fenomeno oggetto di studio, quindi è bene fare attenzione a quanto riportato qui di seguito.

Qualsiasi numero, grande o piccolo, è compreso tra due potenze di 10.

Per esempio, il numero 680 è compreso tra 100 (102) e 1.000 (103), cioè:

102 < 680 < 103.

Allo stesso modo, il numero 0,0002 è compreso tra 0,0001 (10-4) e 0,001 (10-3), cioè:

10-3 < 0,0002 < 10-4.

Per determinare l’ordine di grandezza di un numero è sufficiente, prima di tutto, esprimere il numero stesso in notazione scientifica:

a=b\cdot10 ^{c}

In seguito si osserva il valore di b:

  • se è minore di 5, allora l’ordine di grandezza di a è 10c;
  • se è maggiore o uguale a 5, allora l’ordine di grandezza di a è 10c+1.

Nella tabella seguente sono riportati alcuni esempi:

Numero Numero espresso in notazione scientifica Valore di b Ordine di grandezza del numero
 7.500 7,5 · 103 7,5 > 5  103+1 = 104
 14.300.000 1,43  · 107 1,43 < 5 107
 0,00009  9 · 10-5  9 > 5 10-5+1 = 10-4
 0,000000023 2,3 · 10-8 2,3 < 5 10-8

Se questi esempi non sono stati sufficientemente chiari, ecco un’utile videolezione per chiarire maggiormente i passaggi necessari.

Vai alla pagina degli esercizi sull’ordine di grandezza!

Frequenze assoluta, frequenza relativa, frequenza relativa percentuale

In statistica descrittiva assumono particolare importanza le frequenze: frequenza assoluta, la frequenza relativa e la frequenza relativa percentuale.

Le frequenze sono fondamentali per analizzare un insieme di dati.

Vediamo le definizioni:

  • Frequenza assoluta: numero di volte che si presenta un certo dato;
  • Frequenza relativa: rapporto tra la frequenza assoluta e numero totale dei dati;
  • Frequenza relativa percentuale: frequenza relativa, espressa in percentuale (si moltiplica per 100 la frequenza relativa).

Esempio

Nella tabella seguente sono elencate le età di un gruppo di amici:

15 15 16 17 15
16 15 14 15 16

Sapendo che le frequenze assolute si trovano contando quante volte un certo dato si ripete, è necessario – prima di tutto – individuare quali sono le età presenti nella tabella e, in seguito, contare quante volte compaiono:

  • 14 anni: 1 volta;
  • 15 anni: 5 volte;
  • 16 anni: 3 volte;
  • 17 anni: 1 volta.

In sintesi:

Età Frequenze assolute
14 anni 1
15 anni 5
16 anni 3
17 anni 1
Totali 10

Per calcolare le frequenze relative è sufficiente dividere ogni frequenza assoluta per il numero totale dei dati (10):

  • 14 anni: 1 : 10 = 0,1;
  • 15 anni: 5 : 10 = 0,5;
  • 16 anni: 3 : 10 = 0,3;
  • 17 anni: 1 : 10 = 0,1.

In sintesi:

Età Frequenze assolute Frequenze relative
14 anni 1 0,1
15 anni 5 0,5
16 anni 3 0,3
17 anni 1 0,1
Totali 10 1

L’analisi di conclude calcolando le frequenze relative percentuali: è sufficiente moltiplicare per 100 le frequenze relative:

  • 14 anni: 0,1  · 100 = 10%;
  • 15 anni: 0,5  · 100 = 50%;
  • 16 anni: 0,3  · 100 = 30%;
  • 17 anni: 0,1  · 100 = 10%.

In sintesi:

Età Frequenze assolute Frequenze relative Frequenze relative percentuali
14 anni 1 0,1 10%
15 anni 5 0,5 50%
16 anni 3 0,3 30%
17 anni 1 0,1 10%
Totali 10 1 100%

Raccogliere i dati in forma tabellare (come riportato sopra) può essere utile per avere una buona sintesi dei risultati ottenuti.

Come si può notare, il totale delle frequenze relative è uguale a 1, mentre il totale delle frequenze relative percentuali è uguale a 100%.

Vai alla pagina degli esercizi sulla frequenza assoluta, la frequenza relativa e la frequenza relativa percentuale!

Mediana

In un’indagine statistica particolare importanza riveste un indice di posizione chiamato mediana.

Considerando un insieme ordinato di dati, la mediana è il dato che occupa la posizione centrale di questo insieme.

Per trovare la mediana di un insieme di dati si devono distinguere due casi:

  • numero di dati pari: la mediana si ottiene considerando il dato  \frac{n}{2} e il dato \frac{n}{2}+1 e di essi si calcola la media;
  • numero di dati dispari: la mediana corrisponde al dato \frac{n+1}{2}.

Esempio 1 – insieme pari di dati

Nella tabella seguente sono indicati i voti di matematica di uno studente di una scuola superiore:

6 7
6 5
7 9
4 6

Innanzitutto è necessario mettere in ordine i dati; si sceglie di metterli in ordine crescente:

4 5 6 6 6 7 7 9

L’insieme dei dati è pari, quindi si devono considerare i dati \frac{n}{2} e \frac{n}{2}+1 e di essi; essendo n = 8, dovremo considerare il 4° e il 5° dato, cioè:

4 5 6 6 6 7 7 9

Individuati i due dati di riferimento, è sufficiente calcolare la loro media: \frac{6+6}{2}=6.

La mediana di questo insieme di dati è 6.

Esempio 2 – insieme dispari di dati

Nella tabella seguente sono indicati i livelli di umidità di una città italiana rilevati negli ultimi giorni 9 giorni:

81 79 80
80 81 77
78 82 80

Innanzitutto è necessario mettere in ordine i dati; si sceglie di metterli in ordine crescente:

77 78 79 80 80 80 81 81 82

L’insieme dei dati è dispari, quindi si deve considerare il dato  \frac{n+1}{2}, cioè il 5° dato:

77 78 79 80 80 80 81 81 82

La mediana di questo insieme di dati è 80.

La mediana è solo una dei concetti fondamentali della statistica descrittiva; ecco qui di seguito altri concetti chiave, con le relative lezioni:

Moda

In statistica di definisce moda il dato che ha la frequenza alta: in altri termini, il dato che si presenta più volte, rappresenta la moda di un insieme di dati.

Per trovare la moda di un insieme di dati è sufficiente contare quante volte un certo dato si ripete: quello che si ripete più volte sarà la moda.

Esempio 1

Nella tabella seguente sono elencati i mezzi di trasporto con i quali alcuni studenti universitari si recano a lezione.

auto moto auto bicicletta autobus
auto bicicletta autobus autobus autobus
bicicletta autobus autobus moto autobus

Per trovare la moda di questo insieme di dati, si deve – inizialmente – individuare quali sono le modalità che assume la variabile: in altre parole, la variabile è il mezzo di trasporto e le modalità sono auto, moto, bicicletta e autobus.

In seguito, si conta quante volte ogni dato si ripete:

  • auto: 3 volte
  • moto: 2 volte
  • bicicletta: 3 volte
  • autobus: 7 volte

Come si può vedere, autobus è la modalità più frequente, cioè il dato che si presenta più volte: autobus, quindi, rappresenta la moda di questo insieme di dati.

Esempio 2

Nella tabella seguente sono elencate le età degli studenti di una classe prima di scuola superiore.

Studente Età
Studente 1 14
Studente 2 14
Studente 3 14
Studente 4 15
Studente 5 15
Studente 6 14
Studente 7 16
Studente 8 14
Studente 9 14
Studente 10 16
Studente 11 14
Studente 12 14
Studente 13 15
Studente 14 15
Studente 15 14
Studente 16 14
Studente 17 15
Studente 18 14
Studente 19 15
Studente 20 14

Per trovare la moda di questo insieme di dati, si deve – inizialmente – individuare quali sono le modalità che assume la variabile: in altre parole la variabile è l’età e le modalità sono 14, 15 e 16 anni.

In seguito, si conta quante volte ogni dato si ripete:

  • 14 anni: 12 volte
  • 15 anni: 6 volte
  • 16 anni: 2 volte

Come si può vedere, l’età 14 anni è la modalità più frequente, cioè il dato che si presenta più volte: 14 anni, quindi, rappresenta la moda di questo insieme di dati.

Vai alla pagina degli esercizi sulla moda!

Proprietà delle potenze con i numeri interi relativi

Quando si applicano le proprietà delle potenze ai numeri interi relativi, si deve prestare particolare attenzione alle regole legate ai segni.

Le proprietà delle potenze con i numeri interi relativi si applicano nello stesso modo delle proprietà delle potenze con i numeri naturali.

Vediamo, con alcuni esempi, le cinque proprietà delle potenze applicate ai numeri interi relativi.

1_Prodotto di potenze con la stessa base

(-2) ^{2}\cdot(-2) ^{3}=

Per svolgere questo esercizio si applica la prima proprietà delle potenze, che prevede di lasciare la stessa base e di sommare gli esponenti; quindi avremo:

(-2) ^{(2+3)}=(-2) ^{5}

Ora è sufficiente applicare l’esponente alla base, facendo attenzione al segno del numero che sta alla base: in particolare, la base è un numero negativo, l’esponente è dispari, quindi il valore della potenza sarà con segno negativo!

(-2) ^{5}=-32

2_Quoziente di potenze con la stessa base
(+3) ^{5}:(+3) ^{2}=

Per svolgere questo esercizio si applica la seconda proprietà delle potenze, che prevede di lasciare la stessa base e di sottrarre gli esponenti; quindi avremo:

(+3) ^{(5-2)}= (+3)^{3}

Ora è sufficiente applicare l’esponente alla base, facendo attenzione al segno del numero che sta alla base: in questo caso, la base è un numero positivo, quindi – indipendentemente dall’esponente – il risultato sarà comunque positivo!

(+3)^{3}=+27

3_Potenza di potenza

[(-2)^{2}]^{4}=

Per svolgere questo esercizio si applica la terza proprietà delle potenze, che prevede di lasciare la stessa base e di moltiplicare gli esponenti; quindi avremo:

(-2)^{(2\cdot4)}=(-2)^{8}

Ora è sufficiente applicare l’esponente alla base, facendo attenzione al segno del numero che sta alla base: in particolare, la base è un numero negativo, l’esponente è pari, quindi il valore della potenza sarà con segno positivo!

(-2)^{8}=+256

4_Prodotto di potenze con lo stesso esponente

(-2)^{3}\cdot(+3)^{3}=

Per svolgere questo esercizio si applica la quarta proprietà delle potenze, che prevede di lasciare lo stesso esponente e di moltiplicare le basi; quindi avremo:

[(-2)\cdot(+3)]^{3}=(-6)^{3}

Ora è sufficiente applicare l’esponente alla base, facendo attenzione al segno del numero che sta alla base: in particolare, la base è un numero negativo, l’esponente è dispari, quindi il valore della potenza sarà con segno negativo!

(-6)^{3}=-216

5_Quoziente di potenze con lo stesso esponente

(+40)^{2}:(-8)^{2}=

Per svolgere questo esercizio si applica la quinta proprietà delle potenze, che prevede di lasciare lo stesso esponente e di dividere le basi; quindi avremo:

[(+40):(-8)]^{2}=(-5)^{2}

Ora è sufficiente applicare l’esponente alla base, facendo attenzione al segno del numero che sta alla base: in particolare, la base è un numero negativo, l’esponente è pari, quindi il valore della potenza sarà con segno positivo!

(-5)^{2}=+25

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Multipli, sottomultipli e divisori

Multipli, sottomultipli e divisori: ecco la lezione che fa per te!

Per dire che cos’è un multiplo, è sufficiente pensare alle tabelline.

5, 10, 15, 20, 25, 30, … sono tutti multipli di 5, perché quella (parzialmente scritta) è la tabellina del 5.

Per ottenere i multipli di un numero naturale è sufficiente moltiplicare quel determinato numero naturale per un altro numero naturale.

Ecco allora che 20 è un multiplo di 5, perché esso risulta dalla moltiplicazione 5 · 4.

In questo caso, 5 e 4 sono sottomultipli di 20.

Ricapitolando, se consideriamo 20 = 5 · 4, possiamo affermare che:

  • 20 è multiplo di 5;
  • 20 è multiplo di 4;
  • 5 è sottomultiplo di 20;
  • 4 è sottomultiplo di 20.

Quando si afferma che un numero naturale è divisibile per un altro numero naturale significa che la divisione tra il primo numero ed il secondo dà come quoziente un terzo numero che è sempre naturale, quindi la divisione ha resto zero.

Il numero 6 è divisibile per 2 perché 6 : 2 = 3, con resto 0.

In questo caso, i numeri 2 e 3 sono divisori di 6.

Si può anche affermare che 2 e 3 sono sottomultipli di 6.

Fino ad ora abbiamo avuto a che fare con numeri piccoli: nel momento in cui i numeri iniziano ad essere grandi, allora non è semplice individuare i divisori (o sottomultipli). In tal caso, esistono due strumenti estremamente utili per individuare i divisori:


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Proprietà fondamentale delle proporzioni

Quando si parla di proporzioni, la prima regola che è bene memorizzare è quella legata alla proprietà fondamentale:

In una proporzione il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi

Considerando la forma generica:

A : B = C : D

secondo la proprietà fondamentale delle proporzioni, avremo:

B · C = A · D

Questa proprietà è estremamente importante, perché permette, innanzitutto, di verificare se una uguaglianza di rapporti tra grandezze è effettivamente una proporzione; inoltre, se in una proporzione è presente un termine incognito, la proprietà fondamentale delle proporzioni permette di ricavare il valore di questo termine.

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Esempio 1:

2; 6; 9; 27

Si vuole verificare se questo gruppo di numeri (nell’ordine in cui sono scritti) rappresenta una proporzione, applicando la proprietà fondamentale; in pratica:

2 : 6 = 9 : 27 è una proporzione?

Considerando la regola stabilita dalla proprietà fondamentale, è necessario trovare il prodotto dei medi ed il prodotto degli estremi:

Prodotto dei medi: 6 · 9 = 54

Prodotto degli estremi: 2 · 27 = 54

Come si può facilmente vedere, il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi, quindi si tratta di una proporzione.

Esempio 2:

10; 3; 40; 5

Si vuole verificare se questo gruppo di numeri (nell’ordine in cui sono scritti) rappresenta una proporzione, applicando la proprietà fondamentale; in pratica:

10 : 3 = 40 : 5 è una proporzione?

Considerando la regola stabilita dalla proprietà fondamentale, è necessario trovare il prodotto dei medi ed il prodotto degli estremi:

Prodotto dei medi: 3 · 40 = 120

Prodotto degli estremi: 10 · 5 = 50

Come si può facilmente vedere, il prodotto dei medi non è uguale al prodotto degli estremi, quindi non si tratta di una proporzione.

Esempio 3:

5 : x = 20 : 40

In questo esempio si vuole calcolare il valore del termine incognito x (uno dei medi).

Applicando la proprietà fondamentale, avremo:

20 · x = 5 · 40 (cioè che il prodotto dei medi deve essere uguale al prodotto degli estremi)

Dividendo entrambi i termini per 20, si ottiene:

x= \frac{5\cdot40}{20}=10

La proporzione risulta 5 : 10 = 20 : 40.

Regola pratica: se devo trovare il valore di un medio incognito, faccio il prodotto degli estremi e divido per il medio che conosco!

Esempio 4:

6 : 54 = 2 : x

In questo esempio si vuole calcolare il valore del termine incognito x (uno degli estremi).

Applicando la proprietà fondamentale, avremo:

54 · 2 = 6 · x (cioè che il prodotto dei medi deve essere uguale al prodotto degli estremi)

Dividendo entrambi i termini per 8, si ottiene:

x= \frac{54\cdot2}{6}=18

La proporzione risulta 6 : 54 = 2 : 18.

Regola pratica: se devo trovare il valore di un estremo incognito, faccio il prodotto dei medi e divido per l’estremo che conosco!


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Le proporzioni

Le proporzioni spiegate in modo semplice ma efficace!

Un concetto molto importante in matematica (e non solo) è quello di proporzione.

Una proporzione è una uguaglianza tra due rapporti che si può esprimere in modo generico nella forma:

A : B = C : D

che si legge “A sta a B come C sta a D“.

Una proporzione, quindi, è una relazione che lega tra loro due rapporti: osservando la forma generica sopra riportata (i rapporti sono scritti “in linea”), si può affermare che il rapporto tra i numeri (o grandezze) A e B ha lo stesso valore del rapporto tra i numeri (o grandezze) C e D.

La forma generica si può esprimere anche nel modo seguente (rapporti scritti come frazioni):

\frac{A}{B}=\frac{C}{D}

I numeri che formano la proporzione si definiscono termini della proporzione e, in base alla posizione che occupano, hanno un nome preciso:

  • A e D sono gli estremi;
  • B e C sono i medi;
  • A e C sono gli antecedenti;
  • B e D sono i conseguenti.

Saper dare il giusto nome ai termini di una proporzione è estremamente importante perché permette di applicare le regole delle proporzioni:

Esempio 1:

15 : 3 = 20 : 4

Questa proporzione si legge “15 sta a 3 come 20 sta a 4”.

Ma è una proporzione? Per verificarlo calcoliamo il risultato dei due rapporti che compongono la proporzione, cioè 15 : 3 e 20 : 4, e osserviamo i due risultati:

15 : 3 = 5

20 : 4 = 5

Come si può vedere, i due rapporti che compongono la proporzione hanno lo stesso valore, quindi si tratta di una proporzione.

Esempio 2:

21 : 7 = 18 : 9

Questa proporzione si legge “21 sta a 7 come 18 sta a 9”.

Ma è una proporzione? Per verificarlo calcoliamo il risultato dei due rapporti che compongono la proporzione, cioè 21 : 7 e 18 : 9, e osserviamo i due risultati:

21 : 7 = 3

18 : 9 = 2

Come si può vedere, i due rapporti che compongono la proporzione non hanno lo stesso valore, quindi non si tratta di una proporzione.

Esiste una regola pratica che si utilizza, genericamente, per risolvere una proporzione: questa regola si chiama proprietà fondamentale delle proporzioni.


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Espressioni letterali

In questa lezione parleremo di espressioni letterali, grazie ad una spiegazione semplice ma efficace, esempi ed esercizi!

Un’espressione letterale (o espressione algebrica letterale) è un’insieme di operazioni che legano sia fattori numerici che letterali.

In geometria, per esempio, questi tipi di espressioni permettono di scrivere le formule che si applicano alle figure, ai solidi, ecc.

In generale, il valore di una espressione algebrica letterale è il risultato numerico che si ottiene eseguendo le operazioni previste, applicando alle lettere presenti il valore indicato: il valore dell’espressione, quindi, varia a seconda dei valori numerici che si assegnano alle lettere dell’espressione stessa.

Per risolvere un’espressione letterale si deve, innanzitutto, sostituire alle lettere presenti i valori indicati; in seguito, si applicano le regole previste per la risoluzione delle espressioni numeriche, eventualmente applicando le regole delle potenze (se presenti) e le relative proprietà.

Esempio 1:

a – 2b + 3a

con a = + 2, b = – 3.

Il primo passaggio per poter trovare il valore numerico di questa espressione letterale è quello di sostituire alle lettere (a e b) i valori indicati (sapendo che 2b vuol dire “2 per b” e 3a vuol dire “3 per a“):

+ 2 – 2(- 3) + 3(+ 2) =

Il secondo passaggio prevede di eseguire le operazioni che compaiono, seguendo l’ordine previsto dalle regole di svolgimento delle espressioni numeriche (prima moltiplicazioni e divisioni, poi addizioni e sottrazioni, nell’ordine in cui sono scritte):

+ 2 + 6 + 6 = + 14

Se alle lettere a e b dell’espressione letterale iniziale avessimo assegnato valori numerici diversi da + 2 e – 3, il valore finale dell’espressione letterale sarebbe stato diverso. Per esempio, con a = + 5 e b = + 10 l’espressione sarà la seguente:

+ 5 – 2(+ 10) + 3(+ 5) = + 5 – 20 + 15 = 0

Esempio 2:

a3 – 2b – 3a2 – 5c

con a = + 1, b = – 2, c = + 4

Il primo passaggio per poter trovare il valore numerico di questa espressione letterale è quello di sostituire alle lettere (a, b e c) i valori indicati:

(+ 1)3 – 2(- 2) – 3(+ 1)2 – 5(+ 4) =

Il secondo passaggio prevede di eseguire le operazioni che compaiono, seguendo l’ordine previsto dalle regole di svolgimento delle espressioni numeriche (prima le potenze, poi moltiplicazioni e divisioni, infine addizioni e sottrazioni, nell’ordine in cui sono scritte):

+ 1 + 4 – 3 – 20 = – 18

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m.c.m. di monomi

Il minimo comune multiplo di due o più monomi (m.c.m. di monomi) è il monomio di grado minimo che è loro multiplo comune.

Per calcolare il m.c.m. di monomi si devono analizzare i coefficienti e le parti letterali dei monomi iniziali:

  • il coefficiente numerico (indifferentemente con segno + o -) corrisponde:
    • al m.c.m. dei singoli coefficienti dei monomi iniziali, se questi sono numeri interi;
    • a 1 (per semplicità) se i coefficienti dei monomi iniziali non sono numeri interi;
  • la parte letterale è formata da tutte le lettere comuni e non comuni ai singoli monomi iniziali, prese una sola volta, con il massimo esponente con cui compaiono.

Se i monomi iniziali non hanno lettere comuni, il m.c.m. avrà come parte letterale il prodotto delle loro parti letterali.

Esempio 1:

m.c.m. (2a2b3; -3a4c)

Prima di tutto si ricava il m.c.m. dei coefficienti: in questo caso si deve calcolare il minimo comune multiplo tra 2 e 3, cioè:

m.c.m. (2; 3) = 6

Passando alla parte letterale, è conveniente analizzare ogni lettera che compare nei monomi iniziali, iniziando da quelle comuni (c’è solo a) e passando poi a quelle non comuni (b e c):

  • tra a2 del primo monomio e a4 del secondo monomio, si considera a4, perché ha l’esponente più alto;
  • nel primo monomio appare b3; essendo l’unica b presente, la si considera con l’esponente con cui compare, quindi b3;
  • nel secondo monomio appare c; essendo l’unica c presente, la si considera con l’esponente con cui compare, quindi c.

Si può concludere, quindi, che la parte letterale del m.c.m. sarà formata da a4b3c.

Per finire, il minimo comune multiplo corrisponde a +6a4b3c (si è scelto segno + per semplicità):

m.c.m. (2a2b3; -3a4c) = +6a4b3c

Esempio 2:

m.c.m. (3xy4; -6x2z; 9x3y6)

Prima di tutto si ricava il m.c.m. dei coefficienti: in questo caso si deve calcolare il minimo comune multiplo tra 3, 6 e 9, cioè:

m.c.m. (3; 6; 9) = 18

Passando alla parte letterale, è conveniente analizzare ogni lettera che compare nei monomi iniziali, iniziando da quelle comuni (c’è solo x) e passando poi a quelle non comuni (y e z):

  • tra x del primo monomio, x2 del secondo monomio e x3 del terzo monomio si considera x3, perché ha l’esponente più alto;
  • nel primo monomio appare y4, mentre nel terzo monomio appare y6: tra le due, si sceglie quella con esponente più alto, quindi y6;
  • nel secondo monomio appare z; essendo l’unica z presente, la si considera con l’esponente con cui compare, quindi z.

Si può concludere, quindi, che la parte letterale del m.c.m. sarà formata da x3y6z.

Per finire, il minimo comune multiplo corrisponde a +18x3y6z (si è scelto segno + per semplicità):

m.c.m. (3xy4; -6x2z; 9x3y6) = +18x3y6z

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M.C.D. di monomi

Il Massimo Comune Divisore di due o più monomi (M.C.D. di monomi) è il monomio di grado massimo che è loro divisore comune.

Per calcolare il M.C.D. di monomi si devono analizzare i coefficienti e le parti letterali dei monomi iniziali:

  • il coefficiente numerico (indifferentemente con segno + o -) corrisponde:
    • al M.C.D. dei singoli coefficienti dei monomi iniziali, se questi sono numeri interi;
    • a 1 (per semplicità) se i coefficienti dei monomi iniziali non sono numeri interi;
  • la parte letterale è formata da tutte le lettere comuni ai singoli monomi iniziali, prese una sola volta, con il minimo esponente con cui compaiono.

Nel caso in cui il M.C.D. di due o più monomi non contiene parte letterale, si dice che i monomi sono primi tra loro.

Esempio 1:

M.C.D. (2a2b3; 4a3b)

Prima di tutto si ricava il M.C.D. dei coefficienti: in questo caso si deve calcolare il Massimo Comune Divisore tra 2 e 4, cioè:

M.C.D. (2; 4) = 2

Passando alla parte letterale, si può notare che nei monomi iniziali appaiono sia a che b, quindi entrambe le lettere sono comuni:

  • tra a2 del primo monomio e a3 del secondo monomio, si considera a2, perché ha l’esponente più basso;
  • tra b3 del primo monomio e b del secondo monomio, si considera b, perché ha l’esponente più basso.

Da queste considerazioni, si può concludere che la parte letterale del M.C.D. sarà formata da a2b.

Per finire, il Massimo Comune Divisore corrisponde a 2a2b, quindi:

M.C.D. (2a2b3; 4a3b) = 2a2b

Esempio 2:

M.C.D. (-x2y; +xz; -2xy4)

Prima di tutto si ricava il M.C.D. dei coefficienti: in questo caso si deve calcolare il Massimo Comune Divisore tra 1, 1 e 2, cioè:

M.C.D. (1; 1; 2) = 1

Passando alla parte letterale, si può notare che l’unica lettera comune a tutti i monomi è x, poiché y è presente solamente nel primo e nel terzo monomio, mentre z è presente solo nel secondo; la lettera x ha esponente 2 nel primo monomio e 1 sia nel secondo che nel terzo monomio: si considera, quindi, x perché ha l’esponente più basso.

Da queste considerazioni, si può concludere che la parte letterale del M.C.D. sarà formata da x.

Per finire, il Massimo Comune Divisore corrisponde a +x (si è scelto segno + per semplicità), quindi:

M.C.D. (-x2y; +xz; -2xy4) = +x

Esempio 3:

M.C.D. (2a3b; 4cx)

Prima di tutto si ricava il M.C.D. dei coefficienti: in questo caso si deve calcolare il Massimo Comune Divisore tra 2 e 4, cioè:

M.C.D. (2; 4) = 2

Passando alla parte letterale, si può notare che non ci sono lettere comuni ad entrambi i monomi (a e b sono presenti nel primo monomio, ma non nel secondo; c e x sono presenti nel secondo monomio, ma non nel primo).

La considerazione riguardo alla parte letterale porta a concludere che il M.C.D. tra i monomi di questo esempio è uguale a 2, quindi – non essendoci parte letterale – i monomi sono primi tra loro.

M.C.D. (2a3b; 4cx) = 2

2a3b e 4cx sono monomi primi tra loro.

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Scomposizione di un polinomio in fattori

La scomposizione di polinomi in fattori (detta anche scomposizione in fattori di un polinomio) è un’operazione che assume in algebra un’importanza rilevante.

Scomporre un polinomio in fattori significa trasformare una somma algebrica di monomi in un prodotto di polinomi di grado inferiore: la scomposizione, quindi, corrisponde all’inverso della moltiplicazione.

Non sempre è possibile scomporre un polinomio: si definisce irriducibile un polinomio che è divisibile solo per 1 e per se stesso, quindi è un polinomio che non può essere scomposto.

Non esistono delle regole di carattere generale applicabili a tutti i polinomi. Esistono, tuttavia, alcuni procedimenti risolutivi che permettono di scomporre un polinomio in fattori:

Scomposizione con quadrato di un binomio

Scomposizione con quadrato di un binomio: la lezione che ti chiarirà ogni dubbio!

La scomposizione di un polinomio, in alcuni casi, è possibile facendo riferimento ai prodotti notevoli.

Se il polinomio da scomporre è un trinomio, è possibile – con alcune condizioni – che la scomposizione da applicare sia quella del quadrato di un binomio.

Le forme generiche di questa scomposizione sono le seguenti:

a2 + 2abb2 = (a + b)2

a2 – 2abb2 = (ab)2

Osservando le forme generiche, si deve verificare che il trinomio sia composto da:

  • due termini che sono due quadrati (a2 è il quadrato di ab2 è il quadrato di b);
  • un termine che corrisponde al doppio prodotto delle basi (+ 2ab è il doppio prodotto di a e b, nel primo caso; – 2ab è il doppio prodotto di a e b, nel secondo caso).

Concludendo, se in un trinomio due termini sono dei quadrati e il terzo termine è il doppio prodotto delle relative basi, il trinomio corrisponde allo sviluppo del quadrato di un binomio.

Esempio 1:

x2 + 4x + 4

Osservando i termini del trinomio, si può verificare che:

  • x2 è il quadrato di x;
  • 4 è il quadrato di 2;
  • 4x è il doppio prodotto delle due basi, cioè 2 · 2 · = 4x.

Questo permette di affermare che il trinomio da scomporre è lo sviluppo di un quadrato di un binomio, quindi è possibile eseguire la scomposizione come segue:

x2 + 4x + 4 = (x + 2)2

Per verificare che la scomposizione ottenuta è corretta, è sufficiente eseguire la potenza, quindi risolvere il quadrato del binomio, secondo la regola generale:

(x + 2)2 = (x)2 + 2 · 2 · + (2)2 = x2 + 4x + 4

Esempio 2:

4a4 – 12a2b + 9b2

Osservando i termini del trinomio, si può verificare che:

  • 4a4 è il quadrato di 2a2;
  • 9b2 è il quadrato di – 3b (lo consideriamo negativo perché il doppio prodotto è negativo);
  • – 12a2b è il doppio prodotto delle due basi, cioè 2 · 2a2 · (- 3b) = – 12a2b.

Questo permette di affermare che il trinomio da scomporre è lo sviluppo di un quadrato di un binomio, quindi è possibile eseguire la scomposizione come segue:

4a4 – 12a2b + 9b2 = (2a2 – 3b)2

Per verificare che la scomposizione ottenuta è corretta, è sufficiente eseguire la potenza, quindi risolvere il quadrato del binomio, secondo la regola generale:

(2a2 – 3b)2 = (2a2)2 + 2 · 2a2 · (- 3b) + (- 3b)2 = 4a4 – 12a2b + 9b2

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Scomposizione con differenza di due quadrati

Scomposizione con differenza di due quadrati: ecco la lezione che ti chiarirà ogni dubbio!

La scomposizione di un polinomio, in alcuni casi, è possibile facendo riferimento ai prodotti notevoli.

Se il polinomio da scomporre è un binomio costruito dalla differenza di due monomi che sono due quadrati, allora la scomposizione da applicare è quella della differenza di due quadrati.

La forma generica di questa scomposizione è la seguente:

a2b2 = (a + b)(ab)

È importante, quindi, verificare che i due monomi che compongono il binomio sono riconducibili a due quadrati.

Una volta verificata questa condizione, la scomposizione si ottiene scrivendo il prodotto della somma delle basi per la loro differenza.

Esempio 1:

4x2 – 25

Osservando il due termini del binomio, si può verificare che:

  • 4x2 è il quadrato di 2x;
  • 25 è il quadrato di 5;
  • tra i due termini c’è il segno meno.

Questo permette di affermare che si tratta di una differenza di due quadrati, quindi è possibile eseguire la scomposizione come segue:

4x2 – 25 = (2x + 5)(2x – 5)

Per verificare che la scomposizione ottenuta è corretta, è sufficiente eseguire la moltiplicazione:

(2x + 5)(2x – 5) = 4x2 – 10x + 10x – 25 = 4x2 – 25

I termini evidenziati in rosso si annullano, ottenendo così il polinomio iniziale.

Esempio 2:

16a4 – 9b2

Osservando il due termini del binomio, si può verificare che:

  • 16a4 è il quadrato di 4a2;
  • 9b2 è il quadrato di 3b;
  • tra i due termini c’è il segno meno.

Questo permette di affermare che si tratta di una differenza di due quadrati, quindi è possibile eseguire la scomposizione come segue:

16a4 – 9b2 = (4a2 + 3b)(4a2 – 3b)

Per verificare che la scomposizione ottenuta è corretta, è sufficiente eseguire la moltiplicazione:

(4a2 + 3b)(4a2 – 3b) = 16a4 – 12a2b + 12a2b – 9b2 = 16a4 – 9b2

I termini evidenziati in rosso si annullano, ottenendo così il polinomio iniziale.

Guarda la video lezione nel canale Youtube matematicaoggi!

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Somma o differenza di due cubi

La scomposizione di un polinomio scritto come somma di due cubi (o differenza di due cubi) è possibile se il polinomio è composto da due monomi che hanno:

  • i coefficienti cubi perfetti;
  • le parti letterali con gli esponenti divisibili per 3.

Genericamente, la scomposizione della somma di due cubi può essere espressa nella forma:

a3 + b3 = (a + b)(a2ab + b2)

In modo analogo, la scomposizione della differenza di due cubi può essere espressa genericamente come:

a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2)

Osservando le scomposizioni, la somma di due cubi (o la differenza di due cubi) può essere espressa come il prodotto tra:

  • la somma (o la differenza) tra le basi (a è la base di a3; b è la base di b3);
  • il trinomio composta da:
    • il quadrato della prima base (a2 è il quadrato di a);
    • il prodotto delle basi, cambiato di segno (ab nel caso di somma di due cubi; + ab nel caso di differenza di due cubi);
    • il quadrato della seconda base (b2 è il quadrato di b).

Esempio 1:

8x3 + 27y3

Osservando il polinomio si può notare che:

  • i coefficienti sono cubi perfetti (8 è il cubo di 2; 27 è il cubo di 3);
  • le parti letterali hanno gli esponenti che sono divisibili per 3 (entrambi gli esponenti di x e di y sono uguali a 3).

Questo porta ad affermare che il polinomio 8x3 + 27y3 corrisponde alla somma di due cubi, quindi si può scomporre.

Applicando la regola generale sopra riportata, la scomposizione sarà:

8x3 + 27y3 = (2x + 3y)(4x2 – 6xy + 9y2)

Per verificare che la scomposizione è corretta, è sufficiente eseguire il prodotto:

(2x + 3y)(4x2 – 6xy + 9y2) = 8x3 – 12x2y + 18xy2 + 12x2y – 18xy2 + 27y38x3 + 27y3

I termini evidenziati in rosso e in blu si annullano e si ottiene il polinomio iniziale: questo porta ad affermare che la scomposizione è corretta.

Esempio 2:

a9 – 64b6

Osservando il polinomio si può notare che:

  • i coefficienti sono cubi perfetti (1 è il cubo di 1; 64 è il cubo di 4);
  • le parti letterali hanno gli esponenti che sono divisibili per 3 (a ha esponente uguale a 9; b ha esponente uguale a 6).

Questo porta ad affermare che il polinomio a9 – 64b6 corrisponde alla differenza di due cubi, quindi si può scomporre.

Applicando la regola generale sopra riportata, la scomposizione sarà:

a9 – 64b6 = (a3 – 4b2)(a6 + 4a3b2 + 16b4)

Per verificare che la scomposizione è corretta, è sufficiente eseguire il prodotto:

(a3 – 4b2)(a6 + 4a3b2 + 16b4) = a9 + 4a6b2 + 16a3b4 – 4a6b2 – 16a3b4 – 64b6 = a9 – 64b6

I termini evidenziati in rosso e in blu si annullano e si ottiene il polinomio iniziale: questo porta ad affermare che la scomposizione è corretta.

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Trinomio notevole (somma e prodotto)

Il trinomio notevole è un particolare trinomio di secondo grado che presenta alcune caratteristiche specifiche.

Si considera un trinomio di secondo grado della forma:

x2 + sx + p

in cui s e p sono coefficienti numerici che soddisfano queste condizioni:

  • s = n1 + n2 (cioè la somma di due numeri)
  • p = n1 · n2 (cioè il prodotto di due numeri)

Sostituendo i valori di s e di p nel trinomio di secondo grado generico si ottiene:

x2 + (n1 + n2)x + (n1 · n2)

Se esistono due numeri n1 e n2 che rispettano le condizioni sopra riportate (esistono, quindi, la somma e il prodotto), allora si può procedere alla scomposizione del trinomio notevole con somma e prodotto nel modo seguente:

x2 + sx + p = (x + n1)(x + n2)

Esempio 1:

x2 + 9x + 20

L’analisi del trinomio inizia chiedendosi se esistono due numeri tali che:

  • s = n1 + n2 = + 9
  • p = n1 · n2 = + 20

La coppia di valori che rispetta le condizioni sopra riportare è (+ 4; + 5); si può facilmente verificare che i valori sono corretti con un paio di semplici calcoli:

  • s = n1 + n2 = + 4 + 5 = + 9
  • p = n1 · n2 = (+ 4) · (+ 5) = + 20

I valori + 4 e + 5 sono quelli necessari per ottenere la scomposizione del trinomio:

x2 + 9x + 20 = (x + 4)(x + 5)

Per verificare che la scomposizione è corretta, è sufficiente eseguire il prodotto:

(x + 4)(x + 5) = x2 + 5x + 4x + 20 = x2 + 9x + 20

Esempio 2:

x2 + 5x – 14

L’analisi del trinomio inizia chiedendosi se esistono due numeri tali che:

  • s = n1 + n2 = + 5
  • p = n1 · n2 = – 14

La coppia di valori che rispetta le condizioni sopra riportare è (+ 7; – 2); si può facilmente verificare che i valori sono corretti con un paio di semplici calcoli:

  • s = n1 + n2 = + 7 – 2 = + 5
  • p = n1 · n2 = (+ 7) · (- 2) = – 14

I valori + 7 e – 2 sono quelli necessari per ottenere la scomposizione del trinomio:

x2 + 5x – 14 = (x + 7)(x – 2)

Per verificare che la scomposizione è corretta, è sufficiente eseguire il prodotto:

(x + 7)(x – 2) = x2 – 2x + 7x – 14 = x2 + 5x – 14

Scarica il pdf della lezione sulla scomposizione del trinomio notevole (somma e prodotto)!

Raccoglimento a fattor comune parziale

Il raccoglimento a fattor comune parziale (o più semplicemente raccoglimento parziale) si può applicare quando nel polinomio si possono mettere in evidenza alcuni fattori, cioè nel caso in cui il polinomio ha fattori comuni “a gruppi”.

La scomposizione di polinomi con raccoglimento a fattor comune parziale si applica, in genere, a quei polinomi che hanno un numero di termini pari.

Esempio 1:

x2 + xy + 2x + 2y

Osservando il polinomio si può notare che non esiste un fattore comune a tutti i termini che lo compongono (quindi non è possibile applicare il raccoglimento a fattor comune totale); si può però notare che i primi due termini (x2 e xy) hanno in comune il fattore x, mentre gli altri due termini (2x e 2y) hanno in comune il fattore 2.

Si può, quindi, operare un primo raccoglimento, ottenendo così:

x2 + xy + 2x + 2y = x (x + y) + 2 (x + y)

Ora non resta che raccogliere il termine (x + y), ottenendo così:

x2 + xy + 2x + 2y = x (x + y) + 2 (x + y) = (x + y)(x + 2)

In modo alternativo, la scomposizione con raccoglimento parziale appena svolta si poteva ottenere raccogliendo – nel primo passaggio – il termine x tra il primo e il terzo monomio (x2 e 2x) e il termine y tra il secondo e il quarto monomio (xy e 2y), ottenendo così:

x2 + xy + 2x + 2y = x (x + 2) + y (x + 2) = (x + 2)(x + y)

Come si può notare, i risultati delle scomposizioni sono equivalenti.

Esempio 2:

a3 + a2 + aa2b + ab + b

Osservando il polinomio si può notare che i primi tre termini (a3a2 e a) hanno in comune il fattore a, mentre gli altri tre termini (a2bab e b) hanno in comune il fattore b.

Si può, quindi, operare un primo raccoglimento, ottenendo così:

a3 + a2 + aa2b + ab + b = a (a2 + a + 1) + b (a2 + a + 1)

Ora non resta che raccogliere il termine (a2 + a + 1), ottenendo così:

a3 + a2 + aa2b + ab + b = a (a2 + a + 1) + b (a2 + a + 1) = (a2 + a + 1)(+ b)

In modo alternativo, la scomposizione con raccoglimento parziale appena svolta si poteva ottenere raccogliendo – nel primo passaggio – il termine a2 tra il primo e il quarto monomio (a3 e a2b), il termine a tra il secondo e il quinto monomio (a2 e ab), il termine 1 tra il terzo e il sesto monomio (a e b), ottenendo così:

a3 + a2 + aa2b + ab + b a2 (a + b) + a (a + b) + 1 (a + b) = (+ b)(a2 + a + 1)

Come si può notare, i risultati delle scomposizioni sono equivalenti.

Guarda la video lezione sul canale Youtube matematicaoggi!

Scarica il pdf della lezione sul raccoglimento a fattor comune parziale!

Raccoglimento a fattor comune totale

Il raccoglimento a fattor comune totale (o più semplicemente raccoglimento totale) è il modo più semplice per scomporre un polinomio.

Per poter applicare questa operazione di scomposizione è necessario che tutti i termini del polinomio abbiano un divisore comune: si deve, quindi, identificare il M.C.D. del polinomio.

Una volta trovato il M.C.D. del polinomio, si utilizza la proprietà del raccoglimento per ottenere la scomposizione.

Esempio 1:

15a2 + 10a3 – 20a5

Per scomporre il polinomio si deve calcolare il M.C.D.: osservando i termini del polinomio, si può facilmente notare che:

  • per i coefficienti (15, 10 e 20) il M.C.D. è 5;
  • per le parti letterali (a2, a3 e a5) il M.C.D. è a2;

Il M.C.D. dei termini è 5a2: questo sarà il termine che verrà “raccolto” dal polinomio iniziale per poterlo scomporre. Si avrà quindi:

15a2 + 10a3 – 20a5 = 5a2 (3+ 2a – 4a3)

Esempio 2:

2xy3z4 – 3x3y2zx2y3 – 4x4y4z

Per scomporre il polinomio si deve calcolare il M.C.D.: osservando i termini del polinomio, si può facilmente notare che:

  • per i coefficienti (2, 3, 1 e 4) il M.C.D. è 1;
  • per le parti letterali (xy3z4x3y2zx2y3 e x4y4z) il M.C.D. è xy2;

Il M.C.D. dei termini è xy2: questo sarà il termine che verrà “raccolto” dal polinomio iniziale per poterlo scomporre. Si avrà quindi:

2xy3z4 – 3x3y2zx2y3 – 4x4y4z = xy2 (2yz4 – 3x2zxy – 4x3y2z)

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Problemi con minimo comune multiplo (m.c.m.)

Nella pratica è possibile incontrare problemi che richiedono il calcolo del minimo comune multiplo (m.c.m.).

Ecco un esempio:

Tre lampadine di accendono, rispettivamente, ogni 6 secondi, ogni 10 secondi e ogni 12 secondi. Ora sono le 10:00 e si sono accese tutte insieme: a che ora si accenderanno ancora contemporaneamente? Quante volte si accenderanno insieme in un’ora?

Questo è un tipico problema risolvibile con il minimo comune multiplo: si considerano tre grandezze che si ripetono (quindi si devono trovare dei multipli di queste grandezze); viene chiesta la contemporaneità (quindi i multipli devono essere comuni); si chiede il momento in cui avverrà di nuovo la contemporaneità (tra i multipli comuni si deve considerare quello minimo).

Questo ragionamento ci porta a concludere che il tempo che passerà prima che le lampadine si accendano nuovamente tutte insieme corrisponde al minimo comune multiplo dei tempi iniziali.

Si procede, quindi, con il calcolo di m.c.m. (6; 10; 12).

La scomposizione in fattori primi dei tre numeri porta ai seguenti risultati:

6=2\cdot3

10=2\cdot5

12= 2^{2}\cdot3

Per il calcolo del m.c.m. si devono considerare i fattori comuni e i fattori non comuni, con il più alto esponente: in questo caso, l’unico fattore comune è il 2, quello con esponente più alto è 22; 3 e 5 sono fattori non comuni, quindi:

m.c.m. (6; 10; 12) = 22 · 3 · 5 = 60

Sono, quindi, 60 secondi, cioè 1 minuto: se le tre lampadine si sono accese contemporaneamente alle 10:00, si accenderanno di nuovo contemporaneamente dopo 1 minuto, quindi alle 10:01.

Per stabilire quante volte le tre lampadine si accenderanno insieme in un’ora, è sufficiente dividere il numero di minuti che ci sono in un’ora (60) per il tempo comune di accensione:

60 minuti : 1 minuto = 60.

Le tre lampadine si accenderanno contemporaneamente 60 volte in un’ora.

Guarda la videolezione nel canale Youtube matematicaoggi!

Scarica il pdf della lezione sui problemi con il calcolo del minimo comune multiplo (m.c.m.)!

Problemi con massimo comune divisore (M.C.D.)

Nella pratica è possibile incontrare problemi che richiedono il calcolo del Massimo Comune Divisore (M.C.D.).

Ecco un esempio:

Tre tubi di alluminio sono lunghi rispettivamente 24 cm, 36 cm e 40 cm: questi tubi vanno tagliati e si vogliono ottenere dei pezzi tutti uguali e della massima lunghezza possibile, senza che avanzino pezzi. Qual è la lunghezza dei pezzi? Quanti pezzi si ottengono?

Questo è un tipico problema risolvibile con il Massimo Comune Divisore: si considerano tre grandezze che vanno tagliate (quindi si devono trovare dei divisori di queste grandezze); i pezzi devono essere tutti uguali (quindi i divisori devono essere comuni); i pezzi devono essere della massima lunghezza possibile, senza avanzare pezzi (quindi tra i divisori comuni si deve scegliere quello massimo).

Questo ragionamento ci porta a concludere che la lunghezza dei pezzi da tagliare corrisponde al Massimo Comune Divisore delle lunghezze dei tre tubi di alluminio iniziali.

Si procede, quindi, con il calcolo di M.C.D. (24; 36; 40).

La scomposizione in fattori primi dei tre numeri porta ai seguenti risultati:

24= 2^{3}\cdot3

36= 2^{2}\cdot 3^{2}

40= 2^{3}\cdot 5

Per il calcolo del M.C.D. si devono considerare solo i fattori comuni, con il più basso esponente: in questo caso, l’unico fattore comune è il 2, quello con esponente più basso è 22, quindi:

M.C.D. (24; 36; 40) = 22 = 4

Sono, quindi, 4 cm, cioè la lunghezza dei pezzi che verranno tagliati.

Per stabilire quanti pezzi si ottengono, è sufficiente sommare le lunghezze dei tre tubi di alluminio iniziali e dividere per la lunghezza dei pezzi:

24 + 36 + 40 = 100 cm : 4 cm = 25 pezzi.

In totale si ottengono 25 pezzi.

Guarda la video lezione nel canale Youtube matematicaoggi!

Scarica il pdf della lezione sui problemi con il Massimo Comune Divisore (M.C.D.)!

Enti geometrici fondamentali

Gli enti geometrici fondamentali (detti anche termini primitivi della geometria) sono dei concetti di base, privi di una vera e propria definizione, dai quali si parte per “costruire” la geometria, che è fatta di assiomi, teoremi e dimostrazioni.

Gli enti geometrici fondamentali sono:

  • Il punto;
  • La retta;
  • Il piano.

Il punto

Per definire che cos’è un punto, si può immaginare un granello di sabbia oppure il piccolissimo segno lasciato dalla punta di una matita o di una penna su un foglio.

Il punto

Caratteristiche del punto:

  • È privo di dimensione;
  • Indica una posizione;
  • Si indica con una lettera maiuscola del nostro alfabeto (A, B, …).

La retta

Per definire che cos’è una retta, si può immaginare di iniziare a tracciare una linea, come un filo perfettamente steso, che mantiene sempre la stessa direzione e che non ha una fine, né da una parte, né dall’altra.

La retta

Caratteristiche della retta:

  • Ha una sola dimensione, la lunghezza;
  • È un insieme infinito di punti, che mantengono sempre la stessa direzione;
  • Si indica con una lettera minuscola del nostro alfabeto (a, b, …).

Il piano

Per definire che cos’è un piano, si può considerare un foglio o il piano di un tavolo e immaginarli che si estendono all’infinito lungo i loro lati. Per semplicità, solitamente si rappresenta come segue:

Il piano

Caratteristiche del piano:

  • Ha due dimensioni, la lunghezza e la larghezza;
  • È un insieme infinito di punti e rette;
  • Si indica con una lettera minuscola dell’alfabeto greco (α, β, …).

Relazioni tra enti geometrici fondamentali

  • Per un punto passano infinite rette (fascio di rette).

Fascio di rette

  • Per due punti distinti passa una e una sola retta.

Retta e due punti

  • Per tre punti allineati passa una e una sola retta. Per tre punti non allineati non passano rette.

Retta e tre punti

  • Per tre punti allineati, o per una retta, passano infiniti piani (fascio di piani).

Fascio di piani

  • Per tre punti non allineati passa uno e un solo piano.

Piano e tre punti

Test a risposta multipla!

Scarica il pdf della lezione sugli enti geometrici fondamentali!

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Criterio generale di divisibilità

Il criterio generale di divisibilità permette di stabilire se un numero naturale è divisibile per un altro numero naturale, senza eseguire la divisione.

Il primo passaggio consiste nella scomposizione in fattori primi dei numeri che si prendono in considerazione.

Un volta eseguita la scomposizione, si osservano i fattori: si può affermare che i due numeri sono divisibili se nella scomposizione in fattori primi del dividendo (primo numero) si trovano tutti i fattori primi del divisore (secondo numero), con esponente maggiore o uguale.

Infine, è possibile ottenere il quoziente della divisione, dividendo i fattori corrispondenti del dividendo e del divisore, applicando la seconda proprietà delle potenze (quoziente di potenze con la stessa base).

Esempio 1:

Verificare se 504 è divisibile per 36. Eventualmente, eseguire la divisione.

1_Scomposizione in fattori primi dei due numeri:

Criterio generale di divisibilità

504= 2^{3}\cdot 3^{2}\cdot 7

36= 2^{2}\cdot 3^{2}

2_Osservando la scomposizione in fattori primi del numero 504 si può vedere che i fattori hanno esponente maggiore o uguale ai fattori del numero 36: si può, quindi, affermare che 504 è divisibile per 36.

3_Quoziente della divisione: il quoziente si può ottenere dividendo tra loro i fattori primi corrispondenti ottenuti dalla scomposizione in fattori primi:

504:36=(2^{3}\cdot3^{2}\cdot7):(2^{2}\cdot3^{2})=(2^{3}:2^{2})\cdot(3^{2}:3^{2})\cdot7=2^{1}\cdot3^{0}\cdot7=2\cdot1\cdot7=14

Esempio 2:

Verificare se 810 è divisibile per 324. Eventualmente, eseguire la divisione.

1_Scomposizione in fattori primi dei due numeri:

Criterio generale di divisibilità_2

810=2\cdot 3^{4}\cdot5

324= 2^{2}\cdot 3^{4}

2_Osservando la scomposizione in fattori primi del numero 810 si può vedere che il fattore 2 ha esponente minore del fattore 2 del numero 324: si può, quindi, affermare che 810 non è divisibile per 324.

Guarda la video lezione nel canale Youtube matematicaoggi!

Vai alla pagina degli esercizi sul criterio generale di divisibilità!

Scarica il pdf della lezione sul criterio generale di divisibilità!

Operazioni con le frazioni

In questa pagina analizziamo le operazioni con le frazioni.

In generale, i calcoli con le frazioni sono più semplici se vengono eseguiti con le corrispondenti frazioni ridotte ai minimi termini (vai alla lezione sulla semplificazione di una frazione). Quindi, prima di eseguire le operazioni, conviene sempre – se possibile – ridurre le frazioni ai minimi termini (cioè semplificarle).

Ciò permette di ridurre al minimo gli errori, poiché si eseguono calcoli con numeri più piccoli.

Nota importante: nel caso in cui vi siano numeri interi, questi vanno considerati come frazioni con denominatore 1.

Qui di seguito trovate le lezioni sulle operazioni con le frazioni:

Una lezione particolarmente importante è quella che riguarda le espressioni con le frazioni: in essa trovano applicazione tutte le operazioni sopra presentate, quindi – per completezza – non perdere anche questa spiegazione!

Nel canale Youtube matematicaoggi è presente un’interessante playlist con una serie di videolezioni coinvolgenti, che completano le lezioni sopra elencate.


Vai alla pagina degli esercizi su questo argomento!

Test a risposta multipla, utile per valutare il tuo apprendimento!

Divisione di frazioni

Prima di capire come si svolge la divisione di frazioni, è importante chiarire il concetto di reciproco di una frazione.

Se consideriamo la frazione:

\frac{n}{m}

il reciproco di questa frazione si ottiene invertendo la posizione di numeratore e denominatore (in pratica si cambiano di posto), quindi si ottiene:

\frac{m}{n}

Vediamo alcuni esempi numerici, riportati nella seguente tabella:

Frazione iniziale Reciproca
\frac{3}{2} \frac{2}{3}
\frac{7}{15} \frac{15}{7}
\frac{1}{12} \frac{12}{1}=12
5=\frac{5}{1} \frac{1}{5}

Chiarito questo concetto, passiamo all’argomento della lezione.

Per eseguire la divisione di frazioni, è necessario – innanzitutto – trasformare la divisione in una moltiplicazione: il dividendo (la prima frazione) rimane uguale, mentre del divisore (la seconda frazione) se ne fa il reciproco (si invertono numeratore e denominatore). In seguito, si risolve la moltiplicazione seguendo le regole della moltiplicazione di frazioni.

Esempio 1:

\frac{15}{4}:\frac{18}{5}=

si trasforma la divisione in moltiplicazione e si scrive la reciproca della seconda frazione, ottenendo:

\frac{15}{4}\cdot\frac{5}{18}=

si procede come per la moltiplicazione, ottenendo:

Divisione di frazioni

Esempio 2:

\frac{14}{5}:\frac{28}{5}:\frac{2}{3}=

si trasformano le divisioni in moltiplicazioni e si scrivono le reciproche della seconda e della terza frazione, ottenendo:

\frac{14}{5}\cdot\frac{5}{28}\cdot\frac{3}{2}=

si procede come per la moltiplicazione, ottenendo:

Divisione di frazioni_2Guarda la video lezione nel canale Youtube matematicaoggi!

Vai alla pagina degli esercizi sulla divisione tra frazioni e sulle operazioni con le frazioni in generale!

Questa che abbiamo appena presentato  non è l’unica operazione che è possibile svolgere con le frazioni.

Se desideri, puoi accedere ad altre lezioni sulle operazioni con le frazioni! In particolare:

E per finire, non perdere una lezione semplice ma efficace sulle espressioni con le frazioni!

Nel canale Youtube matematicaoggi è presente un’interessante playlist con una serie di videolezioni coinvolgenti, che completano le lezioni sopra elencate.

Moltiplicazione di frazioni

In questa lezione vedremo come si svolge la moltiplicazione di frazioni.

Per trovare il prodotto di frazioni, è consigliabile verificare, prima di tutto, se sono possibili semplificazioni:

  • tra numeratore e denominatore della stessa frazione (vai alla lezione sulla semplificazione di frazioni);
  • tra numeratore di una frazione e denominatore di un’altra frazione e viceversa.

Il prodotto si ottiene eseguendo la moltiplicazione tra i numeratori e la moltiplicazione tra i denominatori.

Esempio 1:

\frac{20}{7}\cdot\frac{14}{5}=

il numeratore della prima frazione è semplificabile con il denominatore della seconda frazione (20 è multiplo di 5) e il denominatore della prima frazione è semplificabile con il numeratore della seconda frazione (14 è multiplo di 7); si ottiene così:

Moltiplicazione di frazioni

A questo punto non resta che eseguire la moltiplicazione tra i numeratori e la moltiplicazione tra i denominatori, ottenendo così:

\frac{4}{1}\cdot\frac{2}{1}=\frac{8}{1}=8

Esempio 2:

\frac{11}{7}\cdot\frac{7}{10}\cdot\frac{5}{33}=

il numeratore della prima frazione è semplificabile con il denominatore della terza frazione (33 è multiplo di 11), il numeratore della terza frazione è semplificabile con il denominatore della seconda frazione (10 è multiplo di 5) e il denominatore della prima frazione è semplificabile con il numeratore della seconda frazione (7 è divisibile per se stesso); si ottiene così:

Moltiplicazione di frazioni_2

A questo punto non resta che eseguire la moltiplicazione tra i numeratori e la moltiplicazione tra i denominatori, ottenendo così:

\frac{1}{1}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}=\frac{1}{6}

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Vai alla pagina degli esercizi sulla moltiplicazione di frazioni e sulle operazioni con le frazioni in generale!

Questa che abbiamo appena presentato  non è l’unica operazione che è possibile svolgere con le frazioni.

Se desideri, puoi accedere ad altre lezioni sulle operazioni con le frazioni! In particolare:

E per finire, non perdere una lezione semplice ma efficace sulle espressioni con le frazioni!

Nel canale Youtube matematicaoggi è presente un’interessante playlist con una serie di videolezioni coinvolgenti, che completano le lezioni sopra elencate.

Sottrazione di frazioni

In questa lezione vedremo come si svolge la sottrazione di frazioni.

Per trovare la differenza di frazioni si opera in modo del tutto simile a quanto visto per l’addizione di frazioni, quindi è necessario calcolare prima di tutto il denominatore comune, cioè il m.c.d. (m.c.m. dei denominatori – vai alla lezione sul calcolo del m.c.m.) delle frazioni da sottrarre. In seguito si operano le trasformazioni come avviene per la riduzione di più frazioni allo stesso denominatore.

Esempio 1:

\frac{7}{5}-\frac{1}{2}=

Il denominatore comune (m.c.m.) tra 5 e 2 è 10, quindi si avrà:

\frac{(10:5)\cdot7-(10:2)\cdot1}{10}=

cioè si divide il m.c.d. per i denominatori delle frazioni iniziali e si moltiplicano i quozienti ottenuti per i rispettivi numeratori; in questo modo di ottiene:

\frac{14-5}{10}=\frac{9}{10}

Esempio 2:

3-\frac{3}{7}-\frac{5}{14}=

Il numero 3 lo consideriamo una frazione con denominatore 1:

\frac{3}{1}-\frac{3}{7}-\frac{5}{14}=

Il denominatore comune tra 1, 7 e 14 è 14, quindi si avrà:

\frac{(14:1)\cdot3-(14:7)\cdot3-(14:14)\cdot5}{14}=

cioè si divide il m.c.d. per i denominatori delle frazioni iniziali e si moltiplicano i quozienti ottenuti per i rispettivi numeratori; in questo modo di ottiene:

\frac{42-6-5}{14}=\frac{31}{14}

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Vai alla pagina degli esercizi sulla sottrazione di frazioni e sulle operazioni con le frazioni in generale!

Questa che abbiamo appena presentato  non è l’unica operazione che è possibile svolgere con le frazioni.

Se desideri, puoi accedere ad altre lezioni sulle operazioni con le frazioni! In particolare:

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Addizione di frazioni

Una lezione completa e chiara sull’addizione di frazioni: tutto ciò che c’è da sapere lo trovi qui!

Per trovare la somma di frazioni, è necessario calcolare prima di tutto il denominatore comune, cioè il m.c.d. (m.c.m. dei denominatori – vai alla lezione sul calcolo del m.c.m.) delle frazioni da sommare. In seguito si operano le trasformazioni come avviene per la riduzione di più frazioni allo stesso denominatore.

Esempio 1:

\frac{2}{5}+\frac{1}{3}=

Il denominatore comune (m.c.m.) tra 5 e 3 è 15, quindi si avrà:

\frac{(15 : 5)\cdot2+(15 : 3)\cdot1}{15}=

cioè si divide il m.c.d. per i denominatori delle frazioni iniziali e si moltiplicano i quozienti ottenuti per i rispettivi numeratori; in questo modo di ottiene:

\frac{6+5}{15}=\frac{11}{15}

Esempio 2:

\frac{3}{4}+2+\frac{7}{5}=

Il numero 2 lo consideriamo una frazione con denominatore 1:

\frac{3}{4}+\frac{2}{1}+\frac{7}{5}=

Il denominatore comune (m.c.m.) tra 4, 1 e 5 è 20, quindi si avrà:

\frac{(20:4)\cdot3+(20:1)\cdot2+(20:5)\cdot7}{20}=

cioè si divide il m.c.d. per i denominatori delle frazioni iniziali e si moltiplicano i quozienti ottenuti per i rispettivi numeratori; in questo modo di ottiene:

\frac{15+40+28}{20}=\frac{83}{20}

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Vai alla pagina degli esercizi sull’addizione di frazioni e sulle operazioni con le frazioni in generale!

Questa che abbiamo appena presentato  non è l’unica operazione che è possibile svolgere con le frazioni.

Se desideri, puoi accedere ad altre lezioni sulle operazioni con le frazioni! In particolare:

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Media aritmetica

La media aritmetica è un valore che permette di sintetizzare le informazioni che riguardando una serie di dati che si hanno a disposizione.

In statistica, è il tipo di media che viene utilizzato più comunemente e fa parte degli elementi della statistica descrittiva.

La media aritmetica viene utilizzata quando i dati o le grandezza che si prendono in considerazione sono equivalenti, cioè hanno tutte la stessa rilevanza: in caso contrario, si dovrebbe utilizzare la media ponderata (o media “pesata”).

Per calcolare la media aritmetica, si devono sommare tutti i valori che si prendono i considerazione e dividere tale somma per il numero di valori, cioè:

Media aritmetica

in cui x1, x2, …, xN sono i valori dei singoli dati di cui si vuole calcolare la media aritmetica, mentre N è il numero di dati.

Esempio 1:

Calcolare la media aritmetica dei seguenti dati che si riferiscono alle età di 12 allievi di una classe prima di scuola superiore:

14 14 15 16 14 14
15 14 14 14 15 15

 

Calcoliamo la media, sommando tutti i valori della tabella e dividendo tale somma per il numero di allievi, ottenendo:

m = (14 + 15 + 14 + 14 + 15 + 14 + 16 + 14 + 14 + 15 + 14 + 15) / 12 = 174 / 12 = 14,5.

L’età media della classe è 14,5 anni.

Esempio 2:

Calcolare la media aritmetica dei seguenti dati che si riferiscono al numero di smartphone posseduti da 16 famiglie:

1 2 3 2
2 4 1 3
1 2 0 2
3 2 1 3

Calcoliamo la media, sommando tutti i valori della tabella e dividendo tale somma per il numero di famiglie, ottenendo:

m = (1 + 2 + 1 + 3 + 2 + 4 + 2 + 2 + 3 + 1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 2 + 3) / 16 = 32 / 16 = 2.

Il numero medio di smartphone per famiglia è pari a 2.


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Notazione scientifica

La notazione scientifica di un numero è una scrittura particolare attraverso la quale si possono esprimere i numeri, sia naturali che decimali.

Solitamente si utilizza questa forma quando si ha a che fare con numeri molto grandi o numeri molto piccoli.

Questa scrittura viene espressa nella forma:

∙ 10b

in cui

  • 1 ≤ a < 10, cioè a è un numero compreso tra 1 (incluso) e 10 (escluso);
  • b è l’esponente del 10 che può assumere valore positivo (se la notazione scientifica è di un numero naturale) o valore negativo (se la notazione scientifica è di un numero decimale).

Alcuni esempi di numeri espressi in questa forma:

1,5 ∙ 103
4,06 ∙ 1012
1,2 ∙ 10-2
8,3 ∙ 10-35

Notazione scientifica di un numero naturale

Quando si deve scrivere la notazione scientifica di un numero naturale, si inizia contando le cifre del numero, escludendo la prima a sinistra (il numero ottenuto corrisponde all’esponente del 10, con valore positivo). In seguito, si posiziona la virgola dopo la prima cifra a sinistra del numero, lasciando dopo la virgola tutte le altre cifre, escludendo gli zeri alla fine del numero.

Esempi:

5.700

La prima cifra a sinistra è 5; andando verso destra contiamo 3 cifre: questo valore (3) corrisponde all’esponente del 10, quindi sarà 103.

Inserendo la virgola dopo la prima cifra (quindi dopo il 5) ed escludendo gli zeri dopo il 7 (5,700), otteniamo così la notazione scientifica del numero 5.700:

5.700 = 5,7 ∙ 103

154.000.000

La prima cifra a sinistra è 1; andando verso destra contiamo 8 cifre: questo valore (8) corrisponde all’esponente del 10, quindi sarà 108.

Mettendo la virgola dopo la prima cifra (quindi dopo l’1) ed escludendo gli zeri dopo il 4 (1,54.000.000), otteniamo così la notazione scientifica del numero 154.000.000:

154.000.000 = 1,54 ∙ 108

Notazione scientifica di un numero decimale

Quando si deve scrivere la notazione scientifica di un numero decimale, si inizia individuando la prima cifra maggiore di 0 partendo da sinistra. Una volta trovata, si posiziona la virgola subito dopo questa cifra. Infine, si contano le cifre tra la virgola del numero iniziale e la virgola posizionata (il numero ottenuto corrisponde all’esponente del 10, con valore negativo).

Esempi:

0,00015

La prima cifra maggiore di 0, partendo da sinistra e andando verso destra, è 1: si posiziona la virgola dopo questa cifra (0,0001,5); contando le cifre tra la virgola del numero iniziale e la virgola posizionata, troviamo un valore pari a 4, che corrispondono al valore dell’esponente del 10, quindi sarà 10-4.

In questo modo otteniamo la notazione scientifica del numero 0,00015:

0,00015 = 1,5 ∙ 10-4

0,000000508

La prima cifra maggiore di 0, partendo da sinistra e andando verso destra, è 5: si posiziona la virgola dopo questa cifra (0,0000005,08); contando le cifre tra la virgola del numero iniziale e la virgola posizionata, troviamo un valore pari a 7, che corrispondono al valore dell’esponente del 10, quindi sarà 10-7.

In questo modo otteniamo la notazione scientifica del numero 0,000000508:

0,000000508 = 5,08 ∙ 10-7

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Tipi di monomi

Esistono diversi tipi di monomi:

  • Monomi simili: due monomi sono simili quando hanno la stessa parte letterale;
  • Monomi uguali: due monomi sono uguali quando hanno lo stesso coefficiente e la stessa parte letterale;
  • Monomi opposti: due monomi sono opposti quando hanno la stessa parte letterale ma coefficiente opposto;
  • Monomi omogenei: due monomi sono omogenei quando hanno lo stesso grado (del monomio).

Esempi:

Monomio iniziale Monomio simile Monomio uguale Monomio opposto Monomio omogeneo
2ab  -5ab 2ab -2ab 3x2
tipi di monomi 4xy2 tipi di monomi tipi di monomi 2 5a3

Esistono altri 2 tipi di monomi:

  • Monomio intero, in cui le lettere non figurano a denominatore;
  • Monomio fratto, in cui le lettere figurano a denominatore oppure hanno esponente negativo.

Esempi:

Sono monomi interi:

2ab

tipi di monomi

Sono monomi fratti:

tipi di monomi 3

tipi di monomi 4

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Se questa lezione ti ha aiutato, dai un’occhiata anche alle altre lezioni riguardanti i monomi:

Nel canale Youtube matematicaoggi è presente un’interessante playlist con una serie di videolezioni coinvolgenti, che completano le lezioni sopra elencate.

Problemi con somma e differenza di due numeri

Se stai cercando di capire come si svolgono i problemi con somma e differenza di due numeri, sei nel posto giusto!

Supponiamo di conoscere il valore della somma e della differenza di due numeri a e b:

S = a + b
D = ab
con b < a

Come si trova il valore dei due numeri?

Ecco le due formule risolutive:

somma e differnza di due numeri_2

somma e differnza di due numeri_1

Queste si applicano anche ai problemi in cui è presente somma e differenza di due segmenti, somma e differenza di due angoli, ecc.

Per la dimostrazione, ci facciamo aiutare dalla geometria.

Disegniamo due segmenti, che rappresentano i numeri a e b.

somma e differenza di due numeri_3

Rappresentiamo la loro somma (un segmento adiacente all’altro) e la loro differenza (segmento tratteggiato in verde).

somma e differenza di due numeri_4

Proiettiamo il segmento differenza in basso nel segmento somma: in questo modo troviamo due segmenti uguali, che corrispondono a due volte il segmento b.

Dividendo per due, troviamo il valore di b. Ciò è rappresentato nella figura seguente.

somma e differenza di due numeri_5

In modo analogo, se dal segmento somma aggiungiamo il valore della differenza (parte tratteggiata) troviamo due segmenti uguali, che corrispondono a due volte il segmento a.

Dividendo per due, troviamo il valore di a. Ciò è rappresentato nella figura seguente.

somma e differenza di due numeri_6

In sintesi, quando abbiamo la somma e la differenza di due numeri a e b, per trovarne il valore applichiamo queste due semplici formule:

somma e differnza di due numeri_2

somma e differnza di due numeri_1

Guarda la video lezione nel canale Youtube matematicaoggi!

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Grado di un monomio e grado rispetto alla lettera di un monomio

Ecco la lezione giusta per te, la lezione che ti aiuterà a capire cosa sono grado di un monomio e grado rispetto alla lettera di un monomio.

Si tratta di due concetti estremamente importanti nel calcolo letterale, quindi presta molta attenzione!

Grado di un monomio

Il grado di un monomio è la somma degli esponenti delle lettere del monomio.

Ci facciamo aiutare da alcuni esempi, riportati in una tabella che esplicita questo concetto.

Esempi:

Monomio Grado del monomio
2x 1 (perché x ha esponente 1)
-3a2b 3 (perché a ha esponente 2, b ha esponente 1)
x3y5  8 (perché x ha esponente 3, y ha esponente 5)
 +15a4b2x6  12 (perché a ha esponente 4, b ha esponente 2, x ha esponente 6)

Grado rispetto alla lettera di un monomio

In questo caso va posta l’attenzione sulle singole lettere, poiché questo grado non è altro che l’esponente con cui una certa lettera compare nel monomio.

Il grado di un monomio è il risultato della somma dei gradi rispetto alle singole lettere; inoltre, se una lettera non compare nel monomio, il grado di quella lettera è 0.

Nella tabella che segue vediamo questi concetti grazie ad alcuni esempi.

Esempi:

Monomio Grado rispetto alle lettere del monomio
+2ab2 a = 1; b = 2
-3x4 x = 4
-11b5y7  b = 5; y = 7
 +22m6n0  m = 6; n = 0

Nel quarto esempio si nota chiaramente che n ha esponente 0: in tutti i monomi in cui non compare una certa lettera, questa avrà grado pari a 0.

Se la spiegazione e gli esempi proposti in questa lezione non ti hanno chiarito i dubbi, guarda la videolezione qui di seguito!

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Criteri di divisibilità

I criteri di divisibilità sono delle “regole” per stabilire se un numero è divisibile per un altro.

Di seguito sono elencati i criteri di divisibilità, con alcuni esempi.

Criterio di divisibilità per 2

Un numero è divisibile per 2 se l’ultima cifra (unità) è 0, 2, 4, 6, 8 (pari).

Esempi:
34 è divisibile per 2, perché termina con 4.
778 è divisibile per 2, perché termina con 8.

Criterio di divisibilità per 3

Un numero è divisibile per 3 se la somma delle sue cifre è un multiplo di 3.

Esempi:
54 è divisibile per 3 perché 5 + 4 = 9 (che è un multiplo di 3).
561 è divisibile per 3 perché 5 + 6 + 1 = 15 (che è un multiplo di 3).

Criterio di divisibilità per 4

Un numero è divisibile per 4 se le ultime due cifre sono 00 oppure formano un numero multiplo di 4.

Esempi:
112 è divisibile per 4 perché 12 è un multiplo di 4.
748 è divisibile per 4 perché 48 è un multiplo di 4.

Criterio di divisibilità per 5

Un numero è divisibile per 5 se termina con 0 oppure 5.

Esempi:
135 è divisibile per 5 perché termina con 5.
630 è divisibile per 5 perché termina con 0.

Criterio di divisibilità per 6

Un numero è divisibile per 6 se è contemporaneamente divisibile per 2 e per 3.

Esempi:
144 è divisibile per 6 perché è divisibile per 2 (termina con 4) ed è divisibile per 3 (perché 1 + 4 + 4 = 9, che è un multiplo di 3).
492 è divisibile per 6 perché è divisibile per 2 (termina con 2) ed è divisibile per 3 (perché 4 + 9 + 2 = 15, che è un multiplo di 3).

Criterio di divisibilità per 7

Un numero è divisibile per 7 se la differenza, in valore assoluto, tra il doppio della cifra delle unità (ultima cifra) e il numero eventualmente formato dalle altre cifre è 0, 7 o un multiplo di 7.

Esempi:
119 è divisibile per 7 perché |9 · 2 – 11| = 7.
896 è divisibile per 7 perché |6 · 2 – 89| = 77, che è un multiplo di 7.

Criterio di divisibilità per 8

Un numero è divisibile per 8 se termina con tre zeri o se le ultime 3 cifre formano un numero multiplo di 8.

Esempi:
2.000 è divisibile per 8 perché termina con tre zeri.
4.272 è divisibile per 8 perché 272 è un multiplo di 8.

Criterio di divisibilità per 9

Un numero è divisibile per 9 se la somma delle cifre è un multiplo di 9.

Esempi:
135 è divisibile per 9 perché 1 + 3 + 5 = 9.
2.790 è divisibile per 9 perché 2 + 7 + 9 + 0 = 18, che è un multiplo di 9.

Criterio di divisibilità per 10

Un numero è divisibile per 10 se l’ultima cifra è 0.

Esempi:
50 è divisibile per 10 perché l’ultima cifra è 0.
2.140 è divisibile per 10 perché l’ultima cifra è 0.

Criterio di divisibilità per 11

Un numero è divisibile per 11 se la differenza fra la somma delle cifre di posto pari e le cifre di posto dispari è 0, 11 o un multiplo di 11.

Esempi:
1.353 è divisibile per 11 perché (3 + 3) – (5 + 1) = 6 – 6 = 0.
2.816 è divisibile per 11 perché (6 + 8) – (1 + 2) = 14 – 3 = 11.

Criterio di divisibilità per 12

Un numero è divisibile per 12 se è contemporaneamente divisibile per 3 e per 4.

Esempi:
180 è divisibile per 12 perché è divisibile per 3 (1 + 8 + 0 = 9, che è un multiplo di 3) ed è divisibile per 4 (perché le ultime due cifre formano un numero multiplo di 4).
4.692 è divisibile per 12 perché è divisibile per 3 (4 + 6 + 9 + 2 = 21, che è un multiplo di 3) ed è divisibile per 4 (perché le ultime due cifre formano un numero multiplo di 4).

Criterio di divisibilità per 13

Un numero è divisibile per 13 se la somma del quadruplo della cifra delle unità con il numero formato dalle rimanenti cifre è un multiplo di 13.

Esempi:
143 è divisibile per 13 perché 3 · 4 + 14 = 12 + 14 = 26, che è un multiplo di 13.
338 è divisibile per 13 perché 8 · 4 + 33 = 32 + 33 = 65, che è un multiplo di 13.

Criterio di divisibilità per 17

Un numero è divisibile per 17 se la differenza, in valore assoluto, tra il numero ottenuto escludendo la cifra delle unità e il quintuplo della cifra delle unità è 0, 17 o un multiplo di 17.

Esempi:
221 è divisibile per 17 perché |22 – 5 · 1| = 17.
1.343 è divisibile per 17 perché |134 – 5 · 3| = 119; 119 è divisibile per 17 perché |11 – 5 · 9| = 34, che è un multiplo di 17.

Criterio di divisibilità per 25

Un numero è divisibile per 25 se le ultime due cifre sono 00, 25, 50, 75.

Esempi:
125 è divisibile per 25 perché le ultime due cifre sono 25.
1.475 è divisibile per 25 perché le ultime due cifre sono 75.

Criterio di divisibilità per 100

Un numero è divisibile per 100 se le ultime due cifre sono 00.

Esempi:
500 è divisibile per 100 perché termina con 00.
1.700 è divisibile per 100 perché termina con 00.

Criterio di divisibilità per 10n

Un numero è divisibile per 10n se le ultime cifre sono n volte 0.

Esempi:
6.000 è divisibile per 103 = 1.000 perché termina con 3 zeri.
80.000 è divisibile per 104 = 10.000 perché termina con 4 zeri.


Vai alla pagina degli esercizi sui criteri di divisibilità!

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Coefficiente e parte letterale di un monomio

Coefficiente e parte letterale di un monomio: ecco la lezione che fa al caso tuo!

Un monomio è un’espressione algebrica numerica e/o letterale in cui non figurano addizioni o sottrazioni. In un monomio i numeri e le lettere che lo compongono sono legati tra loro da moltiplicazioni e/o divisioni.

Esempi di monomi:

+2ab

-5xy3

coefficiente e parte letterale

Un monomio è formato da un coefficiente (parte numerica) e da una parte letterale.

Se in un monomio non compare alcun coefficiente, il coefficiente è pari a +1 se il monomio è positivo, –1 se il monomio è negativo.

Esempi:

Monomio Coefficiente Parte letterale
+2ax +2 ax
-5a2b -5 a2b
+xy4 +1 xy4
a3b4 -1 a3b4

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Forma polinomiale di un numero

Forma polinomiale di un numero? Ecco la lezione che ti chiarirà ogni dubbio!

Numeri naturali e numeri decimali si possono rappresentare in un modo diverso rispetto alla loro forma normale.

Rappresentare un numero in forma polinomiale significa scriverlo come somma delle sue cifre moltiplicate per il valore della posizione di ogni sua cifra.

La forma polinomiale è chiamata anche scrittura polinomiale.

Per rappresentare un numero in forma polinomiale sono sufficienti alcuni semplici passaggi:
1.    Si assegna ad ogni cifra del numero il suo valore in base alla sua posizione;

2.    Si moltiplica ogni cifra per il suo valore posizionale; in particolare:

  • Millesimi: 0,001;
  • Centesimi: 0,01;
  • Decimi: 0,1;
  • Unità: 1;
  • Decine: 10;
  • Centinaia: 100:
  • Unità di migliaia: 1.000;
  • Decine di migliaia: 10.000;
  • Centinaia di migliaia: 100.000;
  • Unità di milioni: 1.000.000;

3.    Si scrivono in ordine le moltiplicazioni del passaggio precedente, sommandole tra loro: ciò che ne risulta è il numero rappresentato in forma polinomiale.

4.    È possibile verificare se la forma polinomiale ottenuta è corretta, eseguendo le moltiplicazioni tra cifre del numero e loro valore corrispondente alla posizione, sommando i prodotti ottenuti.

Esempio 1: numero 745.692

Assegniamo ad ogni cifra la sua posizione:

Forma polinomiale di un numero

Ad ogni posizione corrisponde un valore, quindi scriviamo la forma polinomiale del numero nel modo seguente:
745.692 = 2 · 1 + 9 · 10 + 6 · 100 + 5 · 1.000 + 4 · 10.000 + 7 · 100.000

Per verificare se è corretta, è sufficiente eseguire le moltiplicazioni e sommare tra loro i prodotti ottenuti. Nell’esempio sopra proposto si avrà:

2 · 1 + 9 · 10 + 6 · 100 + 5 · 1.000 + 4 · 10.000 + 7 · 100.000 =
= 2 + 90 + 600 + 5.000 + 40.000 + 700.000 = 745.692


Esempio 2: numero 25,369

Assegniamo ad ogni cifra la sua posizione:

Forma polinomiale di un numero 2

Ad ogni posizione corrisponde un valore, quindi scriviamo la forma polinomiale del numero nel modo seguente:
25,369 = 2 · 10 + 5 · 1 + 3 · 0,1 + 6 · 0,01 + 9 · 0,001

Per verificare se è corretta, è sufficiente eseguire le moltiplicazioni e sommare tra loro i prodotti ottenuti. Nell’esempio sopra proposto si avrà:

2 · 10 + 5 · 1 + 3 · 0,1 + 6 · 0,01 + 9 · 0,001 =
= 20 + 5 + 0,3 + 0,06 + 0,009 = 25,369

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Se questa lezione ti ha aiutato a capire l’argomento, dai un’occhiata anche alle altre lezioni di aritmetica su numeri, operazioni e problemi:

Confronto tra frazioni

Confronto tra frazioni: un argomento molto importante che spiegheremo in modo semplice ma efficace!

Confrontare frazioni significa stabilire se una è maggiore, minore o uguale ad un’altra frazione.

Si possono distinguere tre casi:

  • Se due frazioni hanno lo stesso denominatore, è maggiore quella con numeratore maggiore.

Esempi:

Confronto tra frazioni 1
poiché 4 > 2

Confronto tra frazioni 2
poiché 3 < 8

  • Se due frazioni hanno lo stesso numeratore, è maggiore quella con denominatore minore.

Esempi:

Confronto tra frazioni 3
poiché 3 < 5

Confronto tra frazioni 4
poiché 6 > 2

  • Se due frazioni hanno numeratori e denominatori diversi, si devono ridurre le frazioni allo stesso denominatore e, in seguito, confrontarle come frazioni con lo stesso denominatore.

Esempio:
Confronto tra frazioni 5

Per stabilire il simbolo corretto, si riducono le due frazioni in altre due equivalenti, ma con lo stesso denominatore.

Le frazioni iniziali sono già ridotte ai minimi termini, quindi si calcola il m.c.d.: in questo caso il minimo comune denominatore delle frazioni prese in considerazione è 20, perché m.c.m. (5; 4) = 20.

Si opera la trasformazione, ottenendo:
Confronto tra frazioni 6

Confronto tra frazioni 7

Ora si confrontano le due nuove frazioni ottenute dalla trasformazione (frazioni con lo stesso denominatore), ottenendo:
Confronto tra frazioni 8

Quindi:
Confronto tra frazioni 9

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Se questa lezione ti ha soddisfatto, guarda le altre lezioni sulle frazioni:

Nel canale Youtube matematicaoggi è presente un’interessante playlist con una serie di videolezioni coinvolgenti, che completano le lezioni sopra elencate.

Le potenze

Le potenze ti creano problemi? Ecco la lezione che fa per te!

Definizione

Dati una base ed un esponente, l’operazione di elevamento a potenza consiste nel calcolare il prodotto di tanti fattori uguali alla base quante sono le unità dell’esponente.

potenze 1con c = a ∙ a ∙ a … b volte
in cui a è la base, b è l’esponente e c è il valore della potenza.

Esempi:
potenze 2
infatti: 2 ∙ 2 ∙ 2 = 8

potenze 3
infatti: 5 ∙ 5 = 25

potenze 4
infatti: 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 = 81

Le potenze con esponente 2 si possono leggere “alla seconda” o “al quadrato”.
Le potenze con esponente 3 si possono leggere “alla terza” o “al cubo”.


Potenze particolari

Sono potenze che hanno sempre lo stesso valore.

Di seguito si riportano i diversi casi:

  • 0 elevato qualsiasi numero (diverso da 0) dà come valore 0:
    potenze 5
    con n ≠ 0
  • 1 elevato qualsiasi numero dà come valore 1:
    potenze 6
  • Un numero (diverso da 0) elevato 0 dà come valore 1:
    potenze 7
    con n ≠ 0
  • Un numero elevato 1 dà come valore il numero iniziale:
    potenze 8
  • 0 elevato 0 non ha significato:
    potenze 9

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Riduzione di più frazioni allo stesso denominatore

Ridurre più frazioni allo stesso denominatore significa trasformare due o più frazioni in altre equivalenti, ma tutte aventi lo stesso denominatore.

Questo procedimento si chiama anche riduzione di più frazioni allo stesso minimo comune denominatore (m.c.d.).

I passaggi per ridurre due o più frazioni allo stesso m.c.d. sono i seguenti:

  1. si devono ridurre ai minimi termini le frazioni iniziali (se già non lo sono);
  2. si trova il minimo comune denominatore (m.c.d.), cioè si calcola il minimo comune multiplo (m.c.m.) dei denominatori delle frazioni ridotte, che sarà il denominatore delle nuove frazioni;
  3. si trovano le nuove frazioni, che avranno denominatore pari al m.c.d. e numeratore che si calcolerà dividendo il m.c.d. per il denominatore della frazione iniziale e moltiplicandolo per il numeratore.

Esempio:

Ridurre allo stesso minimo minimo comune denominatore le frazioni
riduzione allo stesso mcd 1    riduzione allo stesso mcd 2    riduzione allo stesso mcd 3

1. Innanzitutto, si devono ridurre ai minimi termini, cioè semplificare, le frazioni date (se già non lo sono).

riduzione allo stesso mcd 4
riduzione allo stesso mcd 5

Le frazioni da considerare per la trasformazione sono:
riduzione allo stesso mcd 7    riduzione allo stesso mcd 2    riduzione allo stesso mcd 6

2. Il minimo denominatore comune (m.c.d.) corrisponde al m.c.m. (10; 12; 9) cioè 180, che sarà il denominatore delle nuove frazioni.

3. Si opera la trasformazione dividendo 180 per il denominatore di ogni frazione e moltiplicando per il numeratore, ottenendo quanto segue:

riduzione allo stesso mcd 8

riduzione allo stesso mcd 9

riduzione allo stesso mcd 10

Come si può vedere, le frazioni ottenute dopo la trasformazione sono tutte con lo stesso denominatore e sono equivalenti a quelle iniziali.


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Proprietà delle quattro operazioni

Proprietà delle quattro operazioni: ecco la lezione che fa per te!

Addizione

Commutativa: cambiando l’ordine degli addendi, la somma non cambia.

Esempio:
25 + 32 = 32 + 25 = 57

Associativa: data un’addizione, se si sostituisce a due o più addendi la loro somma, il risultato dell’addizione iniziale non cambia.

Esempio:
23 + 17 + 25 = 40 + 25 = 65

Dissociativa: se ad uno o più addendi se ne sostituiscono altri la cui somma è uguale all’addendo o agli addendi sostituiti, il risultato dell’addizione iniziale non cambia.

Esempio:
70 + 30 = 40 + 30 + 30 = 100

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Sottrazione

Invariantiva: in una sottrazione possiamo addizionare o sottrarre uno stesso numero al minuendo e al sottraendo e la differenza non cambia.

Esempio:
50 – 10 = 40

Addizionando 5 a minuendo e sottraendo ottengo:
(50 + 5) – (10 + 5) = 55 – 15 = 40
Sottraendo 2 a minuendo e sottraendo ottengo:
(48 2) – (8 – 2) = 46 – 6 = 40

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Moltiplicazione

Commutativa: cambiando l’ordine dei fattori, il prodotto non cambia.

Esempio:
15 • 10 = 10 • 15 = 150

Associativa: data una moltiplicazione, se si sostituisce a due o più fattori il loro prodotto, il risultato della moltiplicazione iniziale non cambia.

Esempio:
7 • 4 • 5 = 7 • 20 = 140

Dissociativa: se ad uno o più fattori se ne sostituiscono altri il cui prodotto è uguale al fattore o ai fattori sostituiti, il risultato del prodotto iniziale non cambia.

Esempio:
20 • 40 = 20 • 5 • 8 = 800

Distributiva: se dobbiamo moltiplicare un numero per una somma (o una differenza) non ancora eseguita, lo possiamo moltiplicare per ciascuno dei termini della somma (o della differenza), calcolando poi la somma (differenza) dei prodotti ottenuti.

Esempio:
7 • (5 + 4) = (7 • 5) + (7 • 4) = 35 + 28 = 63
5 • (6 – 4) = (5 • 6)(5 • 4) = 30 – 20 = 10

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Divisione

Invariantiva: se si moltiplica o si divide per lo stesso numero entrambi i termini della divisione, il risultato non cambia.

Esempio:
40 : 10 = 4

Moltiplicando per 3 il dividendo e il divisore ottengo:
40 : 10 = (40 • 3) : (10 • 3) = 120 : 30 = 4
Dividendo per 2 il dividendo e il divisore ottengo:
40 : 10 = (40 : 2) : (10 : 2) = 20 : 5 = 4

Distributiva: se dobbiamo dividere una somma (o una differenza) non ancora eseguita per un numero, possiamo dividere ogni termine della somma (o della differenza) per il numero, calcolando poi la somma (differenza) dei quozienti ottenuti.

Esempio:
(50 + 45) : 5 = (50 : 5) + (45 : 5) = 10 + 9 = 19
(60 – 40) : 10 = (60 : 10)(40 : 10) = 6 – 4 = 2

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Vai alla pagina degli esercizi sulle proprietà delle quattro operazioni!

Scarica la lezione sulle proprietà delle quattro operazioni!

Semplificazione di una frazione

In questa lezione vedremo come si svolge la semplificazione di una frazione.

Semplificare una frazione significa ridurre la frazione ai minimi termini, cioè trasformarla in un’altra equivalente con i termini più piccoli.

Si tratta di un’applicazione della proprietà invariantiva delle frazioni.

Per ridurre una frazione ai minimi termini è possibile operare in due modi:

  1. dividendo i suoi termini per il loro M.C.D.;
  2. dividendo i suoi termini per divisori comuni a entrambi (per divisioni successive), finché il divisore comune non è 1.

Esempio:

Semplificare la frazione

Semplificare una frazione 1

1. Riduzione ai minimi termini con M.C.D.

Si calcola il Massimo Comune Divisore di numeratore e denominatore; in questo caso:

M.C.D. (140, 60) = 20

In seguito, si dividono numeratore e denominatore per il loro M.C.D.:

Semplificare una frazione 2

La frazione che si ottiene è la frazione irriducibile (non più semplificabile) ed equivalente a quella iniziale.

2. Riduzione ai minimi termini con divisioni successive

Considerando la frazione, posso dividere numeratore e denominatore per un loro divisore comune, per esempio 5:

Semplificare una frazione 3

Ora posso dividere numeratore e denominatore per 2:

Semplificare una frazione 4

Posso dividere numeratore e denominatore ancora per 2:

Semplificare una frazione 5

Nella pratica, i passaggi di questo metodo di semplificazione si possono sintetizzare secondo lo schema che segue:

Semplificare una frazione 6

Ad ogni passaggio si dividono numeratore e denominatore per uno stesso numero, fino a quando numeratore e denominatore non hanno più divisori comuni.

Come nel primo metodo, la frazione che si ottiene è la frazione irriducibile (non più semplificabile) ed equivalente a quella iniziale.

Per concludere, con entrambi i metodi si ottiene una frazione irriducibile o ridotta ai minimi termini, perché numeratore e denominatore (nell’esempio, 7 e 3) non hanno divisori comuni.


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Proprietà invariantiva delle frazioni

Moltiplicando o dividendo (se è possibile) i termini di una frazione per uno stesso numero diverso da 0, si ottiene una frazione equivalente a quella di partenza (proprietà invariantiva o fondamentale delle frazioni).

Data una frazione, le frazioni ad essa equivalenti sono infinite. L’insieme formato da queste frazioni è detto classe di frazioni equivalenti.

In ogni classe di frazioni equivalenti compaiono:

  • una e una sola frazione irriducibile (quella i cui termini sono primi tra loro);
  • infinite frazioni riducibili (tutte quelle i cui termini ammettono divisori comuni diversi dall’unità).

Esempio:
Consideriamo la frazione

frazioni equivalenti 1

Moltiplichiamo numeratore e denominatore per 2:

frazioni equivalenti 4

Dividiamo numeratore e denominatore per 2:

frazioni equivalenti 5

Le frazioni

frazioni equivalenti 1       frazioni equivalenti 3       frazioni equivalenti 2

sono frazioni equivalenti, cioè rappresentano la stessa parte dell’intero, come si può vedere chiaramente dallo schema sotto riportato.

frazioni equivalenti 1   proprietà invariantiva frazioni 2

frazioni equivalenti 3   proprietà invariantiva frazioni 3

frazioni equivalenti 2   proprietà invariantiva frazioni 1


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Equazioni di primo grado intere

Le equazioni di primo grado intere sono le equazioni nelle quali l’incognita non compare a denominatore.

Per risolvere le equazioni di primo grado intere si segue un procedimento preciso:

  • si eliminano eventuali denominatori presenti;
  • si portano al primo membro tutti i termini che contengono l’incognita e al secondo membro tutti i termini noti (i numeri senza l’incognita), cambiandoli di segno;
  • si riducono i termini simili al primo membro e si svolgono i calcoli al secondo membro.

Al termine dei passaggi sopra elencati, l’equazione risulterà nella forma:

ax = b

In base ai valori di a e di b, si possono presentare tre casi diversi:

  • Equazione determinata. Quando il valore di a è diverso da zero, si applica il secondo principio di equivalenza, ottenendo x = b/a;
  • Equazione indeterminata. Quando a e b sono uguali a zero, l’equazione è del tipo 0x = 0; ciò vuol dire che l’equazione è vera per qualsiasi valore di x, perché qualunque numero moltiplicato per zero dà zero (è un’identità);
  • Equazione impossibile. Se a è uguale a zero e b è diverso da zero, l’equazione è del tipo 0x = b; in questo caso, l’equazione non è verificata per nessun valore di x (infatti non esistono numeri che, moltiplicati per zero, diano un numero diverso da zero).

Esempio 1

3x – 2 = 2x + 5

Porto al primo membro il 2x e porto al secondo membro il – 2, cambiandoli di segno.
3x – 2x = 5 + 2

Riduco i termini simili al primo membro e svolgo i calcoli al secondo membro.
x = 7        L’equazione è determinata.

Esempio 2

5 – 3x = 5 + 2x – 5x

Porto al primo membro il 2x e il – 5x e porto al secondo membro il 5, cambiandoli di segno.
– 3x – 2x + 5x = 5 – 5

Riduco i termini simili al primo membro e svolgo i calcoli al secondo membro.
0x = 0        L’equazione è indeterminata.

Esempio 3

2x – 3 = 2x + 5

Porto al primo membro il 2x e porto al secondo membro il – 3, cambiandoli di segno.
2x – 2x = 5 + 3

Riduco i termini simili al primo membro e svolgo i calcoli al secondo membro.
0x = 8        L’equazione è impossibile.

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Tipi di frazioni

Esistono tre tipi di frazioni:

  • Frazioni proprie, quando il numeratore è minore del denominatore.

Esempi:

frazione propria 1
è una frazione propria, perché 1 < 2.

frazione propria 2
è una frazione propria, perché 3 < 5.

frazione propria 3
è una frazione propria, perché 12 < 17.

  • Frazioni improprie, quando il numeratore è maggiore (ma non multiplo) del denominatore.

Esempi:

frazione impropria 1
è una frazione impropria, perché 3 > 2.

frazione impropria 2
è una frazione impropria, perché 7 > 6.

frazione impropria 3
è una frazione impropria, perché 15 > 11.

  • Frazioni apparenti, quando il numeratore è uguale o multiplo del denominatore.

Esempi:

frazione apparente 1
è una frazione apparente, perché 6 è multiplo di 2.

frazione apparente 2
è una frazione apparente, perché 7 = 7.

frazione apparente 3
è una frazione apparente, perché 20 è multiplo di 5.

frazione apparente 4
è una frazione apparente, perché 18 = 18.

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Lezioni su frazioni, rapporti e proporzioni

Lezioni sulle frazioni:

Lezioni su rapporti e proporzioni:

Le frazioni

Le frazioni sono un concetto matematico fondamentale e le possiamo incontrare ogni giorno in tantissime situazioni.

In matematica si chiama frazionamento l’operazione di divisione di una grandezza in parti uguali.

Le parti uguali che si ottengono frazionando una grandezza si dicono unità frazionarie.

In generale una frazione si indica con:

frazionein cui:

  • il numero n si chiama numeratore;
  • il numero m si chiama denominatore;
  • la linea orizzontale che li separa si chiama linea di frazione.

Esempio 1:

esempio frazione 1
si legge “un terzo” e si può rappresentare con la figura seguente:

esempio figura frazione 1

cioè un intero diviso in tre parti uguali; di queste parti, se ne considera una.


Esempio 2:

esempio frazione 2
si legge “quattro quinti” e si può rappresentare con la figura seguente:

esempio figura frazione 2

cioè un intero diviso in cinque parti uguali; di queste parti, se ne considerano quattro.


Esempio 3:

esempio frazione 3
si legge “cinque mezzi” e si può rappresentare con la figura seguente:

esempio figura frazione 3

cioè tre interi divisi in due parti uguali (totale di sei parti); di queste parti, se ne considerano cinque.


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Valore posizionale delle cifre

Valore posizionale delle cifre, ovvero il fatto che ogni cifra – all’interno di un numero – occupa una posizione precisa.

Consideriamo il numero 256.374.032,746 e indichiamo le posizioni di ogni sua cifra.

valore posizionale delle cifre

Ogni cifra occupa una posizione precisa; ogni posizione è indicata con un simbolo, che ha un significato ed un valore secondo la tabella che segue:

tabella simboli valore posizionale delle cifre

Esempi:

1. Scrivere il valore posizionale di ogni cifra del numero 1.567,39.

1.567,39 = 1uk, 5h, 6da, 7u, 3d, 9c

2. Scrivere in forma normale il numero 1h, 5da, 4u, 9d, 7c, 2m.

1h, 5da, 4u, 9d, 7c, 2m = 154,972


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Operazioni con i numeri interi relativi

Quando si parla di numeri relativi si deve fare particolarmente attenzione ad alcune regole o semplici passaggi che permettono di trovare i risultati corretti: di seguito sono riportate le regole da applicare nelle operazioni con i numeri interi relativi.

Addizione di numeri interi relativi

  • Numeri relativi concordi (hanno lo stesso segno): il risultato avrà il segno uguale a quello dei numeri relativi iniziali e valore assoluto uguale alla somma dei valori assoluti dei numeri iniziali.

Esempi:
(+ 3) + (+ 5) = + (3 + 5) = + 8

(– 7) + (– 4) = – (7 + 4) = – 11

  • Numeri relativi discordi (hanno il segno diverso): il risultato avrà il segno uguale a quello del numero che ha valore assoluto maggiore e valore assoluto uguale alla differenza dei valori assoluti dei numeri iniziali.

Esempi:
(+ 4) + (– 6) = – (6 – 4) = – 2

(– 2) + (+ 5) = + (5 – 2) = + 3

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Sottrazione di numeri interi relativi

Se davanti ad una parentesi si trova il segno meno (–), il segno del numero dentro parentesi cambia. Quindi, il primo passaggio consiste nel togliere le parentesi, applicando la regola del cambio segno. In seguito, si trova il risultato applicando le regole dell’addizione.

Esempi:
(+ 2) – (+ 6) = + 2 – 6 = – 4
Il – davanti al (+ 6) cambia il segno e ottengo – 6; poi eseguo il calcolo;

(– 3) – (– 7) = – 3 + 7 = + 4
Il – davanti al (– 7) cambia il segno e ottengo + 7; poi eseguo il calcolo;

(+ 4) – (– 5) = + 4 + 5 = + 9
Il – davanti al (– 5) cambia il segno e ottengo + 5; poi eseguo il calcolo;

(– 1) – (+ 9) = – 1 – 9 = – 10
Il – davanti al (+ 9) cambia il segno e ottengo – 9; poi eseguo il calcolo;

Per il calcolo del risultato può essere utile, almeno inizialmente, utilizzare la linea dei numeri.

linea dei numeri

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Moltiplicazione di numeri interi relativi

È importante ricordare le regole dei segni sotto riportate:

+ \cdot + = + (“più per più fa più”)
\cdot – = + (“meno per meno fa più”)
+ \cdot – = – (“più per meno fa meno”)
\cdot + = – (“meno per più fa meno”)

Esempi:
(+ 3) \cdot (+ 5) = + (3 \cdot 5) = + 15
(– 2) \cdot (– 6) = + (2 \cdot 6) = + 12
(+ 5) \cdot (– 4) = – (5 \cdot 4) = – 20
(– 2) \cdot (+ 8) = – (2 \cdot 8) = – 16

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Divisione di numeri interi relativi

È importante ricordare le regole dei segni sotto riportate:

+ : + = + (“più diviso più fa più”)
– : – = + (“meno diviso meno fa più”)
+ : – = – (“più diviso meno fa meno”)
– : + = – (“meno diviso più fa meno”)

Esempi:
(+ 30) : (+ 5) = + (30 : 5) = + 6
(– 20) : (– 4) = + (20 : 4) = + 5
(+ 15) : (– 3) = – (15 : 3) = – 5
(– 12) : (+ 4) = – (12 : 4) = – 3

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Potenza di numeri interi relativi

  • La potenza di un numero relativo positivo dà come risultato un numero positivo, con valore assoluto pari alla potenza del valore assoluto di partenza.

Esempi:
Potenza di numeri relativi 5

Potenza di numeri relativi 6

  • La potenza di un numero relativo negativo dà come risultato:

– Un numero positivo – se l’esponente è pari – con valore assoluto pari alla potenza del valore assoluto di partenza.

– Un numero negativo – se l’esponente è dispari – con valore assoluto pari alla potenza del valore assoluto di partenza.

Esempi:

Potenza numeri relativi 1

Potenza numeri relativi 2

Potenza numeri relativi 3

Potenza numeri relativi 4

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Operazioni con i monomi

Se devi svolgere alcune operazioni con i monomi, questa lezione ti aiuterà alla grande!

Somma algebrica di monomi

Dati due o più monomi simili, la loro somma algebrica è un monomio simile che ha coefficiente pari alla somma algebrica dei coefficienti dei monomi iniziali.

Esempio 1:

somma algebrica di monomi esempio 1

Spiegazione esempio 1: I monomi presenti in questa somma algebrica sono tutti simili tra loro; per trovare il risultato è sufficiente eseguire la somma algebrica dei coefficienti dei monomi e lasciare la stessa parte letterale.

Esempio 2:

somma algebrica di monomi esempio 2

Spiegazione esempio 2: I monomi presenti in questa somma algebrica non sono tutti simili tra loro; per trovare il risultato si consiglia di evidenziare i monomi che tra loro sono simili; infine, si calcola il risultato eseguendo la somma algebrica dei coefficienti dei monomi e lasciando la stessa parte letterale.

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Prodotto di monomi

Il prodotto di due o più monomi è un monomio che ha coefficiente uguale al prodotto dei coefficienti dei monomi iniziali e parte letterale uguale al prodotto delle parti letterali dei monomi iniziali (si applica la prima proprietà delle potenze).

Esempi:

prodotto di monomi esempio 1

prodotto di monomi esempio 2

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Quoziente di monomi

Il quoziente di due o più monomi è un monomio che ha coefficiente uguale al quoziente dei coefficienti dei monomi iniziali e parte letterale uguale al quoziente delle parti letterali dei monomi iniziali (si applica la seconda proprietà delle potenze).

Esempi:

quoziente di monomi esempio 1

quoziente di monomi esempio 2

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Potenza di monomi

Per calcolare la potenza di un monomio si deve elevare il coefficiente all’esponente presente; per la parte letterale si applica la terza proprietà delle potenze (potenza di potenza).

Esempi:

potenza di monomi esempio 1

potenza di monomi esempio 2

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Minimo comune multiplo (m.c.m.)

Il minimo comune multiplo (m.c.m.) è il più piccolo tra tutti i multipli comuni dei numeri che si prendono in considerazione.

Per calcolare il m.c.m.:

  • Si scompongono i numeri considerati in fattori primi;
  • Si moltiplicano tra loro i fattori comuni e non comuni, presi una sola volta e con il maggiore esponente.

Esempio 1

Calcolare il minimo comune multiplo tra 8 e 12

m.c.m. (8; 12) = ?

Iniziamo l’esercizio eseguendo la scomposizione in fattori primi di 8 e di 12:

mcm scomposizione esempio 1a          mcm scomposizione esempio 1b

Riportiamo i risultati delle scomposizioni in fattori primi:

mcm esempio 1a

mcm esempio 1b

Osservando i risultati delle scomposizioni in fattori primi dei numeri 8 e 12, notiamo che 2 è fattore comune (prendiamo quello con esponente più alto) e 3 è fattore non comune, quindi:

mcm risultato esempio 1

Esempio 2

Calcolare il minimo comune multiplo tra 300 e 315

m.c.m. (300; 315) = ?

Iniziamo l’esercizio eseguendo la scomposizione in fattori primi di 300 e di 315:

mcm scomposizione esempio 2a          mcm scomposizione esempio 2b

Riportiamo i risultati delle scomposizioni in fattori primi:

mcm esempio 2a

mcm esempio 2b

Osservando i risultati delle scomposizioni in fattori primi dei numeri 300 e 315, notiamo che 3 e 5 sono fattori comuni (prendiamo quelli con esponente più alto) e 2 e 7 sono fattori non comuni, quindi:

mcm risultato esempio 2

Se la spiegazione sopra riportata e gli esempi proposti non ti hanno aiutato, guarda questa utile videolezione direttamente dal canale Youtube matematicaoggi!

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Massimo Comune Divisore (M.C.D.)

Il Massimo Comune Divisore (M.C.D.) è il più grande tra tutti i divisori comuni dei numeri che si prendono in considerazione.

Per calcolare il M.C.D.:

  • Si scompongono i numeri considerati in fattori primi;
  • Si moltiplicano tra loro i fattori comuni, presi una sola volta e con il minore esponente.

Precisazione importante: se non esistono fattori comuni, il M.C.D. vale 1.

Esempio 1

Calcolare il Massimo Comune Divisore tra 6 e 15

M.C.D. (6; 15) = ?

Iniziamo l’esercizio eseguendo la scomposizione in fattori primi di 6 e di 15:

MCD esempio 1a          MCD esempio 1b

Riportiamo i risultati delle scomposizioni in fattori primi:

scomposizione esempio 1a

scomposizione esempio 1b

Osservando i risultati delle scomposizioni in fattori primi dei numeri 6 e 15, notiamo che 3 è l’unico fattore comune, quindi:

MCD esempio 1

Esempio 2

Calcolare il Massimo Comune Divisore tra 34 e 35

M.C.D. (34; 35) = ?

Iniziamo l’esercizio eseguendo la scomposizione in fattori primi di 34 e di 35:

MCD esempio 2a         MCD esempio 2b

Riportiamo i risultati delle scomposizioni in fattori primi:

scomposizione esempio 2a

scomposizione esempio 2b

Osservando i risultati delle scomposizioni in fattori primi dei numeri 34 e 35, notiamo che non ci sono fattori comuni, quindi:

MCD esempio 2

Esempio 3

Calcolare il Massimo Comune Divisore tra 200 e 350

M.C.D. (200; 350) = ?

Iniziamo l’esercizio eseguendo la scomposizione in fattori primi di 200 e di 350:

MCD esempio 3a          MCD esempio 3b

Riportiamo i risultati delle scomposizioni in fattori primi:

scomposizione esempio 3a

scomposizione esempio 3b

Osservando i risultati delle scomposizioni in fattori primi dei numeri 200 e 350, notiamo che i fattori comuni sono il 2 e il 5; per il calcolo del risultato dobbiamo prendere quelli con l’esponente più basso, quindi:

MCD esempio 3

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Proprietà delle potenze

Nelle espressioni aritmetiche e nelle espressioni algebriche compaiono spesso operazioni con le potenze che, almeno inizialmente, possono sembrare difficili o laboriose: le proprietà delle potenze.

Le proprietà delle potenze sono regole che permettono di risolvere in modo veloce e semplice le operazioni in cui compaiono le potenze.

1. Prodotto di potenze con la stessa base

Definizione
Il prodotto di due o più potenze che hanno la stessa base è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente la somma degli esponenti.

Esempi
Prodotto di potenze con la stessa base 1

Prodotto di potenze con la stessa base 2

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2. Quoziente di potenze con la stessa base

Definizione
La divisione tra due potenze che hanno la stessa base dà come risultato una potenza che ha per base la stessa base e per esponente la differenza degli esponenti.

Esempi
Quoziente di potenze con la stessa base 1

Quoziente di potenze con la stessa base 2

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3. Potenza di potenza

Definizione
La potenza di una potenza è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente il prodotto degli esponenti.

Esempi
Potenza di potenza 1

Potenza di potenza 2

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4. Prodotto di potenze con lo stesso esponente

Definizione
Il prodotto di due o più potenze che hanno lo stesso esponente è una potenza che ha per base il prodotto delle basi e per esponente lo stesso esponente.

Esempi
Prodotto di potenze con lo stesso esponente 1

Prodotto di potenze con lo stesso esponente 2

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5. Quoziente di potenze con lo stesso esponente

Definizione
La divisione di due potenze che hanno lo stesso esponente dà come risultato una potenza che ha per base la divisione delle basi per esponente lo stesso esponente.

Esempi
Quoziente di potenze con lo stesso esponente 1

Quoziente di potenze con lo stesso esponente 2

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Lezioni su multipli e divisori

Scomposizione in fattori primi

Scomporre un numero in fattori primi significa scriverlo sotto forma di prodotto di fattori che sono numeri primi.
La scomposizione si esegue sui numeri composti, che sono numeri divisibili per se stessi, per 1 e per altri numeri.
Per eseguire la scomposizione in fattori primi (fattorizzazione in numeri primi) di un numero:

  • Si divide il numero considerato per il suo più piccolo divisore primo;
  • Si divide il quoziente ottenuto per il suo più piccolo divisore primo … e così via finché non si ottiene come quoziente 1.

Esempio 1: scomporre in fattori primi il numero 180

scomposizione in fattori primi_esempio 1

Dettaglio dei passaggi: il più piccolo divisore primo di 180 è 2, quindi eseguo la divisione 180 : 2, ottenendo 90; il più piccolo divisore primo di 90 è 2, quindi eseguo la divisione 90 : 2, ottenendo 45; il più piccolo divisore primo di 45 è 3, quindi eseguo la divisione 45 : 3, ottenendo 15; il più piccolo divisore primo di 15 è 3, quindi eseguo la divisione 15 : 3, ottenendo 5; 5 è un numero primo, quindi è divisibile per se stesso; eseguo la divisione 5 : 5, ottenendo 1; ottenuto 1, posso riportare sottoforma di prodotto i fattori primi ottenuti.

Dopo aver eseguito la scomposizione, si scrivono i fattori che si ripetono in forma ridotta, cioè:
risultato esempio 1

Esempio 2: scomporre in fattori primi il numero 630

scomposizione in fattori primi_esempio 2

Dettaglio dei passaggi: il più piccolo divisore primo di 630 è 2, quindi eseguo la divisione 630 : 2, ottenendo 315; il più piccolo divisore primo di 315 è 3, quindi eseguo la divisione 315 : 3, ottenendo 105; il più piccolo divisore primo di 105 è 3, quindi eseguo la divisione 105 : 3, ottenendo 35; il più piccolo divisore primo di 35 è 5, quindi eseguo la divisione 35 : 5, ottenendo 7; 7 è un numero primo, quindi è divisibile per se stesso; eseguo la divisione 7 : 7, ottenendo 1; ottenuto 1, posso riportare sottoforma di prodotto i fattori primi ottenuti.

Dopo aver eseguito la scomposizione, si scrivono i fattori che si ripetono in forma ridotta, cioè:
risultato esempio 2

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Lezioni sul calcolo letterale

Lezioni sul calcolo letterale in generale:

Lezioni sui monomi:

Lezioni sui polinomi:

Prodotti notevoli

Nelle espressioni algebriche sono presenti particolari operazioni tra polinomi: i prodotti notevoli.

Si tratta di particolari moltiplicazioni tra polinomi che si risolvono seguendo un procedimento standard.

Queste particolari operazioni si aggiungono alle altre classiche del calcolo letterale, riguardanti i polinomi: somma algebrica di polinomi, prodotto di polinomi e quoziente di un polinomio per un monomio.

Di seguito ti presento come risolvere i prodotti notevoli.


Somma per differenza

Definizione
Il prodotto della somma per la differenza di due monomi è uguale al quadrato del primo monomio meno il quadrato del secondo monomio.

Somma per differenza
Esempi
Somma per differenza esempio 1
Somma per differenza esempio 2
Se gli esempi non ti sono stati utili, ti invito a vedere la videolezione!


Quadrato di un binomio

Definizione
Il quadrato di un binomio è uguale al quadrato del primo monomio, al doppio prodotto del primo monomio per il secondo, più il quadrato del secondo monomio.

Quadrato di un binomio 1Quadrato di un binomio 2
Esempi

Quadrato di un binomio esempio 1Quadrato di un binomio esempio 2

Se gli esempi non ti sono stati utili, ti invito a vedere la videolezione!


Quadrato di un trinomio

Definizione
Il quadrato di un trinomio è uguale al quadrato del primo monomio, al quadrato del secondo monomio, al quadrato del terzo monomio e ai doppi prodotti dei monomi del trinomio.

Quadrato di un trinomioEsempi
Quadrato di un trinomio esempio 1

Quadrato di un trinomio esempio 2

Se gli esempi non ti sono stati utili, ti invito a vedere la videolezione!


Cubo di un binomio

Definizione
Il cubo di un binomio è uguale a:

  • Il cubo del primo monomio;
  • Il triplo prodotto del quadrato del primo monomio per il secondo;
  • Il triplo prodotto del quadrato del secondo monomio per il primo;
  • Il cubo del secondo monomio.

Cubo di un binomio 1Cubo di un binomio 2Esempi
Cubo di un binomio esempio 1

Cubo di un binomio esempio 2

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Espressioni con i numeri naturali

Espressioni con i numeri naturali: ecco la lezione che ti chiarirà ogni dubbio!

Per svolgere un’espressione aritmetica, si segue un ordine preciso:

  • se nell’espressione ci sono parentesi, si eseguono inizialmente le operazioni all’interno delle parentesi tonde; di seguito le operazioni all’interno delle parentesi quadre; infine, le operazioni all’interno delle parentesi graffe.
  • Le operazioni da svolgere inizialmente sono moltiplicazioni e divisioni, nell’ordine in cui sono scritte; in seguito addizioni e sottrazioni, sempre nell’ordine in cui sono scritte.

Esempio 1 – Espressione senza parentesi

25 : 5 + 12 • 2 – 20 : 4 + 5 – 6 =
Eseguo le operazioni di moltiplicazione e di divisione

= 5 + 24 – 5 + 5 – 6 =
Eseguo le operazioni di addizione e sottrazione (in ordine)

= 29 – 5 + 5 – 6 =
= 24 + 5 – 6 =
= 29 – 6 = 23

Esempio 2 – Espressione con le parentesi

{9 • 9 – [8 + (1 + 4)]} : {[37 – (51 – 16)] • 2} =
Eseguo le operazioni all’interno delle parentesi tonde

= {9 • 9 – [8 + 5]} : {[37 – 35] • 2} =
Eseguo le operazioni all’interno delle parentesi quadre

= {9 • 9 – 13} : {2 • 2} =
Eseguo le operazioni all’interno delle parentesi graffe

= {81 – 13} : 4 =
Eseguo l’operazione all’interno della parentesi graffa rimasta

= 68 : 4 = 17

Se gli esempi non ti hanno chiarito tutti i dubbi, guarda la videolezione nel canale Youtube matematicaoggi!

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