Frazione di un numero e viceversa

In questo articolo vedremo come si calcola la frazione di un numero e viceversa.

Cosa significa determinare la frazione di un numero? Significa determinare un valore che corrisponde ad una parte (frazione) di una certa quantità (numero iniziale).

Solitamente le richieste sono simili a questo esempio: Andrea ha ricevuto un premio  al gratta e vinci del valore di €100,00 e decide di spenderne i \frac{3}{4} per un paio di scarpe. Quanto spenderà Andrea?

Per svolgere questo problema si segue un procedimento molto semplice:

  • si divide l’intero (cioè i 100 euro) per 4 parti (il denominatore della frazione), ottenendo una parte di 4 (€25,00);
  • in seguito, si moltiplica il risultato per 3 parti (il numeratore della frazione) cioè le 3 parti di 4.

Il risultato finale corrisponde alla parte di premio che Andrea decide di utilizzare per l’acquisto delle scarpe.

Ecco il calcolo nel dettaglio:

(100:4)\cdot3=25\cdot3=75

Altri esempi nella tabella che segue.

Intero iniziale Frazione dell’intero Calcolo e valore finale
150 \frac{2}{5} (150:5)\cdot2=30\cdot2=60
42 \frac{6}{7} (42:7)\cdot6=6\cdot6=36
1.245 \frac{4}{5} (1.245:5)\cdot4=249\cdot4=996

Un altro caso è il seguente: determinare un intero, conoscendo la frazione e il valore corrispondente a questa, quindi passare dalla frazione all’intero.

In altre parole, consideriamo questo esempio: Nel negozio Musicaoggi sono esposte 6 chitarre, che corrispondono ai \frac{3}{8} del totale di quelle a disposizione del proprietario. Quante sono le chitarre in totale?

In questo problema 6 chitarre è una parte del totale (intero), cioè \frac{3}{8}, quindi è necessario un ragionamento inverso rispetto a quello visto all’inizio dell’articolo.

Per svolgere questo problema si segue un procedimento molto semplice:

  • si divide la parte (cioè le 6 chitarre) per 3 parti (il numeratore della frazione), ottenendo una parte di 8 (2);
  • in seguito, si moltiplica il risultato per 8 parti (il denominatore della frazione), determinando così l’intero.

Il risultato finale corrisponde al numero totale delle chitarre a disposizione nel negozio.

Ecco il calcolo nel dettaglio:

(6:3)\cdot8=2\cdot8=16

Altri esempi nella tabella che segue.

Parte dell’intero Frazione corrispondente Calcolo e valore dell’intero
45 \frac{5}{7} (45:5)\cdot7=9\cdot7=63
70 \frac{14}{23} (70:14)\cdot23=5\cdot23=115
2.348 \frac{4}{15} (2.348:4)\cdot15=587\cdot15=8.805

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Angolo somma e angolo differenza

Cosa si intende per angolo somma? E per angolo differenza?

Quando si devono svolgere dei problemi con gli angoli, quelli in cui viene chiesto di determinare l’angolo somma e l’angolo differenza probabilmente sono i più semplici, ma non per questo vanno sottovalutati.

Partiamo definendo due angoli iniziali, α e β:

Angolo somma

Per determinare l’angolo somma degli angoli α e β è possibile utilizzare:

  • il metodo grafico, che prevede di disegnare gli angoli α e β in modo consecutivo, facendo corrispondere il secondo lato del primo angolo con il primo lato del secondo angolo, misurando poi l’ampiezza dell’angolo finale;
  • il metodo analitico, che prevede – semplicemente – di sommare il valore delle ampiezze dei due angoli α e β.

Applichiamo il metodo grafico, rappresentando l’angolo che si crea unendo i due angoli iniziali α e β (consecutivi):

L’angolo somma di α e β è ora quello rappresentato in figura (possiamo chiamarlo δ).

Per quanto riguarda il metodo analitico, supponiamo che gli angoli α e β abbiano le seguenti ampiezze:

  • α = 60°
  • β = 40°

L’angolo somma si ottiene sommando i valori:

α + β = 60° + 40° = 100°

Angolo differenza

Per determinare l’angolo differenza degli angoli α e β è possibile utilizzare:

  • il metodo grafico, che prevede di disegnare l’angolo minore all’interno del maggiore, facendo corrispondere il primo lato di ognuno, misurando poi l’ampiezza dell’angolo che si crea tra i secondi lati dei due angoli;
  • il metodo analitico, che prevede – semplicemente – di sottrarre il valore delle ampiezze dei due angoli α e β.

Rappresentiamo con un disegno l’angolo differenza di α e β, utilizzando il metodo grafico (disegniamo l’angolo minore all’interno del maggiore, facendo corrispondere il lato superiore):

L’angolo differenza di α e β è indicato come angolo γ.

Ricordando le ampiezze di α e β, rispettivamente 60° e 40°, l’angolo differenza si ottiene, analiticamente, sottraendo i valori:

α – β = 60° – 40° = 20°


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Segmento somma e segmento differenza

Cosa si intende per segmento somma? E per segmento differenza?

Quando si devono svolgere dei problemi con i segmenti, quelli in cui viene chiesto di determinare il segmento somma e il segmento differenza probabilmente sono i più semplici, ma non per questo vanno sottovalutati.

Partiamo definendo due segmenti iniziali, AB e CD:

Segmento somma

Per determinare il segmento somma dei segmenti AB e CD è possibile utilizzare:

  • il metodo grafico, che prevede di disegnare i segmenti AB e CD in modo adiacente, facendo corrispondere il secondo punto del primo segmento con il primo punto del secondo segmento, misurando poi la lunghezza del segmento finale;
  • il metodo analitico, che prevede – semplicemente – di sommare il valore delle misure dei due segmenti AB e CD.

Applichiamo il metodo grafico, rappresentando il segmento che si crea unendo i due segmenti iniziali AB e CD (adiacenti):

Il segmento somma di AB e CD è ora AD.

Per quanto riguarda il metodo analitico, supponiamo che i segmenti AB e CD abbiano le seguenti lunghezze:

  • AB = 5 cm
  • CD = 3 cm

Il segmento somma si ottiene sommando i valori:

AB + CD = 5 + 3 = 8 cm

Segmento differenza

Per determinare il segmento differenza dei segmenti AB e CD è possibile utilizzare:

  • il metodo grafico, che prevede di tracciare la proiezione ortogonale del secondo punto del segmento minore sul segmento maggiore, misurando poi il segmento che si ottiene;
  • il metodo analitico, che prevede – semplicemente – di sottrarre il valore delle misure dei due segmenti AB e CD.

Rappresentiamo con un disegno il segmento differenza di AB e CD, utilizzando il metodo grafico (proiettiamo ortogonalmente il punto D sul segmento AB, chiamandolo punto E):Il segmento differenza di AB e CD è EB.

Ricordando le misure di AB e CD, rispettivamente 5 cm e 3 cm, il segmento differenza si ottiene, analiticamente, sottraendo i valori:

AB – CD = 5 – 3 = 2 cm

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Equazione della retta passante per un punto

Se stai cercando come determinare l’equazione della retta passante per un punto, sei nel posto giusto!

Innanzitutto si parte dalla formula generica, cioè l’equazione della retta passante per un punto dato (che chiameremo P):

y-y_p=m(x-x_p)

in cui:

  • m rappresenta il coefficiente angolare, che indica l’inclinazione della retta da determinare;
  • x_p e y_p sono le coordinate del punto P.

Conoscendo le coordinate del punto P e il coefficiente angolare è possibile determinare l’equazione della retta passante per quel punto, semplicemente sostituendo i valori nell’equazione.

Vediamo ora alcuni esempi.

Esempio 1

Determinare l’equazione della retta passante per il punto A = (3, 4) e con coefficiente angolare uguale a 2.

Riportiamo i dati del nostro esercizio:

  • A=(3,4)\rightarrow x_A=3 e y_A=4
  • m=+2

Sostituiamo nell’equazione generica y-y_p=m(x-x_p) i valori sopra riportati:

y-4=+2(x-3)

Svolgiamo la moltiplicazione nel secondo membro e portiamo a destra il -4 cambiandolo di segno:

y=+2x-6+4

Ora è sufficiente sommare algebricamente -6 e +4:

y=+2x-2

Questa appena ottenuta è l’equazione della retta passante per il punto A di coordinate (3, 4) e con coefficiente angolare uguale a 2.

Ma è corretto? Possiamo verificarlo graficamente!

Innanzitutto è necessario disegnare la retta su un piano cartesiano: per farlo sono necessari due punti, quindi scegliamo a piacere due valori di ascissa e determiniamo le ordinate corrispondenti. In questo modo troveremo due punti che ci permetteranno di tracciare la retta sul piano.

Scegliamo come valori delle ascisse +1 e +4:

Ascissa scelta (x) Ordinata corrispondente (y) Punto sul grafico
+1 y=+2x-2=+2\cdot(+1)-2=+2-2=0 B=(+1,0)
+4 y=+2x-2=+2\cdot(+4)-2=+8-2=+6 C=(+4,+6)

Ora che abbiamo determinato i punti B e C, tracciamo la retta sul piano cartesiano:

Il punto A = (3, 4) appartiene alla retta appena tracciata? Proviamo a posizionarlo sul piano e verifichiamo se è corretto!

Effettivamente il punto A appartiene alla retta tracciata sul piano cartesiano, quindi l’equazione che abbiamo determinato è corretta.

Esempio 2

Determinare l’equazione della retta passante per l’origine e con coefficiente angolare uguale a – 3.

In questo esempio si parla di retta passante per l’origine: in questo caso si fa riferimento all’origine degli assi, cioè il punto O (0, 0). Riportiamo, quindi, i dati del nostro esercizio:

  • O=(0,0)\rightarrow x_O=0 e y_O=0
  • m=-3

Sostituiamo nell’equazione generica y-y_p=m(x-x_p) i valori sopra riportati:

y-0=-3(x-0)

Svolgiamo la moltiplicazione nel secondo membro:

y=-3x

Questa appena ottenuta è l’equazione della retta passante per l’origine degli assi e con coefficiente angolare uguale a – 3.

Anche in questo caso possiamo verificare la correttezza del risultato, disegnando la retta su un piano cartesiano: scegliamo due valori di ascissa a piacere e determiniamo le ordinate corrispondenti. Troveremo due punti che ci permetteranno di tracciare la retta sul piano.

Scegliamo come valori delle ascisse -1 e -2:

Ascissa scelta (x) Ordinata corrispondente (y) Punto sul grafico
-1 y=-3x=-3\cdot(-1)=+3 A=(-1,+3)
-2 y=-3x=-3\cdot(-2)=+6 B=(-2,+6)

Ora che abbiamo determinato i punti A e B, tracciamo la retta sul piano cartesiano:

Con questo disegno possiamo già verificare che la retta appena tracciata passa per l’origine degli assi, quindi per il punto O (0, 0). Lo fissiamo ugualmente per completezza:

Ora che il grafico è completo, possiamo confermare che l’equazione che abbiamo determinato è corretta.


Se hai ancora dubbi su come si calcola la retta passante per un punto, guarda la videolezione sul canale YouTube matematicaoggi!


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Divisione di angoli

La divisione di angoli è una delle possibili operazioni che si possono svolgere con le misure degli angoli.

Ricordiamo che, se si utilizza il grado sessagesimale, l’angolo giro viene suddiviso in 360 parti uguali, ognuna della quali misura 1°. Ogni grado ha dei sottomultipli, cioè i primi e i secondi:

  • 1° (un grado) è suddiviso in 60′ (60 primi);
  • 1′ (un primo) è suddiviso in 60” (60 secondi).

Di conseguenza, 60” corrispondono a 1′ e 60′ corrispondono a 1°: questo è molto importante nei calcoli che andremo a svolgere.

Per eseguire una divisione di angoli si parte sempre dai numeri a sinistra, quindi si inizia dividendo i gradi; in seguito si passa ai primi; infine si dividono i secondi. Nel calcolo si possono verificare due situazioni:

  1. La divisione è esatta (cioè il dividendo è multiplo del divisore): è il caso più semplice, quindi si può passare alla divisione successiva.
  2. La divisione non è esatta (cioè il dividendo non è multiplo del divisore, quindi si ha un resto): è il caso che richiede qualche attenzione in più, poiché il resto va trasformato e riportato nella misura a destra.

Trovarsi nel secondo caso sembra complicato, ma vediamo con qualche esempio di chiarire i dubbi.

Esempio 1

24° 58′ 46” : 2 =

La divisione di questo esempio è molto semplice: come si può facilmente vedere, i numeri che compongono la misura dell’angolo sono tutti pari, quindi – dovendo dividere per 2 – non ci saranno particolari problemi.

Procediamo con la divisione, partendo dai gradi; passeremo poi ai primi e, infine, ai secondi.

24° 58′ 46” : 2 = 12° 29′ 23”

Esempio 2

39° 13′ 27” : 3 =

La divisione di questo esempio necessita di attenzione: il valore dei primi non è divisibile per 3 (lo sono, invece, quello dei gradi e dei secondi). Nel momento in cui divideremo i primi per 3, il resto lo trasformeremo in secondi e andremo a sommarlo ai secondi iniziali:

39°      13′      27” : 3 = 13° 4′ 29”
                 1′ =  60”
                            87”

13′ diviso 3 risulta 4′ con resto 1′. Sapendo che 1′ = 60”, questi sono stati sommati a 27”, ottenendo 87”; la divisione 87” : 3 porta ad ottenere 29”.

13° 4′ 29” è il risultato finale della divisione.

Esempio 3

45° 29′ 16” : 4 =

Anche questa divisione necessita di attenzione: infatti, gradi e primi non sono divisibili per 4. Nel momento in cui procederemo con le divisioni, il resto dei gradi lo trasformeremo in primi e il resto dei primi lo trasformeremo in secondi, sommandoli a quelli iniziali:

45°      29′      16” : 4 = 11° 22′ 19”
..1° =  60′
              89′
…….. …..1′ =  60”
………… ……….76”

45° diviso 4 risulta 11°, con resto 1°. Sapendo che 1° = 60′, questi vengono sommati a 29′, ottenendo 89′.

89′ diviso 4 risulta 22′, con resto 1′. Sapendo che 1′ = 60”, questi sono stati sommati a 16”, ottenendo 76”: la divisione 76” : 4 porta ad ottenere 19”.

11° 22′ 19” è il risultato finale della divisione.


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Moltiplicazione di angoli

La moltiplicazione di angoli è una delle possibili operazioni che si possono svolgere con le misure degli angoli.

Ricordiamo che, se si utilizza il grado sessagesimale, l’angolo giro viene suddiviso in 360 parti uguali, ognuna della quali misura 1°. Ogni grado ha dei sottomultipli, cioè i primi e i secondi:

  • 1° (un grado) è suddiviso in 60′ (60 primi);
  • 1′ (un primo) è suddiviso in 60” (60 secondi).

Di conseguenza, 60” corrispondono a 1′ e 60′ corrispondono a 1°: questo è molto importante nei calcoli che andremo a svolgere.

Per svolgere una moltiplicazione di angoli è sufficiente moltiplicare il valore di secondi, primi e gradi per le volte richieste: una volta ottenuto il risultato è necessario verificare che questo sia ridotto in forma normale, cioè che i primi e i secondi dell’angolo abbiano un valore inferiore a 60.

Esempio 1

34° 21′ 17” · 2 =

La moltiplicazione di questo esempio è molto semplice: l’angolo va moltiplicato per 2, cioè otterremo il doppio dell’angolo iniziale. Si procede moltiplicando ogni valore, così come segue:

34° 21′ 17” ·
2 =
68° 42′ 34”

I valori dei primi e dei secondi che risultano dalla moltiplicazione sono entrambi inferiori a 60: di conseguenza l’angolo è già ridotto in forma normale, quindi il risultato è quello finale.

Esempio 2

15° 22′ 18” · 3 =

Anche in questo caso la moltiplicazione è semplice: l’angolo va moltiplicato per 3, quindi otterremo il triplo dell’angolo iniziale. Procediamo moltiplicando per 3 ogni valore:

15° 22′ 18” ·
3 =
45° 66′ 54”

Il valore dei primi è superiore a 59: di conseguenza l’angolo ottenuto non è ridotto in forma normale. Procediamo riducendo i primi (togliamo 60′ a 66′) e aggiungendo 1° a 45° (poiché 60′ = 1°):

15° 22′ 18” ·
3 =
45° 66′ 54”
  60′   =
46° 6′ 54”

L’angolo ottenuto, 46° 6′ 54” è ora ridotto in forma normale, quindi è il risultato finale della moltiplicazione.

Esempio 3

39′ 52” · 6 =

Rispetto agli angoli degli esempi precedenti, questo è espresso in primi e secondi, ma il passaggio iniziale non cambia: si procede moltiplicando per 6 i valori:

39′ 52” ·
6 =
234′ 312”

Come si può facilmente vedere, sia i primi che i secondi hanno un valore maggiore di 59, quindi l’angolo ottenuto non è ridotto in forma normale.

Innanzitutto procediamo riducendo i secondi: facendo la tabellina del 6 possiamo facilmente capire che è necessario togliere 5 volte 60, cioè 300′; questo significa che aggiungeremo 5′ a 234′:

39′ 52” ·
6 =
234′ 312”
  300” =
239′ 12”

In seguito procediamo riducendo i primi: facendo sempre la tabellina del 6 possiamo capire che è necessario togliere 3 volte 60, cioè 180′; questo significa che otterremo 3°:

39′ 52” ·
6 =
234′ 312”
  300” =
239′ 12”
180′   =
59′ 12”

L’angolo ottenuto, 3° 59′ 12” è ora ridotto in forma normale, quindi è il risultato finale della moltiplicazione.

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Sottrazione di angoli

La sottrazione di angoli è una delle possibili operazioni che si possono svolgere con le misure degli angoli.

Ricordiamo che, se si utilizza il grado sessagesimale, l’angolo giro viene suddiviso in 360 parti uguali, ognuna della quali misura 1°. Ogni grado ha dei sottomultipli, cioè i primi e i secondi:

  • 1° (un grado) è suddiviso in 60′ (60 primi);
  • 1′ (un primo) è suddiviso in 60” (60 secondi).

Di conseguenza, 60” corrispondono a 1′ e 60′ corrispondono a 1°: questo è molto importante nei calcoli che andremo a svolgere.

La sottrazione di angoli è un’operazione che non dà alcuna preoccupazione se i valori da togliere sono minori del minuendo: in caso contrario è bene fare attenzione, perché sarà necessario andare in prestito.

Nello specifico, se il valore da sottrarre è maggiore del minuendo si rende necessario un prestito dal valore che si trova a sinistra della sottrazione:

  • nel caso in cui siano necessari secondi, si dovrà chiedere in prestito ai primi; verranno così aggiunti 60” e i primi diminuiscono di una unità.
  • Analogamente, se sono necessari dei primi, si dovrà chiedere in prestito ai gradi; verranno così aggiunti 60′ e i gradi diminuiscono di una unità.

Sembra complicato, ma con qualche esempio tutto sarà più chiaro.

Esempio 1

48° 55′ 59” – 16° 32′ 12” =

Seguendo i passaggi sopra riportati, svolgiamo i calcoli allineando correttamente i valori corrispondenti (è possibile farsi aiutare da una tabella, come segue):

48° 55′ 59”
16° 32′ 12” =
32° 23′ 47”

I valori del secondo angolo (sottraendo della sottrazione) sono tutti minori rispetto a quelli del primo angolo (minuendo della sottrazione): di conseguenza il calcolo è stato svolto agevolmente senza che fosse necessario andare in prestito.

Esempio 2

87° 28′ 52” – 41° 56′ 38” =

Impostiamo la sottrazione allineando correttamente i valori corrispondenti:

87° 28′ 52”
41° 56′ 38” =

Notiamo subito che il valore dei primi del sottraendo (secondo angolo) è maggiore rispetto a quello del minuendo (primo angolo). Questo comporta che sarà necessario andare in prestito dai gradi.

Andando in prestito di un grado, otteniamo 60′; toglieremo 1° da 87° e aggiungeremo 60′ a 28′ (cioè 88′), ottenendo così:

87°

86°

28′

88′

 

52”

.

41° 56′ 38” =
45° 32′ 14”  
Esempio 3

101° – 65° 12′ 45” =

Impostiamo la sottrazione allineando correttamente i valori corrispondenti (considerando che il primo angolo non presenta primi e secondi, scriveremo 00′ e 00”):

101° 00′ 00”
65° 12′ 45” =

Sia il valore dei primi che dei secondi del sottraendo (secondo angolo) è maggiore rispetto a quelli del minuendo (primo angolo). Questo comporta che sarà necessario andare in prestito.

Innanzitutto andremo in prestito di un grado, ottenendo così 60′ (101° diventano 100°); inoltre, prenderemo in prestito un primo per avere 60” (60′ diventeranno 59′):

101°

100°

100°

 

60′

59′

.

.

60”

.

.

65° 12′ 45” =
35° 47′ 15”  

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Addizione di angoli

L’addizione di angoli è una delle possibili operazioni che si possono svolgere con le misure degli angoli.

Ricordiamo che, se si utilizza il grado sessagesimale, l’angolo giro viene suddiviso in 360 parti uguali, ognuna della quali misura 1°. Ogni grado ha dei sottomultipli, cioè i primi e i secondi:

  • 1° (un grado) è suddiviso in 60′ (60 primi);
  • 1′ (un primo) è suddiviso in 60” (60 secondi).

Di conseguenza, 60” corrispondono a 1′ e 60′ corrispondono a 1°: questo è molto importante nei calcoli che andremo a svolgere.

Il primo, eventuale, passaggio per eseguire un’addizione di angoli consiste nel verificare se le misure degli angoli con cui abbiamo a che fare sono ridotte in forma normale: significa che i primi e i secondi di ogni angolo devono avere un valore inferiore a 60. Qualche esempio:

  • 12° 24′ 45” è ridotto in forma normale.
  • 78° 112′ 48” non è ridotto in forma normale, poiché i primi (112′) hanno un valore superiore a 59.
  • 45° 79′ 234” non è ridotto in forma normale, poiché sia i primi (79′) che i secondi (234”) hanno un valore superiore a 59.

Per trovare la somma di due o più angoli è necessario impostare l’operazione nel modo corretto, cioè:

  • mettere in colonna i secondi, i primi e i gradi ed eseguire la somma;
  • scrivere in forma normale il risultato ottenuto (nel caso in cui i primi e/o i secondi abbiano un valore maggiore di 59)​.
Esempio 1

22° 15′ 23” + 34° 24′ 19” =

Seguendo i passaggi sopra riportati, svolgiamo i calcoli allineando correttamente i valori corrispondenti (è possibile farsi aiutare da una tabella, come segue):

22° 15′ 23” +
34° 24′ 19” =
56° 39′ 42”

L’angolo ottenuto è già ridotto in forma normale, poiché i primi e i secondi hanno un valore inferiore a 59, quindi 56° 39′ 42” è il risultato finale.

Esempio 2

45° 57′ 39” + 29° 48′ 32” =

Risolviamo questa addizione di angoli allineando correttamente i valori corrispondenti:

45° 57′ 39” +
29° 48′ 32” =
74° 105′ 71”

L’angolo ottenuto non è ridotto in forma normale, poiché sia i primi che i secondi hanno un valore superiore a 59, quindi è necessario procedere con la riduzione.

Iniziamo sottraendo 60”:

45° 57′ 39” +
29° 48′ 32” =
74° 105′ 71”
60” =
74° 106′ 11”

Ricordando che 60” = 1′, abbiamo aggiunto 1′ a 105′, ottenendo 106′. Anche questo valore è superiore a 59, quindi proseguiamo sottraendo 60′:

45° 57′ 39” +
29° 48′ 32” =
74° 105′ 71”
60” =
74° 106′ 11”
  60′   =
75° 46′ 11”

Ricordando, infine, che 60′ = 1°, abbiamo aggiunto 1° a 74°, ottenendo 75°.

Ora il risultato ottenuto è definitivo poiché 75° 46′ 11” è un angolo ridotto in forma normale.


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Problemi sul cubo

Devi svolgere alcuni problemi sul cubo? In questo articolo verranno presentati una serie di problemi standard.

Se non trovi un problema simile a quello che devi risolvere scrivilo nei commenti: provvederemo ad inserire la soluzione il prima possibile!


Problema 1: Un cubo ha lo spigolo che misura 12 cm. Calcola la superficie laterale.
Dati: Richieste:
Spigolo (s) = 12 cm Superficie laterale (Sl)?

Questo problema si svolge in modo molto semplice, applicando la formula diretta della superficie laterale del cubo:

S_l=4\cdot s^2

La formula prevede di calcolare l’area di una faccia del cubo (area di un quadrato) e di moltiplicarla per 4, considerando che la superficie laterale di un cubo è formata da 4 facce.  Applicando la formula si ottiene:

S_l=4\cdot s^2=4\cdot 12^2=4\cdot 144=576cm^2


Problema 2: determina l’area totale di un cubo, sapendo che lo spigolo misura 8 cm.
Dati: Richieste:
Spigolo (s) = 8 cm Superficie totale (St)?

Questo problema si svolge in modo molto semplice, applicando la formula diretta della superficie totale del cubo:

S_t=6\cdot s^2

La formula prevede di calcolare l’area di una faccia del cubo (area di un quadrato) e di moltiplicarla per 6, considerando che la superficie totale di un cubo è formata da 6 facce.  Applicando la formula si ottiene:

S_l=6\cdot s^2=6\cdot 8^2=6\cdot 64=384cm^2


Problema 3: quanto misura il volume di un cubo che ha lo spigolo di 15 cm?
Dati: Richieste:
Spigolo (s) = 15 cm Volume (V)?

Questo problema si svolge applicando la formula diretta del volume del cubo:

V=s^3

Applicando la formula si ottiene:

V=s^3=15^3=3375cm^3


Problema 4: determina la misura dello spigolo di un cubo, sapendo che l’area laterale è di 100 cm2.
Dati: Richieste:
Superficie laterale (Sl) = 100 cm2 Spigolo (s) = ?

Per determinare la misura dello spigolo del cubo è necessario applicare la formula inversa della superficie laterale:

s=\sqrt{\frac{S_l}{4}}

Applicando la formula si ottiene:

s=\sqrt{\frac{S_l}{4}}=\sqrt{\frac{100}{4}}=\sqrt{25}=5cm


Problema 5: determina la misura dello spigolo di un cubo, sapendo che l’area totale è di 294 cm2.
Dati: Richieste:
Superficie totale (St) = 294 cm2 Spigolo (s) = ?

Per determinare la misura dello spigolo del cubo è necessario applicare la formula inversa della superficie totale:

s=\sqrt{\frac{S_l}{6}}

Applicando la formula si ottiene:

s=\sqrt{\frac{S_t}{6}}=\sqrt{\frac{294}{6}}=\sqrt{49}=7cm


Problema 6: Quanto misura lo spigolo di un cubo il cui volume è di 2197 cm3?
Dati: Richieste:
Volume (V) = 2197 cm3 Spigolo (s) = ?

Per determinare la misura dello spigolo del cubo è necessario applicare la formula inversa del volume:

s=\sqrt[3]{V}

Applicando la formula si ottiene:

s=\sqrt[3]{V}=\sqrt[3]{2197}=13cm


Questi sono solo alcuni dei problemi sul cubo: se hai un problema che non sai risolvere, scrivi nei commenti e provvederemo ad aiutarti!


Vai agli esercizi sul cubo!


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Problemi numerici risolvibili con equazioni di primo grado

I problemi numerici risolvibili con equazioni di primo grado sono problemi matematici che richiedono di determinarne la soluzione utilizzando le equazioni di primo grado.

Difficile? No, l’importante è leggere bene il problema e “tradurlo” correttamente con simboli matematici e numeri, ottenendo così l’equazione che permetterà di trovare la soluzione.

Cerchiamo di capire con qualche esempio come svolgere questo tipo di problemi.

Esempio 1

Calcola un numero sapendo che il suo triplo è 24.

Solitamente nelle equazioni di primo grado l’incognita è rappresentata da x: il numero da trovare, quindi, rappresenta l’incognita, perché non ne conosciamo il valore.

La parte del problema che va tradotta in simboli è questa: il suo triplo è 24. Qui si fa riferimento al numero incognito, cioè il triplo del numero è uguale a 24. Quindi, se il numero da trovare è x e il suo triplo (3x) è uguale a 24, possiamo tradurre il problema in questo modo:

3x=24

Applicando le regole di svolgimento delle equazioni di primo grado è facile determinare il valore di x, dividendo entrambi i membri per 3, ottenendo:

\frac{3x}{3}=\frac{24}{3}\rightarrow x=8

Esempio 2

La terza parte di un numero, aumentata di 5, dà come risultato 12. Qual è questo numero?

Anche in questo problema l’obiettivo è di determinare il valore di un numero, che chiameremo x. Analizziamo ora il testo del problema.

  • La terza parte di un numero significa, in termini di frazione, \frac{1}{3} del numero, cioè \frac{1}{3}x.
  • Aumentata di 5 significa che va aggiunto 5 alla parte precedente, cioè \frac{1}{3}x+5.
  • Dà come risultato 12, significa che l’operazione sopra ottenuta è uguale a 12, cioè \frac{1}{3}x+5=12.

In questo modo il problema è stato tradotto in una equazione: ora non resta che risolverla, applicando i dovuti passaggi.

\frac{1}{3}x+5=12 \rightarrow\frac{1}{3}x=12-5 \rightarrow\frac{1}{3}x=7 \rightarrow3\cdot\frac{1}{3}x=7\cdot3 \rightarrow x=21

Esempio 3

La somma di due numeri pari consecutivi è 22. Determinare il valore dei due numeri.

In questo problema viene chiesto di determinare il valore di due numeri, a differenza dei problemi precedenti. Ma non c’è da preoccuparsi: si parte sempre dall’incognita x (che corrisponde al primo dei due numeri); essendo due numeri pari consecutivi, è sufficiente considerare che al numero x si può aggiungere 2 per ottenere il numero pari successivo, quindi l’altro numero lo possiamo esprimere come x+2.

Detto questo, traduciamo il problema in questo modo:

x+x+2=22

perché il primo numero (x), sommato al numero pari successivo (x+2) dà come somma 22. L’equazione di primo grado che otteniamo è semplice da risolvere:

x+x+2=22\rightarrow2x+2=22\rightarrow2x=22-2\rightarrow2x=20\rightarrow \frac{2x}{2}=\frac{20}{2}\rightarrow x=10

Ora che abbiamo determinato il primo numero pari (10), il secondo è – di conseguenza – il successivo, cioè 12.


Vai alla pagina con gli esercizi sui problemi numerici risolvibili con equazioni di primo grado!


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Frazioni ed euro

C’è qualche legame tra le frazioni e la moneta che utilizziamo quotidinamente? In questo articolo presenteremo alcuni concetti teorici, legandoli all’euro:

  • Frazionamento;
  • Frazioni complementari e addizione di frazioni.

Frazionamento

In termini matematici frazionare significa dividere una certa quantità in parti uguali.

Consideriamo che il nostro intero sia rappresentato da una moneta da un euro (1€).

In circolazione esistono diverse monete di più piccolo taglio (quindi con il cosiddetto valore facciale più piccolo), che rappresentano frazioni di un euro.

Il primo esempio di frazionamento che possiamo proporre è relativo all’utilizzo di due monete da 50 centesimi. Sappiamo, infatti, che una moneta da un euro può essere “suddivisa” in due monete da 50 centesimi: ognuna di queste rappresenta metà di un euro, precisamente \frac12.

Per il secondo esempio di frazionamento consideriamo la moneta da 20 centesimi: sappiamo che questa moneta rappresenta la quinta parte di un euro, cioè \frac15. Quindi, la moneta da un euro può essere frazionata in 5 parti uguali (rappresentate da 5 monete da 20 centesimi).

Analogamente, se utilizziamo le altre monete esistenti, i frazionamenti possibili sono i seguenti:

  • 10 centesimi: frazionamento di un euro in 10 parti uguali, corrispondenti a \frac{1}{10} di euro;
  • 5 centesimi: frazionamento di un euro in 20 parti uguali, corrispondenti a \frac{1}{20} di euro;
  • 2 centesimi: frazionamento di un euro in 50 parti uguali, corrispondenti a \frac{1}{50} di euro;
  • 1 centesimo: frazionamento di un euro in 100 parti uguali, corrispondenti a \frac{1}{100} di euro.

Frazioni complementari e addizione di frazioni

Si parla di frazioni complementari quando la loro somma è 1, quindi l’intero. Partendo da questo concetto, possiamo proporre una serie di esempi, sapendo che le possibilità di sperimentare sono tantissime!

Consideriamo sempre la moneta da un euro come l’intero.

Un primo esempio molto semplice: prendiamo una moneta da 50 centesimi e cinque monete da 10 centesimi.

Qualcuno avrà già capito, attraverso un calcolo mentale, che queste monete – messe insieme – formano un euro. Ma qui vorremmo rappresentare questo calcolo con alcune frazioni. In particolare:

  • La moneta da 50 centesimi è metà di un euro che, in termini di frazione di euro, rappresenta \frac12;
  • La moneta da 10 centesimi è la decima parte di un euro che, in termini di frazione di euro, rappresenta \frac{1}{10}.

Per verificare che si tratta di frazioni complementari, sommiamo le monete rappresentate dalle frazioni:

\frac{1}{2}+\frac{1}{10}+\frac{1}{10}+\frac{1}{10}+\frac{1}{10}+\frac{1}{10}=

In questa addizione di frazioni abbiamo denominatori diversi, quindi è necessario determinare il denominatore comune, in particolare tra 2 e 10: il minimo comune denominatore è 10, poiché 10 è multiplo di 2 (oppure si può anche dire che 10 è divisibile per 2). Avremo quindi:

\frac{1}{2}+\frac{1}{10}+\frac{1}{10}+\frac{1}{10}+\frac{1}{10}+\frac{1}{10}=\frac{5+1+1+1+1+1}{10}=\frac{10}{10}=1

Come si può notare dal risultato, questo primo esempio rappresenta un caso di frazioni complementari. Vediamone un altro.

Consideriamo questa serie di monete: una da 50 centesimi, una da 20 centesimi, tre da 10 centesimi.

Come per il primo esempio, rappresentiamole come frazioni di euro:

  • La moneta da 50 centesimi è metà di un euro che, in termini di frazione di euro, rappresenta \frac12;
  • La moneta da 20 centesimi è la quinta parte di un euro che, in termini di frazione di euro, rappresenta \frac15.
  • Infine, la moneta da 10 centesimi è la decima parte di un euro che, in termini di frazione di euro, rappresenta \frac{1}{10}.

Per verificare che si tratta di frazioni complementari, sommiamo le monete rappresentate dalle frazioni:

\frac{1}{2}+\frac{1}{5}+\frac{1}{10}+\frac{1}{10}+\frac{1}{10}=

In questa addizione di frazioni abbiamo denominatori diversi, quindi è necessario determinare il denominatore comune, in particolare tra 2, 5 e 10: il minimo comune denominatore è 10, poiché 10 è multiplo sia di 2 che di 5 (oppure si può anche dire che 10 è divisibile sia per 2 che per 5). Avremo quindi:

\frac{1}{2}+\frac{1}{5}+\frac{1}{10}+\frac{1}{10}+\frac{1}{10}=\frac{5+2+1+1+1}{10}=\frac{10}{10}=1

Anche in questo caso la combinazione di monete rappresenta l’intero.

Può essere interessante verificare altre combinazioni, anche considerando come intero monete di taglio più alto, per esempio la moneta da 2 euro.


Vai alla pagina con le lezioni sulle frazioni!


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Sistemi di equazioni di primo grado a due incognite – Metodo di sostituzione

In questo articolo vediamo come svolgere i sistemi di equazioni di primo grado a due incognite utilizzando il metodo di sostituzione.

In generale, per trovare le soluzioni di un sistema di equazioni di primo grado a due incognite è possibile seguire diversi metodi:

  • Sostituzione
  • Confronto
  • Sottrazione (o riduzione o eliminazione)
  • Cramer

Vediamo con un esempio come si applica il metodo di sostituzione. Precisiamo che, formalmente, a sinistra delle due equazioni dovrebbe esserci una parentesi graffa che le unisce, ma qui non l’abbiamo inserita per semplicità.

In caso di necessità, ripassa prima le equazioni di primo grado.

Esempio

x+2y=3
2x+3y=5

Il metodo di sostituzione prevede, prima di tutto, di ricavare una delle due incognite in una delle due equazioni (si consiglia sempre di partire da quella più facile), per poi andare a sostituirla all’interno dell’altra equazione.

Nel sistema dell’esempio conviene partire ricavando la x nella prima equazione (poiché ha coefficiente pari a 1): per ricavare la x nella prima equazione è sufficiente spostare al secondo membro il termine +2y, ottenendo:

x=3-2y
2x+3y=5

Ora andremo a sostituire la x della prima equazione (che corrisponde a 3-2y) al posto della x della seconda equazione, ottenendo così:

x=3-2y
2(3-2y)+3y=5

La nostra attenzione ora si sposta sulla seconda equazione: si può vedere, infatti, che l’equazione presenta la sola incognita y, quindi è possibile trovare – attraverso alcuni semplici passaggi – la soluzione, quindi il valore di y. Procediamo, quindi, a determinare la soluzione della seconda equazione:

x=3-2y
6-4y+3y=5

Dopo aver svolto la parentesi tonda, spostiamo a destra dell’uguale il numero 6, cambiandolo di segno, e svolgiamo i calcoli previsti:

x=3-2y
-4y+3y=5-6

Svolgiamo le somme algebriche:

x=3-2y
-y=-1

Per fare in modo che y abbia coefficiente positivo è sufficiente moltiplicare per -1 entrambi i membri della seconda equazione:

x=3-2y
y=1

Ora che abbiamo determinato il valore di y, è possibile determinare anche il valore di x sostituendo il valore 1 nella prima equazione:

x=3-2\cdot1
y=1
x=1
y=1

Il sistema è risolto! Ma…è corretto? Per verificare la correttezza dei risultati è sufficiente sostituire i valori ottenuti alle incognite delle equazioni iniziali:

x+2y=3
2x+3y=5
1+2\cdot1=3
2\cdot1+3\cdot1=5
3=3
5=5

Verifica completata: come si può notare abbiamo ottenuto due uguaglianze, quindi possiamo affermare che i valori di x e di y sono corretti.

Guarda la videolezione sul canale YouTube matematicaoggi sui sistemi di equazioni di primo grado a due incognite utilizzando il metodo di sostituzione.


Vai alla pagina con le altre lezioni sulle equazioni!


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Prodotto di radicali con indice diverso

Il prodotto di radicali con indice diverso è una delle diverse operazioni che si possono eseguire con i radicali.

A differenza del prodotto di radicali con lo stesso indice, che si risolve in modo abbastanza semplice, qui è necessario svolgere un passaggio preliminare per ottenere il risultato finale.

Questo passaggio è la riduzione di radicali allo stesso indice, cioè l’operazione che permette di trasformare due o più radicali in altri aventi lo stesso indice di radice.

Applicata questa trasformazione, si svolge il prodotto e il gioco è fatto!

Ci facciamo aiutare da alcuni esempi per capire come svolgere il prodotto di radicali con indice diverso.

Esempio 1

\sqrt[3]{2}\cdot\sqrt[4]{3}\ =

In questo primo esempio abbiamo un prodotto di due radicali con indici diversi (rispettivamente 3 e 4).

Per ottenere il risultato è necessario, innanzitutto, ridurre allo stesso indice i radicali presenti nella moltiplicazione, ovvero fare in modo che abbiano lo stesso indice.

Il primo passaggio è calcolare il minimo comune multiplo (m.c.m.) degli indici di radice; il passaggio non è complicato: infatti, il più piccolo multiplo che hanno in comune 3 e 4 è 12, quindi m.c.m. (3, 4) = 12.

Ora si opera la trasformazione dei due radicali iniziali in altri due che avranno come indice di radice 12: la trasformazione prevede di dividere 12 per gli indici iniziali e applicare il quoziente al radicando, ottenendo quanto segue:

\sqrt[3]{2}=\sqrt[12]{2^4}

\sqrt[4]{3}=\sqrt[12]{3^3}

Dopo questa trasformazione abbiamo due radicali con lo stesso indice: di conseguenza è sufficiente applicare la regola generale del prodotto di radicali con lo stesso indice, che prevede di moltiplicare tra loro i radicandi e lasciare la radice con l’indice uguale. Nel nostro esempio abbiamo:

\sqrt[3]{2}\cdot\sqrt[4]{3}\ =\sqrt[12]{2^4}\cdot\sqrt[12]{3^3}\ =\sqrt[12]{2^4\cdot3^3}=\sqrt[12]{16\cdot27}=\sqrt[12]{432}

Esempio 2

\sqrt[3]{3}\cdot\sqrt[6]{2}\cdot\sqrt[9]{4}\ =

In questo secondo esempio abbiamo un prodotto di tre radicali con indici diversi (rispettivamente 3, 6 e 9).

Come visto nel primo esempio, per ottenere il risultato è necessario ridurre allo stesso indice i radicali presenti nella moltiplicazione, ovvero fare in modo che abbiano lo stesso indice.

Calcoliamo, quindi, il minimo comune multiplo (m.c.m.) degli indici di radice; il più piccolo multiplo che hanno in comune 3, 6 e 9 è 18, quindi m.c.m. (3, 6, 9) = 18.

Ora si opera la trasformazione dei tre radicali iniziali in altri tre che avranno come indice di radice 18: la trasformazione prevede di dividere 18 per gli indici iniziali e applicare il quoziente al radicando, ottenendo quanto segue:

\sqrt[3]{3}=\sqrt[18]{3^6}

\sqrt[6]{2}=\sqrt[18]{2^3}

\sqrt[9]{4}=\sqrt[18]{4^2}

I tre radicali ottenuti hanno lo stesso indice: di conseguenza è sufficiente applicare la regola generale del prodotto di radicali con lo stesso indice, che prevede di moltiplicare tra loro i radicandi e lasciare la radice con l’indice uguale. Nel nostro esempio abbiamo:

\sqrt[3]{3}\cdot\sqrt[6]{2}\cdot\sqrt[9]{4}\ =\sqrt[18]{3^6}\cdot\sqrt[18]{2^3}\cdot\sqrt[18]{4^2}\ =\sqrt[18]{3^6\cdot2^3\cdot4^2}=\sqrt[18]{729\cdot8\cdot16}=\sqrt[18]{93312}

Guarda la videolezione con altri esempi chiari ed esaustivi!

Guarda le altre lezioni sui radicali!


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Problemi sul parallelogramma

Devi svolgere alcuni problemi sul parallelogramma? In questo articolo verranno presentati una serie di problemi standard.

Se non trovi un problema simile a quello che devi risolvere scrivilo nei commenti: provvederemo ad inserire la soluzione il prima possibile!


Problema 1: Un parallelogramma ha la base e l’altezza che misurano, rispettivamente, 15 cm e 8 cm. Calcola l’area del parallelogramma.
Dati: Richieste:
Base (b) = 15 cm

Altezza (h) = 8 cm

Area?

Questo problema si svolge in modo molto semplice, applicando la formula diretta dell’area del parallelogramma:

Area=b\cdot h

Applicando la formula si ottiene:

Area=b\cdot h=15\cdot8=120cm^2


Problema 2: Un parallelogramma ha la base e il LATO OBLIQUO che misurano, rispettivamente, 20 cm e 12 cm. Calcola IL PERIMETRO del parallelogramma.
Dati: Richieste:
Base (b) = 20 cm

Lato obliquo (l) = 12 cm

Perimetro?

Questo problema si svolge in modo molto semplice, applicando la formula diretta del perimetro del parallelogramma:

Perimetro=2\cdot(b+l)

Applicando la formula si ottiene:

Perimetro=2\cdot(b+l)=2\cdot(20+12)=2\cdot32=64cm


Problema 3: Un parallelogramma ha l’altezza che misura 10 cm. Calcola l’area, sapendo che la base è il doppio dell’altezza.
Dati: Richieste:
b = 2 · h

h = 10 cm

Area?

In questo problema c’è un legame tra base e altezza: infatti si dice che la base è il doppio dell’altezza. Quindi, prima di applicare la formula diretta dell’area del parallelogramma, è necessario calcolare la misura della base:

b=2\cdot h=2\cdot10=20cm

Ora è sufficiente applicare la formula diretta dell’area del parallelogramma:

Area=b\cdot h=20\cdot10=200cm^2

Nota: in altri problemi simili a questo viene indicata la misura di una delle dimensioni, mentre l’altra è la sua metà (ad es. la base misura 20 cm, mentre l’altezza è la sua metà); in questo caso è sufficiente dividere per 2 la misura indicata, per trovare quella della dimensione mancante. Fatto questo, si applica la formula diretta per calcolare l’area.


Problema 4: La base di un parellelogramma misura 20 cm e l’altezza è i suoi 3/4. Calcola l’area del parallelogramma.
Dati: Richieste:
b = 20 cm

h = \frac{3}{4} b

Area?

I problemi in cui compaiono le frazioni sembrano complicati: in realtà non devono spaventare! In questo problema esiste un rapporto tra base e altezza, cioè l’altezza ha un legame matematico con la base, rappresentato da una frazione: l’altezza è i tre quarti della base.

Questo si traduce, matematicamente, con il calcolo seguente:

h=\frac{3}{4}b=(b\cdot3):4=(20\cdot3):4=60:4=15cm

La parte “complicata” è risolta: ora è sufficiente applicare la formula diretta dell’area del parallelogramma:

Area=b\cdot h=20\cdot15=300cm^2


Problema 5: in un parallelogramma la base è 3/2 dell’altezza, mentre la loro somma è 50 cm. Calcola l’area del parallelogramma.
Dati: Richieste:
b + h = 50 cm

b =\frac{3}{2} h

Area?

Anche in questo problema c’è un rapporto matematico tra base e altezza: a differenza del problema precedente, il valore presente è la somma delle misure di base e altezza, cioè – al livello di frazione – la base rappresenta 3 parti del totale e l’altezza 2 parti del totale.

La somma, 50 cm, è rappresentata da 3 parti + 2 parti, quindi 5 parti: di conseguenza, per determinare le misure di base e altezza di procede in questo modo:

b=50:(3+2)\cdot3=50:5\cdot3=30cm

h=50:(3+2)\cdot2=50:5\cdot2=20cm

Ora che le misure di base e altezza sono determinate, possiamo applicare la formula diretta dell’area del parallelogramma:

Area=b\cdot h=30\cdot20=600cm^2


Problema 6: Calcola il perimetro e l’area di un PARALLELOGRAMMA, sapendo che la base è 4/3 dell’altezza, che la loro differenza misura 8 cm E CHE IL LATO OBLIQUO MISURA 26 CM.
Dati: Richieste:
b – h = 8 cm

b =\frac{4}{3} h

l = 26 cm

Perimetro?

Area?

Come per il problema precedente, c’è un rapporto matematico tra base e altezza: il valore presente (8 cm) rappresenta la differenza delle misure di base e altezza, mentre – al livello di frazione – la base rappresenta 4 parti e l’altezza 3 parti.

La differenza, 8 cm, è rappresentata da 4 parti – 3 parti, quindi 1 parte: di conseguenza, per determinare le misure di base e altezza si procede in questo modo:

b=8:(4-3)\cdot4=8:1\cdot4=32cm

h=8:(4-3)\cdot3=8:1\cdot3=24cm

Ora che le misure di base e altezza sono determinate, possiamo applicare le formule dirette di perimetro e area del parallelogramma:

Perimetro=2\cdot(b+l)=2\cdot(32+26)=2\cdot58=116cm

Area=b\cdot h=32\cdot24=768cm^2


Questi sono solo alcuni dei problemi sul parallelogramma: per es. non sono presenti i problemi in cui viene chiesto di applicare le formule inverse. Se hai un problema che non sai risolvere, scrivi nei commenti e provvederemo ad aiutarti!


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Equazioni di secondo grado complete

Se stai leggendo questo articolo allora sei nel posto giusto: ecco una lezione chiara ed esaustiva sulle equazioni di secondo grado complete!

Una equazione è di secondo grado quando l’incognita (solitamente x) compare con esponente 2 (alla seconda o al quadrato).

La forma generica dell’equazione di secondo grado è la seguente:

 ax^{2}+bx+c=0

In base a questa forma generica, a seconda che vi siano o meno alcuni dei suoi termini, si possono avere anche le equazioni di secondo grado pure e le equazioni di secondo grado spurie.

In questa lezione ci occupiamo delle equazioni di secondo grado complete.

Per svolgere una equazione di secondo grado completa è necessario ricordare una formula risolutiva, che permette di ottenere le soluzioni dell’equazione stessa; la formula risolutiva è la seguente:

x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{ b^{2}-4ac}}{2a}

In particolari condizioni, cioè quando b è pari, è possibile utilizzare la formula risolutiva ridotta (in breve, formula ridotta):

x_{1,2}=\frac{-\frac{b}{2}\pm\sqrt{ (\frac{b}{2})^{2}-ac}}{a}

Vediamo con qualche esempio come si applicano le formule sopra riportate.

Esempio 1

Risolvere la seguente equazione di secondo grado: x^2+4x-5=0

Per risolvere questa equazione applichiamo la formula risolutiva:

x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{ b^{2}-4ac}}{2a}

In questo caso:

a=1

b=4

c=-5

Sostituiamo i valori all’interno della formula, ottenendo:

x_{1,2}=\frac{-4\pm\sqrt{4^2-4\cdot1\cdot(-5)}}{2\cdot1}=\frac{-4\pm\sqrt{16+20}}{2}=\frac{-4\pm\sqrt{36}}{2}=\frac{-4\pm6}{2}=

Le due soluzioni si ottengono in questo modo:

x_{1}=\frac{-4-6}{2}=\frac{-10}{2}=-5

x_{2}=\frac{-4+6}{2}=\frac{2}{2}=1

In questo esempio è possibile applicare la formula ridotta, in alternativa a quella generica, poiché b è pari. Le soluzioni date dalla formula ridotta devono essere le stesse; verifichiamo:

x_{1,2}=\frac{-\frac{4}{2}\pm\sqrt{ (\frac{4}{2})^{2}-1\cdot(-5)}}{1}=\frac{-2\pm\sqrt{ 2^{2}+5}}{1}=\frac{-2\pm\sqrt{ 4+5}}{1}=\frac{-2\pm\sqrt{ 9}}{1}=\frac{-2\pm3}{1}=

Analogamente a quanto riportato sopra, le due soluzioni si ottengono in questo modo:

x_{1}=\frac{-2-3}{1}=\frac{-5}{1}=-5

x_{2}=\frac{-2+3}{1}=\frac{1}{1}=1

Esempio 2

Risolvere la seguente equazione di secondo grado: -x^2+3x+4=0

Per risolvere questa equazione applichiamo la formula risolutiva (precisiamo che non è possibile applicare la formula ridotta, poiché b non è pari):

x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{ b^{2}-4ac}}{2a}

In questo caso:

a=-1

b=3

c=4

Sostituiamo i valori all’interno della formula, ottenendo:

x_{1,2}=\frac{-3\pm\sqrt{3^2-4\cdot(-1)\cdot4}}{2\cdot(-1)}=\frac{-3\pm\sqrt{9+16}}{-2}=\frac{-3\pm\sqrt{25}}{-2}=\frac{-3\pm5}{-2}=

Le due soluzioni si ottengono in questo modo:

x_{1}=\frac{-3-5}{-2}=\frac{-8}{-2}=+4

x_{2}=\frac{-3+5}{-2}=\frac{+2}{-2}=-1

Se la spiegazione non ti ha chiarito tutti i dubbi, guarda la videolezione direttamente dal canale YouTube matematicaoggi!

Vai alla pagina con gli esercizi sulle equazioni di secondo grado complete!


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Probabilità

In questa lezione introdurremo alcuni concetti base della probabilità.

Definizione di evento e tipi di evento

Prima di tutto è necessario chiarire il concetto di evento: si tratta, semplicemente, di un fatto, un avvenimento o un accadimento che è possibile osservare e, grazie al calcolo della probabilità, tradurre con un numero.

In base alla possibilità di accadimento, gli eventi si distinguono in:

  • certi: si verificano sicuramente;
  • aleatori: possono verificarsi o meno (casuale);
  • impossibili: se è sicuro che non si verificano.

Probabilità di un evento

Per calcolare la probabilità di un evento è sufficiente svolgere il seguente rapporto:

p(E)=\frac{f}{t}Questo rapporto si può definire nel modo seguente: la probabilità dell’evento E, p(E), si ottiene dal rapporto tra i casi favorevoli (f) e i casi totali, o possibili (t).

Riprendendo la distinzione di evento descritta in precedenza, il valore numerico della probabilità è la seguente:

  • evento certo: la probabilità è pari a 1, cioè al 100%, perché sicuramente si verifica (i casi favorevoli sono pari ai casi totali);
  • aleatori: la probabilità varia tra 0 e 1, precisamente 0 < p < 1;
  • impossibili: la probabilità è pari a 0, cioè lo 0%, perché sicuramente non si verifica (i casi favorevoli sono pari a 0).

Sintetizzando, possiamo quindi affermare che la probabilità di un evento E è compresa tra 0 e 1, estremi inclusi, cioè 0 ≤ p ≤ 1.

Prima di passare a qualche esempio, definiamo il significato di evento contrario. Considerando un generico evento E, il suo evento contrario si verifica quando non si verifica E. Per esempio, se consideriamo il lancio di un dado e definiamo l’evento E come uscita di un numero dispari, l’evento contrario di E è l’uscita di un numero pari. Numericamente parlando, la somma della probabilità di un evento E e del suo evento contrario è uguale a 1.

Esempio 1 – Calcolare la probabilità che esca il numero 3 dal lancio di un dado regolare.

In questo caso si suppone di avere un dado regolare (cioè un dado classico, con 6 facce numerate da 1 a 6): si chiede di calcolare la probabilità che, lanciando il dado, esca la faccia con il numero 3.

Il numero di eventi favorevoli è pari a 1, poiché in un dado a 6 facce è presente una sola faccia con il numero 3. Il numero di casi totali è pari a 6, poiché in un dado sono presenti 6 facce: lanciando il dado è possibile che esca una qualsiasi di queste facce. In sintesi, tutto si traduce come segue:

p=\frac{1}{6}=0,1666666...=16,67%

Il rapporto tra casi favorevoli e casi totali è un numero decimale, che si può trasformare in percentuale, moltiplicando il risultato per 100.

In questo primo esempio il risultato si può sintetizzare con la seguente frase: la probabilità che esca il numero 3 dal lancio di un dado regolare è pari al 16,67%.

Esempio 2 – Calcolare la probabilità che esca una pallina rossa da un sacchetto che ne contiene 5 rosse e 5 nere.

Il numero di eventi favorevoli è pari a 5, poiché nel sacchetto sono presenti 5 palline di colore rosso. Il numero di casi totali è pari a 10, poiché il numero totale di palline del sacchetto è 10. In sintesi, tutto si traduce come segue:

p=\frac{5}{10}=0,5=50%

In questo secondo esempio il risultato si può sintetizzare con la seguente frase: la probabilità che esca una pallina rossa da un sacchetto che ne contiene 5 rosse e 5 nere è pari al 50%.


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Punto medio di un segmento

Quando si opera sul piano cartesiano è spesso necessario dover calcolare le coordinate del punto medio di un segmento.

Per determinare le coordinate del punto medio di un segmento sul piano cartesiano è necessario conoscere le coordinate cartesiane dei due estremi del segmento stesso.

Ipotizziamo che i due punti distinti siano A e B e che le loro coordinate cartesiane siano le seguenti:

A(x_{A}; y_{A})

B(x_{B}; y_{B})

Le coordinate del punto medio del segmento che si ottiene unendo A con B si determinano utilizzando le seguenti formule:

x_{M}=\frac{x_{A}+x_{B}}{2}

y_{M}=\frac{y_{A}+y_{B}}{2}

Utilizzando queste formule si ottengono, rispettivamente, l’ascissa e l’ordinata del punto medio M.

Vediamo un paio di esempi per applicare le formule sopra indicate.

Esempio 1

Determinare il punto medio del segmento delimitato dai seguenti punti:

A(4;6)

B(14;2)

Rappresentiamo i punti in un piano cartesiano, unendo A con B:

Ora è sufficiente applicare le formule sopra indicate, sostituendo i valori delle coordinate cartesiane, così come segue:

x_{M}=\frac{x_{A}+x_{B}}{2}=\frac{4+14}{2}=\frac{18}{2}=9

y_{M}=\frac{y_{A}+y_{B}}{2}=\frac{6+2}{2}=\frac{8}{2}=4

Secondo i calcoli appena eseguiti, il punto medio M ha le seguenti coordinate:

M(9;4)

Per verificare la correttezza del risultato possiamo posizionare il punto medio M sul piano cartesiano, così come segue:

Osservando il grafico possiamo confermare che i risultati ottenuti sono corretti: in effetti, la posizione di M equivale al punto medio del segmento delimitato dai punti A e B.

Esempio 2

Determinare il punto medio del segmento delimitato dai seguenti punti:

A(4;-3)

B(-2;-1)

Rappresentiamo i punti in un piano cartesiano, unendo A con B:

Ora è sufficiente applicare le formule sopra indicate, sostituendo i valori delle coordinate cartesiane, così come segue:

x_{M}=\frac{x_{A}+x_{B}}{2}=\frac{4-2}{2}=\frac{2}{2}=1

y_{M}=\frac{y_{A}+y_{B}}{2}=\frac{-3-1}{2}=\frac{-4}{2}=-2

Secondo i calcoli appena eseguiti, il punto medio M ha le seguenti coordinate:

M(1;-2)

Per verificare la correttezza del risultato possiamo posizionare il punto medio M sul piano cartesiano, così come segue:

Osservando il grafico possiamo confermare che i risultati ottenuti sono corretti: in effetti, la posizione di M equivale al punto medio del segmento delimitato dai punti A e B.


Per chiarire eventuali altri dubbi, ecco una videolezione semplice ed efficace!


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Differenza di due angoli e loro rapporto

Differenza di due angoli e loro rapporto: ecco la lezione che ti aiuterà a svolgere questo tipo di problema geometrico!

La differenza delle ampiezze di due angoli è 12° e uno è i \frac{4}{3} dell’altro. Qual è la misura dei due angoli?

Questo è un classico problema nel quale è presente la differenza delle ampiezze dei due angoli e il loro rapporto, spesso rappresentato come una frazione.

Traducendo in simboli il problema sopra citato, potremmo scrivere:

  • \alpha\beta = 12° – cioè la differenza delle ampiezza dei due angoli
  • \alpha = \frac{4}{3} \beta – cioè il rapporto tra i due angoli

\alpha e \beta rappresentano i due angoli incogniti.

Per determinare la misura delle ampiezze dei due angoli sono possibili due strade:

  1. Utilizzando la proprietà dello scomporre delle proporzioni
  2. La geometria, rappresentando il problema disegnando due segmenti

Proprietà dello scomporre delle proporzioni

Sapendo che il rapporto tra \alpha e \beta è \frac{4}{3}, possiamo impostare la proporzione nel modo seguente:

\alpha : \beta = 4 : 3

In più, sappiamo che \alpha – \beta = 12°. Possiamo, quindi, applicare la proprietà dello scomporre scrivendo:

(\alpha – \beta) : \alpha = (4 – 3) : 4

Ora è sufficiente sostituire 12° dentro la parentesi (\alpha – \beta), ottenendo:

12° : \alpha = 1 : 4

Per concludere si può ora facilmente ottenere \alpha, applicando la proprietà fondamentale delle proporzioni, cioè:

\alpha = (12° · 4) : 1 = 48°

Di conseguenza, \beta si può ottenere per differenza, cioè:

\beta = 48° – 12° = 36°

Geometria: segmenti

Sapendo che il rapporto tra \alpha e \beta è \frac{4}{3}, possiamo disegnare due segmenti, uno di lunghezza 4 unità e l’altro di lunghezza 3 unità:

Segmento 4 unità

Segmento 3 unità

Sapendo che \alpha – \beta = 12°, si può immaginare che la differenza sia rappresentata da un segmento pari a 1 unità, che corrisponde a 12°.

Considerando che 1 unità vale 12° e che i segmenti iniziali sono lunghi, rispettivamente, 4 unità e 3 unità, per stabilire la misura dell’ampiezza dei due angoli incogniti è sufficiente moltiplicare 12° per le unità di ogni segmento, cioè:

12° · 4 = 48° = \alpha

12° · 3 = 36° = \beta


Vai alla pagina degli esercizi su differenza di due angoli e loro rapporto!


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Somma di due angoli e loro rapporto

Somma di due angoli e loro rapporto: ecco la lezione che ti aiuterà a svolgere questo tipo di problema geometrico!

La somma delle ampiezze di due angoli è 70° e uno è i \frac{3}{4} dell’altro. Qual è la misura dei due angoli?

Questo è un classico problema nel quale è presente la somma delle ampiezze dei due angoli e il loro rapporto, spesso rappresentato come una frazione.

Traducendo in simboli il problema sopra citato, potremmo scrivere:

  • \alpha + \beta = 70° – cioè la somma delle ampiezze dei due angoli
  • \alpha = \frac{3}{4} \beta – cioè il rapporto tra i due angoli

\alpha e \beta rappresentano i due angoli incogniti.

Per determinare la misura delle ampiezze dei due angoli sono possibili due strade:

  1. Utilizzando la proprietà del comporre delle proporzioni
  2. La geometria, rappresentando il problema disegnando due segmenti

Proprietà del comporre delle proporzioni

Sapendo che il rapporto tra \alpha e \beta è \frac{3}{4}, possiamo impostare la proporzione nel modo seguente:

\alpha : \beta = 3 : 4

In più, sappiamo che \alpha + \beta = 70°. Possiamo, quindi, applicare la proprietà del comporre scrivendo:

(\alpha + \beta) : \alpha = (3 + 4) : 3

Ora è sufficiente sostituire 70° dentro la parentesi (\alpha + \beta), ottenendo:

70° : \alpha = 7 : 3

Per concludere si può ora facilmente ottenere \alpha, applicando la proprietà fondamentale delle proporzioni, cioè:

\alpha = (70° · 3) : 7 = 30°

Di conseguenza, \beta si può ottenere per differenza, cioè:

\beta = 70° – 30° = 40°

Geometria: segmenti

Sapendo che il rapporto tra le ampiezze di \alpha e \beta è \frac{3}{4}, possiamo disegnare due segmenti, uno di lunghezza 3 unità e l’altro di lunghezza 4 unità:

Segmento 3 unità

Segmento 4 unità

Sapendo che \alpha + \beta = 70°, si può disegnare il segmento somma dei due angoli iniziali, ottenendo:

Segmento 7 unità

Come si può notare nel disegno sopra riportato, il segmento somma è formato da 7 unità, che corrispondono alla somma delle ampiezze dei due angoli incogniti.

Per determinare quanto vale 1 unità del segmento è sufficiente eseguire una semplice divisione, cioè:

70° : 7 = 10°

Sapendo che 1 unità vale 10° e che gli angoli iniziali sono ampi, rispettivamente, 3 unità e 4 unità, per stabilire la misura delle ampiezze dei due angoli incogniti è sufficiente moltiplicare 10° per le unità di ogni segmento, cioè:

10° · 3 = 30° = \alpha

10° · 4 = 40° = \beta


Se hai ancora qualche dubbio, guarda la videolezione direttamente sul canale YouTube matematicaoggi!


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Multipli e sottomultipli di un angolo

Multipli e sottomultipli di un angolo: ecco la lezione che ti chiarirà ogni dubbio!

  1. Un angolo misura 23°: quanto misura il suo doppio? E il suo triplo?
  2. Sapendo che l’ampiezza di un angolo è 44°, qual è l’ampiezza dell’angolo che equivale alla sua metà? Qual è l’angolo equivalente alla sua quarta parte?

I problemi sopra proposti sono due esempi che riguardano il multiplo di un angolo (problema nr. 1) e il sottomultiplo di un angolo (problema nr. 2).

Il problema nr. 1 riguarda il multiplo di un angolo perché, partendo da un angolo iniziale, si chiede di trovare il suo doppio (significa due volte l’angolo iniziale) e il suo triplo (cioè tre volte l’angolo iniziale).

Il problema nr. 2 riguarda, invece, il sottomultiplo di un angolo perché, sapendo la misura dell’ampiezza dell’angolo iniziale, viene chiesto di trovare la sua metà (significa, semplicemente, dividere per 2 la misura dell’ampiezza dell’angolo iniziale) e la sua quarta parte (cioè trovare quanto misura \frac{1}{4} dell’ampiezza dell’angolo iniziale).

Risolviamo i due problemi sopra proposti.

Esempio 1

Un angolo misura 23°: quanto misura il suo doppio? E il suo triplo?

Come detto, il doppio dell’angolo significa “due volte” l’angolo iniziale, cioè:

23° · 2 = 46° (doppio)

Il triplo dell’angolo iniziale significa “tre volte” l’angolo iniziale, quindi:

23° · 3 = 69° (triplo)

Esempio 2

Sapendo che l’ampiezza di un angolo è 44°, qual è l’ampiezza dell’angolo che equivale alla sua metà? Qual è l’angolo equivalente alla sua quarta parte?

La metà dell’angolo iniziale si ottiene dividendo la misura dell’ampiezza per 2 (oppure moltiplicando per \frac{1}{2}), cioè:

44° : 2 = 22° (metà)

La quarta parte si ottiene dividendo per 4 la misura dell’ampiezza dell’angolo iniziale (oppure moltiplicando per \frac{1}{4}), quindi:

44° : 4 = 11° (quarta parte)

In sintesi, riportiamo una tabella-guida utile per risolvere i problemi con multipli e sottomultipli di un angolo.

Multipli di un angolo

Cosa chiede il problema? Qual è l’operazione da compiere sull’angolo iniziale?
Il doppio dell’angolo Si moltiplica per 2

α = 10°

Doppio di α → 10° · 2 = 20°

Il triplo dell’angolo Si moltiplica per 3

β = 8°

Triplo di β → 8° · 3 = 24°

Il quadruplo dell’angolo Si moltiplica per 4

γ = 12°

Quadruplo di γ → 12° · 4 = 48°

Il quintuplo dell’angolo Si moltiplica per 5

δ = 9°

Quintuplo di δ → 9° · 5 = 45°

Sottomultipli di un angolo

Cosa chiede il problema? Qual è l’operazione da compiere sull’angolo iniziale?
La metà dell’angolo Si divide per 2 o si moltiplica per \frac{1}{2}

α = 16°

Metà di α → 16° : 2 = 8°

La terza parte dell’angolo Si divide per 3 o si moltiplica per \frac{1}{3}

β = 24°

Terza parte di β → 24° : 3 = 8°

La quarta parte dell’angolo Si divide per 4 o si moltiplica per \frac{1}{4}

γ = 40°

Quarta parte di γ → 40° : 4 = 10°

La quinta parte dell’angolo Si divide per 5 o si moltiplica per \frac{1}{5}

δ = 55°

Quinta parte di δ → 55° : 5 = 11°


Se la lezione non ti ha chiarito tutti i dubbi, guarda la videolezione direttamente sul canale YouTube matematicaoggi!


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Problemi con somma e differenza di due angoli

Se stai cercando di capire come si svolgono i problemi con somma e differenza di due angoli, sei nel posto giusto!

Supponiamo di conoscere i valori della somma e della differenza di due angoli \alpha e\beta:

S=\alpha+\beta
D=\alpha-\beta

con \beta<\alpha

Come si trova l’ampiezza dei due angoli?

Ecco le due formule risolutive:

\alpha=\frac{S+D}{2}

\beta=\frac{S-D}{2}

Nell’immagine che segue sono rappresentati due angoli esempio.

Vediamo ora un paio di esempi di problemi con somma e differenza di due angoli (per una dimostrazione matematica dello svolgimento di questo problema, vai alla lezione sui problemi con somma e differenza di due numeri).

Esempio 1

Determinare l’ampiezza di due angoli, sapendo che la loro somma è di 70° mentre la loro differenza è di 20°.

Innanzitutto indichiamo i dati di questo problema:

S=\alpha+\beta=70°

D=\alpha-\beta=20°

Consideriamo che \beta<\alpha.

Come scritto in precedenza, lo svolgimento di questo problema è molto semplice: è sufficiente, infatti, applicare le due formule risolutive, che permettono di ottenere l’ampiezza dei due angoli incogniti.

Procediamo, quindi, applicando le formule:

\alpha=\frac{S+D}{2}=\frac{70+20}{2}=\frac{90}{2}=45°

\beta=\frac{S-D}{2}=\frac{70-20}{2}=\frac{50}{2}=25°

La somma dei due valori ottenuti è effettivamente 70° (45° + 25° = 70°); lo stesso vale per la differenza, cioè 20° (45° – 25° = 20°), quindi i valori ottenuti sono corretti.

Esempio 2

Due angoli sono tali che la loro somma è di 95° e la loro differenza è di 29°. Qual è l’ampiezza dei due angoli?

Come per il primo esempio, indichiamo i dati di questo problema:

S=\alpha+\beta=95°

D=\alpha-\beta=29°

Consideriamo che \beta<\alpha.

Anche in questo caso applichiamo le due formule risolutive:

\alpha=\frac{S+D}{2}=\frac{95+29}{2}=\frac{124}{2}=62°

\beta=\frac{S-D}{2}=\frac{95-29}{2}=\frac{66}{2}=33°

Verifichiamo i valori ottenuti: la somma delle ampiezze è effettivamente 95° (62° + 33° = 95°); lo stesso vale per la differenza, cioè 29° (62° – 33° = 29°), quindi i valori ottenuti sono corretti.


Se gli esempi ti hanno aiutato a capire bene l’argomento, vai alla pagina degli esercizi sui problemi con somma e differenza di due angoli.


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Scomposizione con quadrato di un trinomio

Scomposizione con quadrato di un trinomio: la lezione che ti chiarirà ogni dubbio!

La scomposizione di un polinomio, in alcuni casi, è possibile facendo riferimento ai prodotti notevoli.

In questo caso non è difficile individuare il risultato del quadrato di un trinomio, poiché è composto da 6 termini (6 monomi).

Il caso generale è il seguente:

a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac=(a+b+c)^2

In sostanza, per identificare lo sviluppo del quadrato di un trinomio sono necessarie le seguenti condizioni:

  • Sei monomi
  • Tre di questi monomi devono essere quadrati
  • I tre monomi restanti devono corrispondere ai doppi prodotti dei monomi di base

Vediamo ora alcuni esempi della scomposizione con quadrato di un trinomio.

Esempio 1

x^4+4y^2+9z^2+4x^2y+12yz+6x^2z

Il polinomio di questo esempio è composto da 6 monomi, quindi potrebbe essere lo sviluppo del quadrato di un trinomio.

Ora è necessario individuare i tre monomi quadrati: il consiglio è di iniziare ad analizzare il polinomio dal primo monomio a sinistra, procedendo verso destra, poiché è possibile che i monomi siano ordinati rispetto alla regola del quadrato del trinomio.

Procedendo in questo modo abbiamo:

  • x^4 è il quadrato di x^2
  • 4y^2 è il quadrato di 2y
  • 9z^2 è il quadrato di 3z

La seconda condizione è soddisfatta. Ora non resta che verificare che i tre monomi restanti sono i doppi prodotti dei monomi di base (x^2 , 2y , 3z).

Verifichiamo i doppi prodotti:

  • 4x^2y è il risultato del doppio prodotto dei monomi x^2 e 2y
  • 12yz è il risultato del doppio prodotto dei monomi 2y e 3z
  • 6x^2z è il risultato del doppio prodotto dei monomi x^2 e 3z

Osservando, infine, il polinomio iniziale possiamo notare che tutti i monomi hanno segno positivo; di conseguenza, la scomposizione corrisponde alla seguente forma:

x^4+4y^2+9z^2+4x^2y+12yz+6x^2z=(x^2+2y+3z)^2

Esempio 2

4a^2+9b^2+16c^4-12ab-24bc^2+16ac^2

Il polinomio di questo esempio è composto da 6 monomi, quindi potrebbe essere lo sviluppo del quadrato di un trinomio.

Ora è necessario individuare i tre monomi quadrati: come per il primo esempio, iniziamo ad analizzare il polinomio dal primo monomio a sinistra, procedendo verso destra, poiché è possibile che i monomi siano ordinati rispetto alla regola del quadrato del trinomio.

Procedendo in questo modo abbiamo:

  • 4a^2 è il quadrato di 2a
  • 9b^2 è il quadrato di 3b
  • 16c^4 è il quadrato di 4c^2

La seconda condizione è soddisfatta. Ora non resta che verificare che i tre monomi restanti sono i doppi prodotti dei monomi di base (2a , 3b , 4c^2).

Verifichiamo i doppi prodotti:

  • 12ab è il risultato del doppio prodotto dei monomi 2a e 3b
  • 24bc^2 è il risultato del doppio prodotto dei monomi 3b e 4c^2
  • 16ac^2 è il risultato del doppio prodotto dei monomi 2a e 4c^2

Se osserviamo il polinomio iniziale notiamo che due termini (doppi prodotti) hanno segno negativo: a differenza del polinomio del primo esempio non è possibile assegnare segno più a tutti i monomi, quindi è necessario un ragionamento sui segni, partendo dalla seguente situazione:

4a^2+9b^2+16c^4-12ab-24bc^2+16ac^2=(...2a...3b...4c^2)^2

Secondo la regola dei segni, il risultato negativo di una moltiplicazione di due termini è dovuto al fatto che uno dei due termini è negativo. Si può iniziare assegnando il segno positivo al primo monomio:

4a^2+9b^2+16c^4-12ab-24bc^2+16ac^2=(+2a...3b...4c^2)^2

Per assegnare il segno del secondo monomio osserviamo il segno del doppio prodotto del primo per il secondo: c’è meno, quindi il secondo monomio dentro parentesi avrà segno meno.

4a^2+9b^2+16c^4-12ab-24bc^2+16ac^2=(+2a-3b...4c^2)^2

Per il segno del terzo monomio osserviamo il doppio prodotto fra il primo ed il terzo: essendo positivi, il terzo monomio dentro parentesi avrà segno più.

4a^2+9b^2+16c^4-12ab-24bc^2+16ac^2=(+2a-3b+4c^2)^2

Ultimo controllo: è necessario verificare che il segno del doppio prodotto fra il secondo ed il terzo sia corretto. In effetti lo è, perché il segno finale è meno: di conseguenza quello indicato nell’ultimo passaggio è il risultato finale.


Questa non è l’unica scomposizione: qui puoi trovare tutte le scomposizioni un polinomio in fattori!


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Differenza di due segmenti e loro rapporto

Differenza di due segmenti e loro rapporto: ecco la lezione che ti aiuterà a svolgere questo tipo di problema geometrico!

La differenza di due segmenti è 8 cm e uno è i \frac{4}{3} dell’altro. Qual è la misura dei due segmenti?

Questo è un classico problema nel quale è presente la differenza delle misure dei due segmenti e il loro rapporto, spesso rappresentato come una frazione.

Traducendo in simboli il problema sopra citato, potremmo scrivere:

  • n1 – n2 = 8 – cioè la differenza delle misure dei due segmenti
  • n1 = \frac{4}{3} n– cioè il rapporto tra i due segmenti

n1 e n2 rappresentano i due segmenti incogniti.

Per determinare la misura dei due segmenti sono possibili due strade:

  1. Utilizzando la proprietà dello scomporre delle proporzioni
  2. Facendosi aiutare dalla geometria, rappresentando il problema proprio con due segmenti

Proprietà dello scomporre delle proporzioni

Sapendo che il rapporto tra n1 e n2 è \frac{4}{3}, possiamo impostare la proporzione nel modo seguente:

n1 : n2 = 4 : 3

In più, sappiamo che n1 – n2 = 8. Possiamo, quindi, applicare la proprietà dello scomporre scrivendo:

(n1 – n2) : n1 = (4 – 3) : 4

Ora è sufficiente sostituire 8 dentro la parentesi (n1 – n2), ottenendo:

8 : n1 = 1 : 4

Per concludere si può ora facilmente ottenere n1, applicando la proprietà fondamentale delle proporzioni, cioè:

n1 = (8 · 4) : 1 = 32

Di conseguenza, n2 si può ottenere per differenza, cioè:

n2 = 32 – 8 = 24

Geometria: segmenti

Sapendo che il rapporto tra n1 e n2 è \frac{4}{3}, possiamo disegnare due segmenti, uno di lunghezza 4 unità e l’altro di lunghezza 3 unità:

Segmento 4 unità

Segmento 3 unità

Sapendo che n1 – n2 = 8, si può immaginare che la differenza sia rappresentata da un segmento pari a 1 unità, che corrisponde a 8.

Considerando che 1 unità vale 8 e che i segmenti iniziali sono lunghi, rispettivamente, 4 unità e 3 unità, per stabilire la misura dei due segmenti incogniti è sufficiente moltiplicare 8 per le unità di ogni segmento, cioè:

8 · 4 = 32 = n1

8 · 3 = 24 = n2


Se la lezione non ti ha chiarito tutti i dubbi, guarda la videolezione direttamente sul canale YouTube matematicaoggi!


Vai alla pagina degli esercizi su differenza di due segmenti e loro rapporto!


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Problemi sul quadrato

Devi svolgere alcuni problemi sul quadrato? In questo articolo verranno presentati una serie di problemi standard.

Se non trovi un problema simile a quello che devi risolvere scrivilo nei commenti: provvederemo ad inserire la soluzione il prima possibile!


Problema 1: Un quadrato ha il lato che misura 10 cm. Calcola perimetro e area.
Dati: Richieste:
Lato (l) = 10 cm Perimetro?

Area?

Questo problema si svolge in modo molto semplice, applicando le formule dirette di perimetro e area del quadrato:

Perimetro=4\cdot l

Area=l^2

Applicando le formule si ottiene:

Perimetro=4\cdot l=4\cdot10=40cm

Area=l^2=10^2=100cm^2


Problema 2: determina la misura del lato di un quadrato che ha il perimetro lungo 80 cm.
Dati: Richieste:
Perimetro = 80 cm ?

Questo problema si svolge applicando la formula inversa del perimetro del quadrato:

Perimetro=4\cdot l\to l=\frac{Perimetro}{4}

Applicando la formula si ottiene:

l=\frac{Perimetro}{4}=\frac{80}{4}=20cm


Problema 3: quanto misura il lato di un quadrato che ha l’area di 400 cm2?
Dati: Richieste:
Area = 400 cm2 l ?

Questo problema si svolge applicando la formula inversa dell’area del quadrato:

Area=l^2\to l=\sqrt{Area}

Applicando la formula si ottiene:

l=\sqrt{Area}=\sqrt{400}=20cm


Problema 4: calcola l’area di un quadrato che ha il perimetro lungo 116 cm.
Dati: Richieste:
Perimetro = 116 cm Area?

Per determinare l’area del quadrato è necessaria la misura del suo lato: avendo la misura del perimetro, questo problema si svolge applicando la formula inversa del perimetro del quadrato, ottenendo:

l=\frac{Perimetro}{4}=\frac{116}{4}=29cm

Ora è sufficiente applicare la formula diretta dell’area del quadrato, ottenendo:

Area=l^2=29^2=841cm^2


Problema 5: calcola il perimetro di un quadrato che ha l’area di 729 cm2.
Dati: Richieste:
Area = 729 cm2 Perimetro?

Per determinare il perimetro del quadrato è necessaria la misura del suo lato: avendo la misura dell’area, questo problema si svolge applicando la formula inversa dell’area del quadrato, ottenendo:

l=\sqrt{Area}=\sqrt{729}=27cm

Ora è sufficiente applicare la formula diretta del perimetro del quadrato, ottenendo:

Perimetro=4\cdot l=4\cdot27=108cm


Questi sono solo alcuni dei problemi sul quadrato: se hai un problema che non sai risolvere, scrivi nei commenti e provvederemo ad aiutarti!


Vai agli esercizi sul quadrato!


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Problemi sul rettangolo

Devi svolgere alcuni problemi sul rettangolo? In questo articolo verranno presentati una serie di problemi standard.

Se non trovi un problema simile a quello che devi risolvere scrivilo nei commenti: provvederemo ad inserire la soluzione il prima possibile!


Problema 1: Un rettangolo ha la base e l’altezza che misurano, rispettivamente, 10 cm e 5 cm. Calcola perimetro e area del rettangolo.
Dati: Richieste:
Base (b) = 10 cm

Altezza (h) = 5 cm

Perimetro?

Area?

Questo problema si svolge in modo molto semplice, applicando le formule dirette di perimetro e area del rettangolo:

Perimetro=2\cdot(b+h)

Area=b\cdot h

Applicando le formule si ottiene:

Perimetro=2\cdot(b+h)=2\cdot(10+5)=2\cdot15=30cm

Area=b\cdot h=10\cdot5=50cm^2


Problema 2: Un rettangolo ha l’altezza che misura 8 cm. Calcola perimetro e area del rettangolo, sapendo che la base è il doppio dell’altezza.
Dati: Richieste:
b = 2 · h

h = 8 cm

Perimetro?

Area?

In questo problema c’è un legame tra base e altezza: infatti si dice che la base è il doppio dell’altezza. Quindi, prima di applicare le formule dirette di perimetro e area del rettangolo, è necessario calcolare la misura della base:

b=2\cdot h=2\cdot8=16cm

Ora è sufficiente applicare le formule dirette di perimetro e area del rettangolo:

Perimetro=2\cdot(b+h)=2\cdot(16+8)=2\cdot24=48cm

Area=b\cdot h=16\cdot8=128cm^2

Nota: in altri problemi simili a questo viene indicata la misura di una delle dimensioni, mentre l’altra è la sua metà (ad es. la base misura 20 cm, mentre l’altezza è la sua metà); in questo caso è sufficiente dividere per 2 la misura indicata, per trovare quella della dimensione mancante. Fatto questo, si applicano le formule dirette per calcolare perimetro e area.


Problema 3: La base di un rettangolo misura 14 cm e l’altezza è i suoi 3/7. Calcola perimetro e area del rettangolo.
Dati: Richieste:
b = 14 cm

h = \frac{3}{7} b

Perimetro?

Area?

I problemi in cui compaiono le frazioni sembrano complicati: in realtà non devono spaventare! In questo problema esiste un rapporto tra base e altezza, cioè l’altezza ha un legame matematico con la base, rappresentato da una frazione: l’altezza è i tre settimi della base.

Questo si traduce, matematicamente, con il calcolo seguente:

h=\frac{3}{7}b=(b\cdot3):7=(14\cdot3):7=42:7=6cm

La parte “complicata” è risolta: ora è sufficiente applicare le formule dirette di perimetro e area del rettangolo:

Perimetro=2\cdot(b+h)=2\cdot(14+6)=2\cdot20=40cm

Area=b\cdot h=14\cdot6=84cm^2


Problema 4: La somma delle dimensioni di un rettangolo misura 44 cm e la base è 7/4 dell’altezza. Calcola il perimetro e l’area del rettangolo.
Dati: Richieste:
b + h = 44 cm

b =\frac{7}{4} h

Perimetro?

Area?

Anche in questo problema c’è un rapporto matematico tra base e altezza: a differenza del problema precedente, il valore presente è la somma delle misure di base e altezza, cioè – al livello di frazione – la base rappresenta 7 parti del totale e l’altezza 4 parti del totale.

La somma, 44 cm, è rappresentata da 7 parti + 4 parti, quindi 11 parti: di conseguenza, per determinare le misure di base e altezza di procede in questo modo:

b=44:(7+4)\cdot7=44:11\cdot7=28cm

h=44:(7+4)\cdot4=44:11\cdot4=16cm

Ora che le misure di base e altezza sono determinate, possiamo applicare le formule dirette di perimetro e area del rettangolo:

Perimetro=2\cdot(b+h)=2\cdot(28+16)=2\cdot44=88cm

Area=b\cdot h=28\cdot16=448cm^2


Problema 5: Calcola il perimetro e l’area di un rettangolo, sapendo che l’altezza è 3/5 della base e che la loro differenza misura 10 cm.
Dati: Richieste:
b – h = 10 cm

h =\frac{3}{5} b

Perimetro?

Area?

Come per il problema precedente, c’è un rapporto matematico tra base e altezza: il valore presente (10 cm) rappresenta la differenza delle misure di base e altezza, mentre – al livello di frazione – la base rappresenta 5 parti e l’altezza 3 parti.

La differenza, 10 cm, è rappresentata da 5 parti – 3 parti, quindi 2 parti: di conseguenza, per determinare le misure di base e altezza si procede in questo modo:

b=10:(5-3)\cdot5=10:2\cdot5=25cm

h=10:(5-3)\cdot3=10:2\cdot3=15cm

Ora che le misure di base e altezza sono determinate, possiamo applicare le formule dirette di perimetro e area del rettangolo:

Perimetro=2\cdot(b+h)=2\cdot(25+15)=2\cdot40=80cm

Area=b\cdot h=25\cdot15=375cm^2


Questi sono solo alcuni dei problemi sul rettangolo: per es. non sono presenti i problemi in cui viene chiesto di applicare le formule inverse. Se hai un problema che non sai risolvere, scrivi nei commenti e provvederemo ad aiutarti!


Vai agli esercizi sul rettangolo!


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Espressioni con le radici

Vuoi sapere come si svolgono le espressioni con le radici? Sei nel posto giusto!

Innanzitutto è bene precisare che le radici possono avere diversi indici: solitamente la maggior parte degli esercizi riportano le radici quadrate, quindi con indice 2.

Per eseguire le espressioni con le radici è importante ricordare le regole di svolgimento delle espressioni in generale.

Inoltre, ricordiamo che la radice è l’operazione opposta della potenza, ad esempio:

4^2=16 \rightarrow\sqrt{16}=4

3^3=27 \rightarrow\sqrt[3]{27}=3

e così via.

Considerando queste precisazioni, vediamo con qualche esempio lo svolgimento delle espressioni con le radici.

Esempio 1

\sqrt{4+(7\cdot3)}+\left [ 13-(15\cdot3):5 \right ]=

In questa espressione è presenta una radice quadrata (attenzione: la radice è applicata solamente ad una parte dei calcoli).

Nel primo passaggio è necessario svolgere le operazioni all’interno delle parentesi tonde, ottenendo così:

\sqrt{4+21}+\left [ 13-45:5 \right ]=

In seguito si svolge l’addizione all’interno della radice e la divisione all’interno della parentesi quadra:

\sqrt{25}+\left [ 13-9 \right ]=

Ora non resta che svolgere, nello stesso passaggio, sia la radice quadrata che la sottrazione all’interno delle parentesi quadre; in questo modo si ottiene:

5+4=9

Esempio 2

\sqrt{[12+45:(3\cdot5)]\cdot(28-12):4+21}=

L’espressione di questo esempio vede una radice quadrata al di sotto della quale è presente una serie di calcoli che vanno svolti secondo un ordine ben preciso; innanzitutto è necessario svolgere i calcoli all’interno delle due parentesi tonde, ottenendo:

\sqrt{[12+45:15]\cdot16:4+21}=

Ora si precede svolgendo i calcoli all’interno delle parentesi quadre, iniziando con la divisione:

\sqrt{[12+3]\cdot16:4+21}=

Nel prossimo passaggio possiamo togliere le parentesi quadre svolgendo l’addizione:

\sqrt{15\cdot16:4+21}=

Non sono presenti parentesi; di conseguenza si svolgono le operazioni restanti, procedendo con ordine (prima la moltiplicazione, poi la divisione, infine la somma):

\sqrt{240:4+21}=

\sqrt{60+21}=

\sqrt{81}=9


Non è ancora presente una videolezione sulle espressioni con le radici. Se lo desideri, puoi vedere questo video sulle espressioni con le frazioni e le radici quadrate.


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Radice con la scomposizione in fattori primi

Cosa significa calcolare la radice con la scomposizione in fattori primi?

Significa utilizzare la scomposizione in fattori primi per l’estrazione della radice di un numero. Ricordiamo che la radice è l’operazione inversa della potenza; infatti:

4^3=64 \rightarrow\sqrt[3]{64}=4

La scomposizione in fattori primi è un’operazione che permette di scrivere un numero sotto forma di prodotto di fattori che sono numeri primi. Per esempio:

45=3\cdot3\cdot5=3^2\cdot5

Per calcolare la radice di un numero attraverso la scomposizione in fattori primi è necessario:

  1. Scomporre il numero in fattori primi;
  2. Osservare gli esponenti dei fattori ottenuti dalla scomposizione: se tutti gli esponenti dei fattori sono uguali o multipli dell’indice di radice, allora è possibile svolgere la radice.

Vediamo con alcuni esempi come si svolge questa operazione.

Esempio 1

\sqrt{36}=

Il primo passaggio prevede di scomporre in fattori primi il numero 36:

36 | 2
18 | 2
9    | 3
3    | 3
1

Dalla scomposizione in fattori primi si ottiene:

36=2^2\cdot3^2

In questo caso gli esponenti dei fattori sono entrambi uguali all’indice di radice (si tratta di radice quadrata, quindi con indice uguale a 2).

Per calcolare la radice quadrata è sufficiente dividere per 2 gli esponenti dei fattori, togliendo così la radice:

\sqrt{36}=\sqrt{2^2\cdot3^2}=2^1\cdot3^1=2\cdot3=6

Esempio 2

\sqrt[3]{8000}=

Come detto nel primo esempio, il primo passaggio prevede di scomporre il numero in fattori primi:

8000 | 2
4000 | 2
2000 | 2
1000 | 2
500    | 2
250    | 2
125    | 5
25       | 5
5          | 5
1

Il risultato della scomposizione è il seguente:

8000=2^6\cdot5^3

Gli esponenti dei fattori sono, rispettivamente, multiplo (6 nel 26) e uguale (3 nel 53) dell’indice di radice.

Anche in questo esempio è possibile calcolare la radice, dividendo gli esponenti per l’indice di radice:

\sqrt[3]{8000}=\sqrt[3]{2^6\cdot5^3}=2^2\cdot5^1=4\cdot5=20

Esempio 3

\sqrt{54}=

Procediamo con la scomposizione in fattori primi del numero 54:

54 | 2
27 | 3
9    | 3
3    | 3
1

La scomposizione in fattori primi dà il seguente risultato:

54=2\cdot3^3

Considerando che si tratta di una radice quadrata, gli esponenti dei fattori non sono tali da permettere il calcolo della radice (il fattore 2 ha esponente 1, mentre il fattore 3 ha esponente 3).


Se hai ancora qualche dubbio, guarda la videolezione!


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Espressioni con le frazioni e le proprietà delle potenze

Come si svolgono le espressioni con le frazioni e le proprietà delle potenze? Niente di più semplice!

Per risolvere correttamente questo tipo di espressioni è necessario ricordare alcune regole importanti:

Per capire bene come svolgere queste espressioni, ci facciamo aiutare da un esempio.

\left ( \frac{1}{2}+\frac{1}{3} \right )^4:\left (\frac{5}{6} \right )^3+\left [ \left (\frac{1}{2} \right )^3\right ]^2:\left (1-\frac{1}{2} \right )^4=

In questa espressione sono presenti parentesi tonde e quadre: si inizia svolgendo le operazioni all’interno delle tonde (addizione all’interno della prima parentesi e sottrazione all’interno dell’ultima parentesi):

\left ( \frac{3+2}{6} \right )^4:\left (\frac{5}{6} \right )^3+\left [ \left (\frac{1}{2} \right )^3\right ]^2:\left (\frac{2-1}{2} \right )^4=

Ora eseguiamo i calcoli, ottenendo quanto segue:

\left ( \frac{5}{6} \right )^4:\left (\frac{5}{6} \right )^3+\left [ \left (\frac{1}{2} \right )^3\right ]^2:\left (\frac{1}{2} \right )^4=

Osservando l’espressione possiamo notare una proprietà delle potenze che possiamo applicare facilmente: si tratta della potenza di potenza, applicabile nella parentesi quadra. Infatti è sufficiente moltiplicare tra loro gli esponenti presenti (il 3 e il 2), ottenendo così:

\left ( \frac{5}{6} \right )^4:\left (\frac{5}{6} \right )^3+ \left (\frac{1}{2} \right )^6:\left (\frac{1}{2} \right )^4=

Ora è necessario svolgere le due divisioni presenti: in entrambi i casi si tratta di una divisione tra due potenze che hanno la stessa base, quindi è sufficiente sottrarre tra loro gli esponenti, mantenendo la stessa base. In questo modo avremo:

\left ( \frac{5}{6} \right )^1+ \left (\frac{1}{2} \right )^2=

Applichiamo gli esponenti presenti alle frazioni all’interno delle parentesi:

\frac{5}{6}+\frac{1}{4}=

Svolgiamo l’ultima operazione e troviamo il risultato di questa espressione:

\frac{10+3}{12}=\frac{13}{12}

Una videolezione con un altro esempio può essere di aiuto se hai ancora qualche dubbio!

Vai alla pagina degli esercizi sulle espressioni con le frazioni e le proprietà delle potenze!

Ecco altre videolezioni di matematica che possono esserti utili:


Sei un insegnante o, semplicemente, ti incuriosisce il mondo della didattica in generale? Ecco un progetto molto interessante, parallelo a matematicaoggi, dedicato alla didattica: didatticaoggi! Riflessioni, esperienze didattiche e molto altro!

Quoziente di radicali con lo stesso indice

Il quoziente di radicali con lo stesso indice è una delle diverse operazioni che si possono eseguire con i radicali.

La regola generale per poter svolgere il quoziente di radicali con lo stesso indice è la seguente:

\sqrt[a]{b} \ :\ \sqrt[a]{c}\ = \sqrt[a]{b\ :\ c}

Innanzitutto si parte dal presupposto che i radicali devono avere lo stesso indice, indicato sopra con la lettera a.

Una volta verificato che i radicali hanno lo stesso indice, si procede svolgendo il quoziente, dividendo tra loro i radicandi e mantenendo la stessa radice (e, quindi, lo stesso indice).

Dopo aver svolto il quoziente è bene verificare se è possibile calcolare la radice ottenuta.

Vediamo ora qualche esempio applicativo.

Esempio 1

\sqrt[5]{40}\ : \ \sqrt[5]{4}\ =

Come si può facilmente notare, i radicali di questo esempio hanno lo stesso indice (5).

Di conseguenza si può applicare la regola sopra indicata dividendo tra loro i radicandi, ottenendo così:

\sqrt[5]{40} \ : \ \sqrt[5]{4}\ = \sqrt[5]{40 \ :\ 4}= \sqrt[5]{10}

La radice ottenuta non è semplificabile, quindi quello ottenuto è il risultato finale.

Esempio 2

\sqrt{80} \ : \ \sqrt{20}=

Così come per il primo esempio, anche in questo caso i radicali hanno lo stesso indice, cioè 2 (si tratta di radici quadrate).

Si procede, quindi, con la regola prevista; si ottiene così:

\sqrt{80} \ : \ \sqrt{20}=\sqrt{80 \ : \ 20} =\sqrt{4}=2

Esempio 3

\sqrt[3]{100} \ : \ \sqrt[3]{4} \ : \ \sqrt[3]{5}=

Anche in questo terzo esempio i radicali hanno lo stesso indice: si tratta di radici cubiche (indice pari a 3).

La regola prevista si applica anche se i radicali sono più di due; avremo quindi:

\sqrt[3]{100} \ : \ \sqrt[3]{4} \ : \ \sqrt[3]{5}=\sqrt[3]{100 \ : \ 4 \ : \ 5} =\sqrt[3]{5}

La radice ottenuta non è semplificabile, quindi quello ottenuto è il risultato finale.

Guarda la videolezione con altri esempi chiari ed esaustivi!

Guarda le altre lezioni sui radicali!

Prodotto di radicali con lo stesso indice

Il prodotto di radicali con lo stesso indice è una delle diverse operazioni che si possono eseguire con i radicali.

La regola generale per poter svolgere il prodotto di radicali con lo stesso indice è la seguente:

\sqrt[a]{b}\cdot\sqrt[a]{c}\ = \sqrt[a]{b\cdot\ c}

Innanzitutto si parte dal presupposto che i radicali devono avere lo stesso indice, indicato sopra con la lettera a.

Una volta verificato che i radicali hanno lo stesso indice, si procede svolgendo il prodotto, moltiplicando tra loro i radicandi e mantenendo la stessa radice (e, quindi, lo stesso indice).

Dopo aver svolto il prodotto è bene verificare se è possibile calcolare la radice ottenuta.

Vediamo ora qualche esempio applicativo.

Esempio 1

\sqrt[3]{4}\cdot\sqrt[3]{5}\ =

Come si può facilmente notare, i radicali di questo esempio hanno lo stesso indice (3).

Di conseguenza si può applicare la regola sopra indicata moltiplicando tra loro i radicandi, ottenendo così:

\sqrt[3]{4}\cdot\sqrt[3]{5}\ = \sqrt[3]{4\cdot5}= \sqrt[3]{20}

La radice ottenuta non è semplificabile, quindi quello ottenuto è il risultato finale.

Esempio 2

\sqrt[4]{27}\cdot\sqrt[4]{3}\ =

Così come per il primo esempio, anche in questo caso i radicali hanno lo stesso indice, cioè 4.

Si procede, quindi, con la regola prevista; si ottiene così:

\sqrt[4]{27}\cdot\sqrt[4]{3}\ = \sqrt[4]{27\cdot3}= \sqrt[4]{81}=3

Esempio 3

\sqrt{5}\cdot\sqrt{6}\cdot\sqrt{8}=

Anche in questo terzo esempio i radicali hanno lo stesso indice: si tratta di radici quadrate (indice pari a 2).

La regola prevista si applica anche se i radicali sono più di due; avremo quindi:

\sqrt{5}\cdot\sqrt{6}\cdot\sqrt{8}= \sqrt{5\cdot6\cdot8}= \sqrt{240}

Il radicando ottenuto si può scomporre in fattori primi, in modo tale da portare alcuni fattori fuori radice:

240= 2^{4}\cdot3\cdot5

Essendo radice quadrata e avendo un fattore con esponente pari, è possibile portare il fattore stesso fuori radice, dividendo per 2 l’esponente; otteniamo così:

\sqrt{5}\cdot\sqrt{6}\cdot\sqrt{8}= \sqrt{5\cdot6\cdot8}= \sqrt{240}=\sqrt{2^{4}\cdot3\cdot5}=2^{2}\sqrt{3\cdot5}=4\sqrt{15}

Guarda la videolezione con altri esempi chiari ed esaustivi!

Guarda le altre lezioni sui radicali!

Somma algebrica di radicali

La somma algebrica di radicali è una tipica operazione che è possibile svolgere con i radicali, ma ricordando alcune regole importanti.

Prima di tutto è importante chiarire che la somma algebrica di radicali è possibile solamente quando i radicali sono simili, cioè quando hanno lo stesso indice di radice e lo stesso radicando.

Sono radicali simili:

  • 3\sqrt{2} e 7\sqrt{2}, perché sono entrambe radici quadrate (indice 2) ed hanno radicando uguale (2);
  • -4\sqrt[4]{5} e +8\sqrt[4]{5}, perché sono entrambe radici con indice 4 ed hanno radicando uguale (5).

Chiarito questo importante concetto, vediamo ora come si calcola la somma algebrica di radicali, aiutati da qualche esempio.

Esempio 1

2\sqrt{3}+5\sqrt{3}-4\sqrt{3}=

In questa somma algebrica si può facilmente verificare che i tre radicali presenti sono tutti simili tra loro, poiché hanno tutti lo stesso indice (si tratta di radici quadrate) ed hanno lo stesso radicando (3).

Per calcolare il risultato di questa operazione è sufficiente sommare i valori che stanno al di fuori della radice, riportando poi la radice al termine del calcolo, cioè:

(2+5-4)\sqrt{3}=

Ora non resta che eseguire l’operazione all’interno delle parentesi, ottenendo così il risultato:

3\sqrt{3}

Esempio 2

-5\sqrt{5}+4\sqrt{2}-6\sqrt{2}+8\sqrt{5}-5\sqrt{2}=

In questa caso è bene fare attenzione: i radicali presenti hanno tutti lo stesso indice (radici quadrate), ma hanno radicando diverso.

Di conseguenza, vanno sommati algebricamente tra loro solamente i radicali simili (da una parte quelli con radicando 5, dall’altra quelli con radicando 2), applicando sempre il passaggio visto nell’esempio 1.

Si ottiene così:

(-5+8)\sqrt{5}+(+4-6-5)\sqrt{2}=

Si creano due gruppi, perché vanno tenuti distinti i radicali tra loro simili. Tra una parentesi e l’altra si inserisce il segno +, poiché è il segno neutro.

Svolgendo le operazioni all’interno delle parentesi si ottiene:

+3\sqrt{5}-7\sqrt{2}

Guarda la videolezione con altri esempi chiari ed esaustivi!

Guarda le altre lezioni sui radicali!

Equazioni di secondo grado spurie

Le equazioni di secondo grado spurie sono le equazioni espresse nella forma

a x^{2}+bx=0

Essa deriva dall’equazione in forma completa ax^{2}+bx+c=0 , in cui il temine c è uguale a 0.

Ma come si risolve una equazione di secondo grado spuria?

A questa domanda si risponde facilmente, poiché è sufficiente ricordare che le due soluzioni sono sempre:

x_{1}=0

x_{2}=-\frac{b}{a}

Vediamo alcuni esempi applicativi.

Esempio 1

4x^{2}-12x=0

In questa equazione i valori di riferimento sono i seguenti:

a=+4

b=-12

Non resta che sostituire questi valori all’interno delle formule risolutive:

x_{1}=0

x_{2}=-\frac{-12}{4}=+\frac{12}{4}=+3

Esempio 2

-2x^{2}+9x=0

Come per l’esempio 1, identifichiamo i valori di riferimento che ci aiuteranno a risolvere l’equazione:

a=-2

b=+9

Ora sostituiamo i valori all’interno delle formule, ottenendo:

x_{1}=0

x_{2}=-\frac{+9}{-2}=+\frac{9}{2}

Esempio 3

-5x^{2}-10x=0

In questo ultimo esempio i valori di riferimento per le formule risolutive sono i seguenti:

a=-5

b=-10

Le soluzioni dell’equazione le otteniamo sostituendo i valori:

x_{1}=0

x_{2}=-\frac{-10}{-5}=-\frac{10}{5}=-2


Qual è l’origine delle formule risolutive per svolgere le equazioni di secondo grado spurie? Lo vediamo!

Consideriamo la formula risolutiva delle equazioni di secondo grado complete:

x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{ b^{2}-4ac}}{2a}

Come detto, il termine c è uguale a 0: di conseguenza, se sostituiamo 0 al posto della lettera c, la formula si riduce come segue:

x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{ b^{2}}}{2a}

Portiamo fuori il termine al quadrato e usiamo \sqrt{b^2}=b (vero solo se b>0), ottenendo così:

x_{1,2}=\frac{-b\pm\ b}{2a}

Ora è possibile ottenere le formule iniziali:

x_{1}=\frac{-b+b}{2a}=\frac{0}{2a}=0

x_{2}=\frac{-b-b}{2a}=\frac{-2b}{2a}=-\frac{b}{a}


Vai alla pagina degli esercizi sulle equazioni di secondo grado spurie!

Equazioni di secondo grado pure

Le equazioni di secondo grado pure sono le equazioni espresse nella forma

a x^{2}+c=0

Essa deriva dall’equazione in forma completa ax^{2}+bx+c=0 , in cui il temine b è uguale a 0.

Ma come si risolve una equazione di secondo grado pura?

A questa domanda si risponde facilmente, poiché è sufficiente ricordarsi ed applicare le due piccole formule sotto riportate:

x_{1}=-\sqrt{-\frac{c}{a}}

x_{2}=+\sqrt{-\frac{c}{a}}

Vediamo con alcuni esempi come si applicano queste formule.

Esempio 1

 x^{2}-4=0

In questa equazione i valori di riferimento sono i seguenti:

a=+1

c=-4

Non resta che sostituire questi valori all’interno delle formule risolutive:

x_{1}=-\sqrt{-\frac{-4}{1}}=-\sqrt{\frac{4}{1}}=-\sqrt{4}}=-2

x_{2}=+\sqrt{-\frac{-4}{1}}=+\sqrt{\frac{4}{1}}=+\sqrt{4}}=+2

Esempio 2

 16x^{2}-1=0

Come per l’esempio 1, identifichiamo i valori di riferimento che ci aiuteranno a risolvere l’equazione:

a=+16

c=-1

Ora sostituiamo i valori all’interno delle formule, ottenendo:

x_{1}=-\sqrt{-\frac{-1}{16}}=-\sqrt{\frac{1}{16}}=-\frac{1}{4}

x_{2}=+\sqrt{-\frac{-1}{16}}=+\sqrt{\frac{1}{16}}=+\frac{1}{4}

Esempio 3

-25x^{2}+9=0

In questo ultimo esempio i valori di riferimento per le formule risolutive sono i seguenti:

a=-25

c=+9

Le soluzioni dell’equazione le otteniamo sostituendo i valori:

x_{1}=-\sqrt{-\frac{9}{-25}}=-\sqrt{\frac{9}{25}}=-\frac{3}{5}

x_{2}=+\sqrt{-\frac{9}{-25}}=+\sqrt{\frac{9}{25}}=+\frac{3}{5}


Qual è l’origine delle formule risolutive per svolgere le equazioni di secondo grado pure? Lo vediamo!

Scriviamo l’equazione ax^{2}+bx+c=0 in modo che a>0 . Se non è così, cambiamo tutto di
segno. Questo passo è importante perché la radice quadrata prende argomenti positivi e
restituisce numeri positivi.

Consideriamo la formula risolutiva delle equazioni di secondo grado complete:

x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{ b^{2}-4ac}}{2a}

Come detto, il termine b è uguale a 0: di conseguenza, se sostituiamo 0 al posto della lettera b, la formula si riduce come segue:

x_{1,2}=\frac{\pm\sqrt{-4ac}}{2a}

Possiamo portare fuori radice il 4, ottenendo così:

x_{1,2}=\frac{\pm2\sqrt{-ac}}{2a}

Ora possiamo semplificare il 2 sopra e sotto; la formula si riduce alla forma seguente:

x_{1,2}=\frac{\pm\sqrt{-ac}}{a}

Moltiplicando numeratore e denominatore per \sqrt{a} (si può fare solo se a>0) si ottiene:

x_{1,2}=\frac{\pm\sqrt{-ac}\cdot\sqrt{a}}{a\cdot\sqrt{a}}

Eseguendo la moltiplicazione a numeratore si ottiene:

x_{1,2}=\frac{\pm\sqrt{-a^2c}}{a\cdot\sqrt{a}}

Portiamo fuori il termine al quadrato e usiamo \sqrt{a^2}=a (vero solo se a>0), ottenendo così:

x_{1,2}=\frac{\pm{a}\sqrt{-c}}{a\cdot\sqrt{a}}

Ora è possibile semplificare i due termini a che si trovano a numeratore e a denominatore; in questo modo otteniamo:

x_{1,2}=\frac{\pm\sqrt{-c}}{\sqrt{a}}

Le radici presenti a numeratore e a denominatore hanno lo stesso indice, quindi è possibile applicare la stessa radice al rapporto \frac{-c}{a} ; a questo punto si ottiene la formula finale:

x_{1,2}=\pm\sqrt{\frac{-c}{a}}

Essa corrisponde alle due formule:

x_{1}=-\sqrt{-\frac{c}{a}}

x_{2}=+\sqrt{-\frac{c}{a}}


Vai alla pagina degli esercizi sulle equazioni di secondo grado pure!

Equazioni di primo grado fratte

Vuoi sapere cosa sono le equazioni di primo grado fratte e come si risolvono? Sei nel posto giusto!

Le equazioni di primo grado fratte (anche dette equazioni fratte di primo grado) sono le equazioni nelle quali l’incognita (solitamente indicata con x) è presente almeno una volta a denominatore.

Generalmente questo tipo di equazioni si rappresentano, in forma normale, come segue:

\frac{N(x)}{D(x)}=0

in cui N(x) e D(x) sono, rispettivamente, i polinomi al numeratore e al denominatore della frazione.

Per svolgere un’equazione di primo grado fratta è necessario seguire alcuni passaggi, di seguito elencati:

  1. Porre le condizioni di esistenza (cioè indicare i casi in cui il denominatore non può essere 0).
  2. Ridurre in forma normale l’equazione iniziale
  3. Eliminare i denominatori
  4. Confrontare la soluzione con le condizioni di esistenza

Utilizziamo alcuni esempi per capire bene come si svolge un’equazione fratta di primo grado.

Prima di iniziare può essere utile rivedere come si risolve una equazione di primo grado intera!

Esempio 1

\frac{2}{x-1}=1

L’equazione dell’esempio è un’equazione di primo grado fratta, poiché la x compare a denominatore della frazione a sinistra.

Il primo passaggio consiste nel porre le condizioni di esistenza. In questo caso la condizione da porre è la seguente: x-1 \neq 0.

Con un semplice passaggio, portiamo il -1 a destra, cambiandolo di segno, ottenendo così: x \neq +1.

Ora si prosegue riducendo in forma normale la nostra equazione: ciò significa determinare il minimo comune multiplo (m.c.m.) dei denominatori. In questo caso c’è un unico denominatore, quindi avremo:

\frac{2}{x-1}=\frac{x-1}{x-1}

Moltiplicando a sinistra e a destra per x-1 è possibile eliminare i denominatori (si semplifica), ottenendo:

2=x-1

Portiamo la x al primo membro e il 2 al secondo membro (cambiando il segno):

-x=-2-1

Svolgiamo il calcolo al secondo membro, ottendendo:

-x=-3

Ora non resta che moltiplicare a sinistra e a destra per -1, così la x risulterà positiva:

x=3

Se confrontiamo la soluzione ottenuta (x=3) con le condizioni di esistenza ( x \neq +1) si può affermare che la soluzione è accettabile.

Esempio 2

\frac{x+3}{2x-2}=\frac{x+1}{x-1}

Prima di porre le condizioni di esistenza, osserviamo il denominatore della frazione del primo membro (2x-2): è possibile raccogliere il 2, ottenendo cosi:

\frac{x+3}{2(x-1)}=\frac{x+1}{x-1}

Ora possiamo porre le condizioni di esistenza: x-1 \neq 0. Con un semplice passaggio, portiamo il -1 a destra, cambiandolo di segno, ottenendo così: x \neq +1.

Il m.c.m. dei denominatori è 2(x-1), quindi avremo:

\frac{x+3}{2(x-1)}=\frac{2(x+1)}{2(x-1)}

Eliminando i denominatori si ottiene x+3=2(x+1).

Risolviamo la parentesi al secondo membro, ottenendo x+3=2x+2.

Portiamo le x a sinistra e i termini noti a destra, cambiando i segni; otteniamo così: x-2x=2-3

Svolgiamo i calcoli e otteniamo -x=-1.

Moltiplicando per -1 a sinistra e a destra otteniamo la soluzione finale, cioè x=1.

Se confrontiamo la soluzione ottenuta (x=1) con le condizioni di esistenza ( x \neq +1) si può affermare che la soluzione non è accettabile, quindi l’equazione è impossibile.


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Radice di una frazione

La radice di una frazione è un’operazione molto particolare che richiede attenzione.

In generale, la radice è l’opposto della potenza; per esempio:

2^4=16\to\sqrt[4]{16}=2

In questa lezione vedremo come si calcola la radice di una frazione.

In generale, vale la regola seguente:

\sqrt[a]{\frac{N}{D}}= \frac{\sqrt[a]{N}}{\sqrt[a]{D}}

Concretamente, la radice di una frazione con indice a si calcola applicando la radice sia al numeratore che al denominatore.

Presentiamo alcuni esempi per chiarire maggiormente questa regola. Se preferisci, a fondo pagina, puoi trovare un’utilissima videolezione!

Esempio 1

\sqrt[]{\frac{16}{25}}

In questo esempio è presente una radice quadrata (cioè con indice 2). Per svolgere questa operazione è sufficiente applicare la radice quadrata sia al numeratore che al denominatore della frazione, come di seguito presentato:

\sqrt[]{\frac{16}{25}}= \frac{\sqrt[]{16}}{\sqrt[]{25}} =\frac{4}{5}

Per verificare che il risultato ottenuto è corretto, è sufficiente applicare l’operazione inversa alla radice, cioè la potenza. Considerando che l’opposto della radice quadrata è la potenza alla seconda (o, al quadrato), avremo:

\frac{4^2}{5^2}=\frac{16}{25}

Esempio 2

\sqrt[3]{\frac{8}{125}}

In questo esempio è presente una radice con indice 3 (cioè una radice cubica). Per svolgere questa operazione è sufficiente applicare la radice cubica sia al numeratore che al denominatore della frazione, come di seguito presentato:

\sqrt[3]{\frac{8}{125}}= \frac{\sqrt[3]{8}}{\sqrt[3]{125}} =\frac{2}{5}

Per verificare che il risultato ottenuto è corretto, è sufficiente applicare l’operazione inversa alla radice, cioè la potenza. Considerando che l’opposto della radice cubica è la potenza alla terza (o, al cubo), avremo:

\frac{2^3}{5^3}=\frac{8}{125}

Esempio 3

\sqrt[]{1+\sqrt[]{\frac{49}{81}}}

In questo esempio è presente una doppia radice. Per svolgere questa operazione è necessario, innanzitutto, svolgere la radice interna; successivamente – quando tutte le operazioni sono state svolte e si ha un solo termine – si può risolvere la seconda radice.

Si precede, quindi, calcolando la prima radice (applicando la radice quadrata sia al numeratore che al denominatore), ottenendo:

\sqrt[]{1+\frac{7}{9}}}

Ora non resta che svolgere l’addizione, applicando le regole dell’addizione di frazioni, ottenendo così:

\sqrt[]{\frac{16}{9}}}

Applicando la radice quadrata sia al numeratore che al denominatore si ottiene:

\sqrt[]{\frac{16}{9}}= \frac{\sqrt[]{16}}{\sqrt[]{9}} =\frac{4}{3}

Questa che abbiamo appena presentato  non è l’unica operazione che è possibile svolgere con le frazioni.

Se desideri, puoi accedere ad altre lezioni sulle operazioni con le frazioni! In particolare:

E per finire, non perdere una lezione semplice ma efficace sulle espressioni con le frazioni!

Nel canale Youtube matematicaoggi è presente un’interessante playlist con una serie di videolezioni coinvolgenti, che completano le lezioni sopra elencate.

Frazioni con le proprietà delle potenze

In questa lezione vedremo le frazioni con le proprietà delle potenze.

Le proprietà delle potenze sono applicabili in molte operazioni matematiche.

Come si applicano le proprietà delle potenze alle frazioni?

  • Per prima cosa si applicano le regole in base alla specifica proprietà delle potenze
  • In seguito si applicano gli esponenti alla frazione risultante, ottenendo il risultato finale

Ci facciamo aiutare da alcuni esempi, specifici per ogni proprietà.

Prima proprietà delle potenze: prodotto di potenze con la stessa base

Esempio:

\left (  \frac{2}{3}\right )^2\cdot \left (  \frac{2}{3}\right )^3 =

La proprietà prevede di mantenere la stessa base e di sommare gli esponenti, ottenendo:

\left (  \frac{2}{3}\right )^2\cdot \left (  \frac{2}{3}\right )^3 =\left (  \frac{2}{3}\right )^{2+3}=\left (  \frac{2}{3}\right )^5

Ora non resta che svolgere la potenza, applicando l’esponente sia al numeratore che al denominatore:

\left (  \frac{2}{3}\right )^5=\frac{2^5}{3^5}\ =\frac{32}{243}\

Seconda proprietà delle potenze: quoziente di potenze con la stessa base

Esempio:

\left (  \frac{5}{4}\right )^6: \left (  \frac{5}{4}\right )^4 =

La proprietà prevede di mantenere la stessa base e di sottrarre gli esponenti, ottenendo:

\left (  \frac{5}{4}\right )^6: \left (  \frac{5}{4}\right )^4 =\left (  \frac{5}{4}\right )^{6-4}=\left (  \frac{5}{4}\right )^2

Ora non resta che svolgere la potenza, applicando l’esponente sia al numeratore che al denominatore:

\left (  \frac{5}{4}\right )^2=\frac{5^2}{4^2}\ =\frac{25}{16}\

Terza proprietà delle potenze: potenza di potenza

Esempio:

\left [  \left (  \frac{1}{2}\right )^3\right ]^2=

La proprietà prevede di mantenere la stessa base e di moltiplicare tra loro gli esponenti, ottenendo:

\left [  \left (  \frac{1}{2}\right )^3\right ]^2=  \left (  \frac{1}{2}\right )^{3 \cdot2}=  \left (  \frac{1}{2}\right )^6

Ora non resta che svolgere la potenza, applicando l’esponente sia al numeratore che al denominatore:

\left (  \frac{1}{2}\right )^6=\frac{1^6}{2^6}=\frac{1}{64}

Quarta proprietà delle potenze: prodotto di potenze con lo stesso esponente

Esempio:

\left (  \frac{3}{2}\right )^2\cdot \left (  \frac{1}{2}\right )^2 =

La proprietà prevede di mantenere lo stesso esponente e di moltiplicare le basi, ottenendo:

\left (  \frac{3}{2}\right )^2\cdot \left (  \frac{1}{2}\right )^2 =\left (  \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}\right )^2=\left (  \frac{3}{4}\right )^2

Ora non resta che svolgere la potenza, applicando l’esponente sia al numeratore che al denominatore:

\left (  \frac{3}{4}\right )^2=\frac{3^2}{4^2}=\frac{9}{16}

Quinta proprietà delle potenze: quoziente di potenze con lo stesso esponente

Esempio:

\left (  \frac{1}{3}\right )^3: \left (  \frac{1}{2}\right )^3 =

La proprietà prevede di mantenere lo stesso esponente e di dividere le basi (ricordando che la divisione di frazioni diventa una moltiplicazione, invertendo numeratore e denominatore della seconda frazione), ottenendo:

\left (  \frac{1}{3}\right )^3: \left (  \frac{1}{2}\right )^3 =\left (  \frac{1}{3} : \frac{1}{2}\right )^3=\left (  \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{1}\right )^3=\left (  \frac{2}{3}\right )^3

Ora non resta che svolgere la potenza, applicando l’esponente sia al numeratore che al denominatore:

\left (  \frac{2}{3}\right )^3=\frac{2^3}{3^3}=\frac{8}{27}

Approfondimento: Videolezione sulle espressioni con le frazioni e le proprietà delle potenze

Potenza di una frazione

La potenza di una frazione è un’operazione da svolgere con attenzione, poiché si possono commettere alcuni errori importanti.

Per prima cosa è bene distinguere due casi:

  1. Potenza di una frazione con esponente positivo
  2. Potenza di una frazione con esponente negativo

Vediamo nel dettaglio come si affrontano.

1° caso – Potenza con esponente positivo

Questo è il caso più semplice; esso segue la regola seguente:

\left ( \frac{N}{D} \right )^a=\frac{N^a}{D^a}

In sintesi, per svolgere la potenza con esponente positivo è sufficiente applicare l’esponente sia al numeratore che al denominatore della frazione all’interno della parentesi.

Vediamo alcuni esempi nella tabella seguente:

\left ( \frac{3}{2} \right )^2 \frac{3^2}{2^2} \frac{9}{4}
\left ( \frac{1}{4} \right )^3 \frac{1^3}{4^3} \frac{1}{64}
\left ( \frac{9}{5} \right )^1 \frac{9^1}{5^1} \frac{9}{5}
\left ( \frac{10}{7} \right )^0 \frac{10^0}{7^0} \frac{1}{1}= 1

2° caso – Potenza con esponente negativo

Questo è il caso richiede maggiore attenzione (è possibile fare riferimento anche alla lezione sulle potenze con esponente negativo); esso segue la regola seguente:

\left ( \frac{N}{D} \right )^{-a}=\left ( \frac{D}{N} \right )^{a}=\frac{D^a}{N^a}

In sintesi, per svolgere la potenza con esponente negativo è necessario, prima di tutto, invertire la posizione del numeratore con quella del denominatore, togliendo il segno meno dall’esponente; in seguito, si procede come nel primo caso, quindi è sufficiente applicare l’esponente sia al numeratore che al denominatore della frazione all’interno della parentesi.

Vediamo alcuni esempi nella tabella seguente:

\left ( \frac{4}{3} \right )^{-2} \left ( \frac{3}{4} \right )^{2} \frac{3^2}{4^2} \frac{9}{16}
\left ( \frac{3}{2} \right )^{-3} \left ( \frac{2}{3} \right )^{3} \frac{2^3}{3^3} \frac{8}{27}
\left ( \frac{11}{7} \right )^{-1} \left ( \frac{7}{11} \right )^{1} \frac{7^1}{11^1} \frac{7}{11}
\left ( \frac{1}{2} \right )^{-5} \left ( \frac{2}{1} \right )^{5} \frac{2^5}{1^5} \frac{32}{1}=32

Se la spiegazione che ti abbiamo presentato non ti è stata sufficientemente chiara, ti invitiamo a vedere la videolezione!

Questa che abbiamo appena presentato  non è l’unica operazione che è possibile svolgere con le frazioni.

Se desideri, puoi accedere ad altre lezioni sulle operazioni con le frazioni! In particolare:

E per finire, non perdere una lezione semplice ma efficace sulle espressioni con le frazioni!

Nel canale Youtube matematicaoggi è presente un’interessante playlist con una serie di videolezioni coinvolgenti, che completano le lezioni sopra elencate.

Riduzione di radicali allo stesso indice

La riduzione di radicali allo stesso indice è un’operazione che permette di trasformare due o più radicali in altri aventi lo stesso indice di radice.

Per poter svolgere questa trasformazione sono necessari alcuni passaggi, di seguito elencati:

  • (quando possibile) semplificare i radicali iniziali;
  • calcolare il minimo comune multiplo (m.c.m.) degli indici di radice;
  • trasformare i radicali iniziali in altri che hanno lo stesso indice, corrispondente al minimo comune multiplo.

Il terzo passaggio è quello fondamentale, che vedremo nel dettaglio grazie agli esempi sotto riportati.

Esempio 1

Ridurre allo stesso indice i seguenti radicali: \sqrt[3]{2} e \sqrt[4]{3}

Prima di tutto osserviamo i radicali e verifichiamo se è possibile semplificarli: in questo caso la semplificazione non è possibile.

In seguito, calcoliamo il m.c.m. degli indici di radice, cioè minimo comune multiplo di 3 e 4; avremo, quindi:

m.c.m. (3; 4) = 12.

L’ultimo passaggio prevede la trasformazione dei radicali iniziali, dividendo l’indice di radice corrispondente al m.c.m. per quelli iniziali e applicando il risultato della divisione al radicando.

Consideriamo il primo radicale: \sqrt[3]{2}

  • Dividiamo il m.c.m. per l’indice di radice: 12 : 3 = 4
  • Applichiamo al radicando il quoziente sopra ottenuto: 24 = 16
  • Scriviamo il nuovo radicale: \sqrt[3]{2} = \sqrt[12]{16}

Consideriamo ora il secondo radicale: \sqrt[4]{3}

  • Dividiamo il m.c.m. per l’indice di radice: 12 : 4 = 3
  • Applichiamo al radicando il quoziente sopra ottenuto: 33 = 27
  • Scriviamo il nuovo radicale: \sqrt[4]{3} = \sqrt[12]{27}

Esempio 2

Ridurre allo stesso indice i seguenti radicali: \sqrt[8]{2^6} , \sqrt[3]{17} e \sqrt[5]{21}

Prima di tutto osserviamo i radicali e verifichiamo se è possibile semplificarli: in questo caso solamente il primo radicale è semplificabile; avremo, infatti:

\sqrt[8]{2^6}=\sqrt[8:2]{2^{6:2}}=\sqrt[4]{2^3}

Dopo la semplificazione, la riduzione sarà tra \sqrt[4]{2^3} , \sqrt[3]{17} e \sqrt[5]{21} .

In seguito, calcoliamo il m.c.m. degli indici di radice, cioè minimo comune multiplo di 4, 3 e 5; avremo, quindi:

m.c.m. (4; 3; 5) = 60.

L’ultimo passaggio prevede la trasformazione dei radicali iniziali, dividendo l’indice di radice corrispondente al m.c.m. per quelli iniziali e applicando il risultato della divisione al radicando.

Consideriamo il primo radicale: \sqrt[4]{2^3}

  • Dividiamo il m.c.m. per l’indice di radice: 60 : 4 = 15
  • Applichiamo al radicando il quoziente sopra ottenuto: 23·15 = 245
  • Scriviamo il nuovo radicale: \sqrt[4]{2^3} = \sqrt[60]{2^{45}}

Consideriamo il secondo radicale: \sqrt[3]{17}

  • Dividiamo il m.c.m. per l’indice di radice: 60 : 3 = 20
  • Applichiamo al radicando il quoziente sopra ottenuto: 1720
  • Scriviamo il nuovo radicale: \sqrt[3]{17} = \sqrt[60]{17^{20}}

Consideriamo il terzo radicale: \sqrt[5]{21}

  • Dividiamo il m.c.m. per l’indice di radice: 60 : 5 = 12
  • Applichiamo al radicando il quoziente sopra ottenuto: 2112
  • Scriviamo il nuovo radicale: \sqrt[5]{21} = \sqrt[60]{17^{20}} = \sqrt[60]{21^{12}}

La riduzione di radicali allo stesso indice è ancora un problema? Guarda la nostra videolezione!

Distanza tra due punti

Quando si opera sul piano cartesiano è spesso necessario dover calcolare la distanza tra due punti.

Per calcolare la distanza tra due punti sul piano cartesiano è necessario conoscere le coordinate cartesiane di almeno due punti distinti. Unendo questi due punti si forma un segmento.

Si possono distinguere tre casi, a seconda che il segmento che si forma dall’unione dei punti sia orizzontale, verticale, obliquo.

Ipotizziamo che i due punti distinti siano A e B e che le loro coordinate cartesiane siano le seguenti:

A(x_{A}; y_{A})

B(x_{B}; y_{B})

1° caso: segmento orizzontale

Ipotizziamo che i nostri punti A e B abbiano le seguenti coordinate:

A(1; 1)

B(6; 1)

Rappresentandoli nel piano cartesiano si ottiene un segmento orizzontale, come si può osservare nel piano sotto rappresentato.

Segmento orizzontale

In questo caso, per determinare la distanza tra i punti A e B (quindi, la lunghezza del segmento AB), è sufficiente applicare la seguente formula:

AB=\left \| x_B-x_A \right \|

Ciò significa che è sufficiente fare la differenza, in modulo, tra le ascisse dei due punti; quindi avremo:

AB=\left \| 6-1 \right \|=5

2° caso: segmento verticale

Ipotizziamo che i nostri punti A e B abbiano le seguenti coordinate:

A(2; 1)

B(2; 7)

Rappresentandoli nel piano cartesiano si ottiene un segmento verticale, come si può osservare nel piano sotto rappresentato.

Segmento verticale

In questo caso, per determinare la distanza tra i punti A e B (quindi, la lunghezza del segmento AB), è sufficiente applicare la seguente formula:

AB=\left \| y_B-y_A \right \|

Ciò significa che è sufficiente fare la differenza, in modulo, tra le ordinate dei due punti; quindi avremo:

AB=\left \| 7-1 \right \|=6

3° caso: segmento obliquo

Ipotizziamo che i nostri punti A e B abbiano le seguenti coordinate:

A(2; 2)

B(6; 5)

Rappresentandoli nel piano cartesiano si ottiene un segmento obliquo, come si può osservare nel piano sotto rappresentato.

Segmento obliquo

In questo caso, per determinare la distanza tra i punti A e B (quindi, la lunghezza del segmento AB), è sufficiente applicare la seguente formula:

AB=\sqrt{ (x_B-x_A)^{2}+ (y_B-y_A)^{2}}

Questa formula non è altro che l’applicazione del Teorema di Pitagora; quindi avremo:

AB=\sqrt{ (x_B-x_A)^{2}+ (y_B-y_A)^{2}}=\sqrt{ (6-2)^{2}+ (5-2)^{2}}=\sqrt{ 4^{2}+ 3^{2}}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5

Vai alla pagina degli esercizi sulla distanza tra due punti sul piano cartesiano!

Grado rispetto alle lettere di un polinomio

Cos’è il grado rispetto alle lettere di un polinomio?

Per rispondere a questa domanda è necessario sapere cos’è il grado rispetto alla lettera di un monomio.

In sostanza, il grado rispetto alle lettere di un polinomio è l’esponente più alto con cui una certa lettera compare nei termini del polinomio (cioè nei monomi che compongono il polinomio).

In aggiunta, possiamo definire polinomio completo (rispetto ad una lettera) quel polinomio nel quale una lettera è presente dal grado più alto fino al grado 0.

Infine, un polinomio è ordinato quando i monomi sono scritti in modo tale che, rispetto ad una determinata lettera, gli esponenti sono in ordine crescente o decrescente.

Vediamo ora, con qualche esempio, di capire come si determina il grado rispetto alla lettera di un polinomio.

Esempio 1

-3x^3y^2+6x^4-8y^3

Per stabilire il grado rispetto alle lettere di questo polinomio (si tratta, in particolare, di un trinomio), è necessario definire il grado più alto di ogni lettera.

Ci facciamo aiutare da una semplice tabella, nella quale indichiamo i gradi rispetto alle lettere di ogni monomio che compone il polinomio.

Monomio Grado rispetto alla lettera x Grado rispetto alla lettera y
-3x^3y^2 3 2
+6x^4 4 0
-8y^3 0 3

Ora non resta che osservare i valori in tabella: il grado più alto della lettera x è 4, quindi il polinomio è di quarto grado rispetto alle lettera x; il grado più alto della lettera y è 3, quindi il polinomio è di terzo grado rispetto alla lettera y.

Possiamo affermare che il polinomio non è completo, né rispetto alla lettera x (mancano, infatti, il grado 1 e il grado 2), né rispetto alla lettera y (manca, infatti, il grado 1).

Infine possiamo anche affermare che il polinomio non è ordinato, né rispetto alla lettera x, né rispetto alla lettera y, in quanto non c’è un ordine preciso dei gradi.

Esempio 2

9a^3b+\frac{1}{3}a^2b^4-5ab^2-8b

Come per il primo esempio, costruiamo una tabella per definire i gradi rispetto ad ogni lettera di ogni monomio.

Monomio Grado rispetto alla lettera a Grado rispetto alla lettera b
9a^3b 3 1
+\frac{1}{3}a^2b^4 2 4
-5ab^2 1 2
-8b 0 1

Ora non resta che osservare i valori in tabella: il grado più alto della lettera a è 3, quindi il polinomio è di terzo grado rispetto alle lettera a; il grado più alto della lettera b è 4, quindi il polinomio è di quarto grado rispetto alla lettera b.

Possiamo affermare che il polinomio è completo rispetto alla lettera a: sono presenti, infatti, tutti i gradi partendo da quello massimo (in questo caso 3) fino al grado 0; il polinomio non è completo rispetto rispetto alla lettera b (mancano, infatti, il grado 0 e il grado 3).

Infine possiamo affermare che il polinomio è ordinato rispetto alla lettera a (i monomi, infatti, sono scritti in modo tale che gli esponenti della lettera a sono in ordine decrescente); il polinomio non è ordinato rispetto alla lettera b (non c’è un ordine preciso dei gradi).

Grado di un polinomio

Come si determina il grado di un polinomio?

Non è difficile rispondere a questa domanda: l’importante è sapere cos’è e come si determina il grado di un monomio!

In sostanza, il grado di un polinomio corrisponde al grado più alto dei suoi termini, cioè dei monomi che lo compongono.

In aggiunta, definiamo polinomio omogeneo quel polinomio che ha tutti i termini con lo stesso grado.

Vediamo qualche esempio.

Esempio 1

a^4b^2+2a^3-5b^2

Per stabilire il grado di questo trinomio (perché è formato da tre monomi), è necessario definire il grado di ognuno dei termini del polinomio stesso, cioè il grado di ogni monomio che compone il trinomio.

Ci facciamo aiutare da una semplice tabella, nella quale inseriamo i singoli monomi e il loro grado, ricordando che il grado di un monomio corrisponde alla somma degli esponenti della parte letterale.

Monomio Grado del monomio
a^4b^2 6 (4 esponente della lettera a + 2 esponente della lettera b)
+2a^3 3 (che corrisponde all’esponente della lettera a)
-5b^2 2 (che corrisponde all’esponente della lettera b)

Ora che abbiamo definito i gradi dei singoli monomi, è sufficiente osservare qual è il grado più alto: in questo caso è 6, quindi si può affermare che il trinomio a^4b^2+2a^3-5b^2 è di sesto grado.

Inoltre, non è un polinomio omogeneo, poiché i gradi dei suoi termini non sono uguali.

Esempio 2

-\frac{1}{2}x^5+6x^2y^3-\frac{3}{4}xy^3z-6y^5

Come per il primo esempio, costruiamo una tabella per analizzare i singoli termini del polinomio:

Monomio Grado del monomio
-\frac{1}{2}x^5 5 (che corrisponde all’esponente della lettera x)
+6x^2y^3 5 (2 esponente della lettera x + 3 esponente della lettera y)
-\frac{3}{4}xy^3z 5 (1 esponente della lettera x + 3 esponente della lettera y + 1 esponente della lettera z)
-6y^5 5 (che corrisponde all’esponente della lettera y)

Osservando i gradi dei monomi che compongono il polinomio si può notare che sono tutti di grado 5, quindi il polinomio -\frac{1}{2}x^5+6x^2y^3-\frac{3}{4}xy^3z-6y^5 è di quinto grado; inoltre, è un polinomio omogeneo, poiché i gradi dei suoi termini sono tutti uguali.

Espressioni con le frazioni

Devi svolgere delle espressioni con le frazioni? Sei nel posto giusto!

In questa lezione vedremo come risolvere una espressione con le frazioni, facendo attenzione alle regole di svolgimento che sono necessarie; faremo riferimento alle regole suggerire da altre lezioni presenti nel nostro sito, in particolare:

Altri contenuti teorici utili verranno suggeriti in seguito svolgendo gli esercizi proposti negli esempi.

Esempio 1 – Espressione con le frazioni senza parentesi

\frac{4}{3}\cdot\frac{4}{5}-\frac{1}{5}+\frac{2}{5}:\frac{3}{2}=

L’espressione dell’esempio proposto non ha parentesi; secondo le regole di svolgimento delle espressioni in generale, il primo passaggio da svolgere prevede di risolvere moltiplicazioni e divisioni, nell’ordine in cui sono scritte (può essere utile leggere come si svolgono moltiplicazioni di frazioni e divisioni di frazioni):

  • Si svolgerà la moltiplicazione \frac{4}{3}\cdot\frac{4}{5}, moltiplicando tra loro i numeratori e i denominatori delle due frazioni, ottenendo \frac{16}{15};
  • Si svolgerà la divisione \frac{2}{5} : \frac{3}{2}, che verrà trasformata in una moltiplicazione, cioè \frac{2}{5} \cdot \frac{2}{3}.

\frac{16}{15}-\frac{1}{5}+\frac{2}{5}\cdot\frac{2}{3}=

Il passaggio successivo prevede di svolgere la moltiplicazione rimasta, cioè \frac{2}{5} \cdot \frac{2}{3}, ottenendo così:

\frac{16}{15}-\frac{1}{5}+\frac{4}{15}=

A questo punto si procede svolgendo addizioni e sottrazioni (può essere utile leggere come si svolgono addizioni di frazioni e sottrazioni di frazioni): essendo frazioni, si deve determinare il minimo comune multiplo dei denominatori, cioè il minimo comune denominatore tra 5 e 15. Essendo 15 multiplo di 5, il denominatore comune è 15, quindi avremo:

\frac{(15:15) \cdot 16-(15:5) \cdot 1+(15:15) \cdot 4}{15}=

Svolgendo i passaggi al numeratore, si ottiene:

\frac{16-3+4}{15}= \frac{17}{15}

Esempio 2 – Espressione con le frazioni con le parentesi

\left [ \left ( \frac{3}{5}+\frac{1}{2} \right ) \cdot \frac{5}{11} \right ]- \frac{1}{3}=

L’espressione dell’esempio proposto ha parentesi tonde e quadre; secondo le regole di svolgimento delle espressioni in generale, il primo passaggio da svolgere prevede di risolvere le operazioni all’interno delle parentesi tonde e, in seguito, quelle all’interno delle quadre.

All’interno delle parentesi tonde è presente un’addizione \left ( \frac{3}{5}+\frac{1}{2} \right ), che si svolge come nel passaggio esposto nell’esempio 1; quindi si avrà:

\left [ \left ( \frac{6+5}{10} \right ) \cdot \frac{5}{11} \right ]- \frac{1}{3}=

Svolgiamo il calcolo all’interno delle parentesi tonde, ottenendo:

\left [ \frac{11}{10} \cdot \frac{5}{11} \right ]- \frac{1}{3}=

Tolte le parentesi tonde, ora è necessario togliere le parentesi quadre, svolgendo la moltiplicazione presente \left [ \frac{11}{10} \cdot \frac{5}{11} \right ]; è possibile semplificare, 11 con 11 e 10 con 5, ottenendo come risultato:

\frac{1}{2} - \frac{1}{3}=

Ora è sufficiente svolgere l’ultima operazione, una sottrazione, ottenendo:

\frac{3-2}{6}= \frac{1}{6}

Guarda la videolezione sotto riportata per un ulteriore esempio!

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Multipli e sottomultipli di un segmento

Multipli e sottomultipli di un segmento: ecco la lezione che ti chiarirà ogni dubbio!

  1. Un segmento misura 10 cm: quanto misura il suo doppio? E il suo triplo?
  2. Sapendo che la lunghezza di un segmento è 24 cm, qual è la lunghezza del segmento che equivale alla sua metà? Qual è il segmento equivalente alla sua quarta parte?

I problemi sopra proposti sono due esempi che riguardano il multiplo di un segmento (problema nr. 1) e il sottomultiplo di un segmento (problema nr. 2).

Il problema nr. 1 riguarda il multiplo di un segmento perché, partendo da un segmento iniziale, si chiede di trovare il suo doppio (significa due volte il segmento iniziale) e il suo triplo (cioè tre volte il segmento iniziale).

Il problema nr. 2 riguarda, invece, il sottomultiplo di un segmento perché, sapendo la misura del segmento iniziale, viene chiesto di trovare la sua metà (significa, semplicemente, dividere per 2 la misura del segmento iniziale) e la sua quarta parte (cioè trovare quanto misura \frac{1}{4} del segmento iniziale).

Risolviamo i due problemi sopra proposti.

Esempio 1

Un segmento misura 10 cm: quanto misura il suo doppio? E il suo triplo?

Come detto, il doppio del segmento significa “due volte” il segmento iniziale, cioè:

10 cm · 2 = 20 cm (doppio)

Il triplo del segmento iniziale significa “tre volte” il segmento iniziale, quindi:

10 cm · 3 = 30 cm (triplo)

Esempio 2

Sapendo che la lunghezza di un segmento è 24 cm, qual è la lunghezza del segmento che equivale alla sua metà? Qual è il segmento equivalente alla sua quarta parte?

La metà del segmento iniziale si ottiene dividendo la misura per 2 (oppure moltiplicando per \frac{1}{2}), cioè:

24 cm : 2 = 12 cm (metà)

La quarta parte si ottiene dividendo per 4 la misura del segmento iniziale (oppure moltiplicando per \frac{1}{4}), quindi:

24 cm : 4 = 6 cm (quarta parte)

In sintesi, riportiamo una tabella-guida utile per risolvere i problemi con multipli e sottomultipli di un segmento.

Multipli di un segmento

Cosa chiede il problema? Qual è l’operazione da compiere sul segmento iniziale?
Il doppio del segmento Si moltiplica per 2

AB = 3 cm

Doppio di AB → 3 cm · 2 = 6 cm

Il triplo del segmento Si moltiplica per 3

CD = 7 cm

Triplo di CD → 7 cm · 3 = 21 cm

Il quadruplo del segmento Si moltiplica per 4

EF = 10 cm

Quadruplo di EF → 10 cm · 4 = 40 cm

Il quintuplo del segmento Si moltiplica per 5

GH = 6 cm

Quintuplo di GH → 6 cm · 5 = 30 cm

Sottomultipli di un segmento

Cosa chiede il problema? Qual è l’operazione da compiere sul segmento iniziale?
La metà del segmento Si divide per 2 o si moltiplica per \frac{1}{2}

AB = 4 cm

Metà di AB → 4 cm : 2 = 2 cm

La terza parte del segmento Si divide per 3 o si moltiplica per \frac{1}{3}

CD = 15 cm

Terza parte di CD → 15 cm : 3 = 5 cm

La quarta parte del segmento Si divide per 4 o si moltiplica per \frac{1}{4}

EF = 24 cm

Quarta parte di EF → 24 cm : 4 = 6 cm

La quinta parte del segmento Si divide per 5 o si moltiplica per \frac{1}{5}

GH = 60 cm

Quinta parte di GH → 60 cm : 5 = 12 cm

Se quanto hai letto non ti è chiaro, guarda la videolezione direttamente dal canale YouTube matematicaoggi!

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Teorema di Pitagora

In geometria il Teorema di Pitagora è, probabilmente, il teorema più conosciuto.

Il Teorema di Pitagora si applica ai triangoli rettangoli, ma esistono molteplici applicazioni anche nelle altre figure piane e nei solidi.

Innanzitutto vediamo cosa prevede questo teorema: il quadrato costruito sull’ipotenusa è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui due cateti.

Per tradurre quanto sopra presentato, vediamo la figura seguente:

Teorema di Pitagora

Il triangolo rettangolo è disegnato in blu ed è delimitato da:

  • lato AB (cateto maggiore – indicato con cM);
  • lato AC (cateto minore – indicato con cm);
  • lato BC (ipotenusa – indicata con i).

Sui tre lati sono costruiti tre quadrati: il lato di ogni quadrato è pari alla lunghezza dei lati del triangolo.

Il Teorema di Pitagora, in pratica, afferma che l’area del quadrato verde (Q3) è uguale alla somma delle aree dei quadrati arancione e giallo (Q1 e Q2), cioè:

Q3 = Q1 + Q2

Facciamo un esempio, assegnando ai lati del triangolo alcuni valori (non scelti a caso, poiché un triangolo è rettangolo se i lati hanno delle misure tali da essere una terna pitagorica).

AB = 4 cm; AC = 3 cm; BC = 5 cm.

Applicando l’enunciato del Teorema di Pitagora avremo:

52 = 32 + 42 → 25 = 9 + 16 → 25 = 25

Con questo esempio abbiamo anche implicitamente visto cos’è una terna pitagorica, cioè un insieme di tre numeri naturali (n1, n2 e n3) tali che:

n12 + n22 = n32

Nei problemi di geometria con cui si ha a che fare solitamente si utilizzano delle formule che derivano da quella sopra descritta (Q3 = Q1 + Q2); in particolare, le formule sono quelle che permettono di ottenere la misura di un lato del triangolo, conoscendo le misure degli altri due lati.

Le formule del Teorema di Pitagora sono le seguenti:

  • i=\sqrt{c_m{}^{2}+c_M{}^{2}}  → formula che permette di ricavare la misura dell’ipotenusa, conoscendo le misure dei due cateti
  • c_m{}=\sqrt{i^{2}-c_M{}^{2}} → formula che permette di ricavare la misura del cateto minore, conoscendo le misure dell’ipotenusa e del cateto maggiore
  • c_M{}=\sqrt{i^{2}-c_m{}^{2}} → formula che permette di ricavare la misura del cateto maggiore, conoscendo le misure dell’ipotenusa e del cateto minore

Vediamo qualche esempio di applicazione di queste formule in alcuni problemi sui triangoli rettangoli.

Esempio 1

I cateti di un triangolo rettangolo misurano, rispettivamente, 6 cm e 8 cm. Quanto misura l’ipotenusa?

Il problema sopra presentato è uno tra i più classici che riguardano il Teorema di Pitagora: la domanda chiede di trovare la misura dell’ipotenusa di un triangolo rettangolo, di cui si conosce la misura dei due cateti.

Per svolgere questo problema è sufficiente applicare la prima delle tre formule sopra riportate:

i=\sqrt{c_m{}^{2}+c_M{}^{2}}

Sostituendo i valori, si ottiene:

i=\sqrt{c_m{}^{2}+c_M{}^{2}}=\sqrt{6{}^{2}+8{}^{2}}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10cm

Esempio 2

La base di un rettangolo misura 15 cm. Calcolare la misura dell’altezza, sapendo che la diagonale del rettangolo misura 17 cm.

Questo è un classico problema nel quale il Teorema di Pitagora è applicato ad altre figure geometriche (in questo caso ad un rettangolo). In realtà, se si immagina la figura del problema, si può facilmente intuire che tracciando la diagonale del rettangolo si ottengono due triangoli rettangoli uguali: ecco perché è possibile (e necessario) applicare il Teorema di Pitagora.

Teorema di Pitagora_2

La richiesta del problema è la misura dell’altezza del rettangolo: si tratta, quindi, di calcolare la misura di un cateto (quello minore), poiché la diagonale corrisponde all’ipotenusa, mentre la base del rettangolo all’altro cateto (quello maggiore).

Si utilizzerà, quindi, la formula seguente:

c_m{}=\sqrt{i^{2}-c_M{}^{2}}

Sostituendo i valori, si ottiene:

c_m{}=\sqrt{i^{2}-c_M{}^{2}}=\sqrt{17{}^{2}-15{}^{2}}=\sqrt{289-225}=\sqrt{64}=8cm

Esempio 3

In un cono l’apotema misura 37 cm. Sapendo che il raggio di base è di 12 cm, calcolare la misura dell’altezza del cono.

Questo è un problema nel quale il Teorema di Pitagora è applicato ad un solido (in questo caso ad un cono).

Teorema di Pitagora_3

La richiesta del problema è la misura dell’altezza del cono: si tratta, quindi, di calcolare la misura di un cateto (quello maggiore), poiché l’apotema corrisponde all’ipotenusa, mentre il raggio del cono all’altro cateto (quello minore).

Si utilizzerà, quindi, la formula seguente:

c_M{}=\sqrt{i^{2}-c_m{}^{2}}

Sostituendo i valori, si ottiene:

c_M{}=\sqrt{i^{2}-c_m{}^{2}}=\sqrt{37{}^{2}-12{}^{2}}=\sqrt{1369-144}=\sqrt{1225}=35cm

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Espressioni con i prodotti notevoli

Le espressioni con i prodotti notevoli sono particolari operazioni che richiedono attenzione, poiché prevedono l’applicazione di una serie di regole o procedure di calcolo che è bene memorizzare; in particolare:

Per svolgere questo tipo di espressioni vediamo alcuni esempi per capire come poterle risolvere senza particolari difficoltà.

Esempio 1

 (a+2)^{2}+(a+1)(a-1)-4a=

In questa espressione sono presenti solamente parentesi tonde, quindi il primo passaggio prevede di svolgere le operazioni necessarie per poter togliere le parentesi; le operazioni da svolgere sono, nello specifico:

  • un quadrato di un binomio →  (a+2)^{2}
  • una somma per differenza → (a+1)(a-1)

Svolgendo le operazioni sopra indicate (si deve fare riferimento alle regole di svolgimento dei prodotti notevoli):

  •  (a+2)^{2}= a^{2}+4a+4
  • (a+1)(a-1)= a^{2}-1

si ottiene:

 a^{2}+4a+4+a^{2}-1-4a=

Ora è sufficiente individuare eventuali monomi simili tra loro (a^{2} e +a^{2}+4a e -4a+4 e -1) e svolgere la somma algebrica, ottenendo:

 2a^{2}+3

Esempio 2

 (x+1)^{3}-[x(x+y)+(x+y+2)^{2}]=

In questa espressione sono presenti parentesi tonde e quadre, quindi il primo passaggio prevede di svolgere le operazioni necessarie per poter togliere le parentesi tonde (in seguito, le quadre); le operazioni da svolgere sono, nello specifico:

  • un cubo di un binomio →  (x+1)^{3}
  • un prodotto di un monomio per un binomio → x (x+y)
  • un quadrato di un trinomio →  (x+y+2)^{2}

Svolgendo le operazioni sopra indicate:

  •  (x+1)^{3}= x^{3}+3 x^{2}+3x+1
  •  x(x+y)= x^{2}+xy
  •  (x+y+2)^{2}= x^{2}+ y^{2}+4+2xy+4x+4y

si ottiene

 x^{3}+3x^{2}+3x+1-[x^{2}+xy+x^{2}+y^{2}+4+2xy+4x+4y]=

Per togliere le parentesi quadre osserviamo se all’interno di esse sono presenti monomi simili tra loro (x^{2} e +x^{2}+xy e +2xy; ); si procede, quindi, svolgendo la somma algebrica ottenendo:

 x^{3}+3x^{2}+3x+1-[2x^{2}+3xy+y^{2}+4+4x+4y]=

Ora che all’interno delle parentesi quadre sono state svolte le somme algebriche tra i monomi simili tra loro, si procede togliendo le parentesi, facendo attenzione al segno meno davanti ad esse: in questo caso, tutti i monomi interni alle parentesi quadre andranno riscritti con il segno opposto. Si ottiene così la seguente espressione:

 x^{3}+3x^{2}+3x+1-2x^{2}-3xy-y^{2}-4-4x-4y=

Ora è sufficiente individuare eventuali monomi simili tra loro (+3x^{2} e -2x^{2}+3x e -4x+1 e -4) e svolgere la somma algebrica, ottenendo:

 x^{3}+x^{2}-y^{2}-x-4y-3xy-3

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Quoziente di un polinomio per un monomio

Il calcolo letterale è caratterizzato dalla presenza di una serie di operazioni, tra le quali troviamo il quoziente di un polinomio per un monomio. Le altre operazioni da non dimenticare sono la somma algebrica di polinomi, il prodotto di polinomi e i prodotti notevoli.

Per trovare il quoziente di un polinomio per un monomio è utile rivedere la seconda proprietà delle potenze (quoziente di potenze con la stessa base):

 a^{n}:a^{m}=a^{n-m}

Inoltre, per svolgere la divisione tra un polinomio e un monomio, è necessario ricordare la proprietà distributiva della divisione rispetto alla sommail quoziente di un polinomio per un monomio è un polinomio che si ottiene dividendo tutti i termini del polinomio per il monomio.

Vediamo con qualche esempio come si ottiene il quoziente di un polinomio per un monomio.

Esempio 1

 (x^{6}+x^{4}-3x^{3}y):x^{2}=

In questo esempio troviamo un trinomio (il polinomio all’interno delle parentesi tonde) diviso per un monomio.

Per svolgere questo esercizio è necessario eseguire le divisioni tra i termini del polinomio e il monomio, una alla volta, cioè:

  •  x^{6}:x^{2}=x^{4}
  •  x^{4}:x^{2}=x^{2}
  •  (-3x^{3}y):x^{2}=-3xy

Ogni termine del polinomio è stato diviso per il monomio all’esterno delle parentesi: la divisione si svolge dividendo sia i coefficienti (facendo attenzione al quoziente dei segni) che le parti letterali (applicando la seconda proprietà delle potenze, che prevede la sottrazione tra gli esponenti delle lettere uguali).

Solitamente i passaggi sopra descritti si svolgono direttamente; il risultato finale, quindi, è il seguente:

 (x^{6}+x^{4}-3x^{3}y):x^{2}=x^{4}+x^{2}-3xy

Esempio 2

(-15a^{5}b^{3}-7a^{2}b):(-5a^{4}b^{3})=

In questo esempio troviamo un binomio (il polinomio all’interno delle parentesi tonde) diviso per un monomio.

Per svolgere questo esercizio è necessario eseguire le divisioni tra i termini del polinomio e il monomio, una alla volta, cioè:

  • (-15a^{5}b^{3}):(-5a^{4}b^{3})=+3a
  • (-7a^{2}b):(-5a^{4}b^{3})=+\frac{7}{5}a^{-2}b^{-2}

Ogni termine del polinomio è stato diviso per il monomio all’esterno della parentesi: in questo caso si deve prestare particolare attenzione alle divisioni tra le parti letterali, poiché gli esponenti delle lettere del secondo monomio all’interno delle parentesi sono inferiori di quelli del monomio per cui si divide, quindi il risultato è un esponente negativo.

Il risultato finale, quindi, è il seguente:

(-15a^{5}b^{3}-7a^{2}b):(-5a^{4}b^{3})=+3a+\frac{7}{5}a^{-2}b^{-2}

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Somma di due segmenti e loro rapporto

Somma di due segmenti e loro rapporto: ecco la lezione che ti aiuterà a svolgere questo tipo di problema geometrico!

La somma di due segmenti è 35 cm e uno è i \frac{3}{4} dell’altro. Qual è la misura dei due segmenti?

Questo è un classico problema nel quale è presente la somma delle misure dei due segmenti e il loro rapporto, spesso rappresentato come una frazione.

Traducendo in simboli il problema sopra citato, potremmo scrivere:

  • n1 + n2 = 35 – cioè la somma delle misure dei due segmenti
  • n1\frac{3}{4} n– cioè il rapporto tra i due segmenti

n1 e n2 rappresentano i due segmenti incogniti.

Per determinare la misura dei due segmenti sono possibili due strade:

  1. Utilizzando la proprietà del comporre delle proporzioni
  2. Facendosi aiutare dalla geometria, rappresentando il problema proprio con due segmenti

Proprietà del comporre delle proporzioni

Sapendo che il rapporto tra n1 e n2 è \frac{3}{4}, possiamo impostare la proporzione nel modo seguente:

n1 : n2 = 3 : 4

In più, sappiamo che n1 + n2 = 35. Possiamo, quindi, applicare la proprietà del comporre scrivendo:

(n1 + n2) : n1 = (3 + 4) : 3

Ora è sufficiente sostituire 35 dentro la parentesi (n1 + n2), ottenendo:

35 : n1 = 7 : 3

Per concludere si può ora facilmente ottenere n1, applicando la proprietà fondamentale delle proporzioni, cioè:

n1 = (35 · 3) : 7 = 15

Di conseguenza, n2 si può ottenere per differenza, cioè:

n2 = 35 – 15 = 20

Geometria: segmenti

Sapendo che il rapporto tra n1 e n2 è \frac{3}{4}, possiamo disegnare due segmenti, uno di lunghezza 3 unità e l’altro di lunghezza 4 unità:

Segmento 3 unità

Segmento 4 unità

Sapendo che n1 + n2 = 35, si può disegnare il segmento somma dei due segmenti iniziali, ottenendo:

Segmento 7 unità

Come si può notare nel disegno sopra riportato, il segmento somma è formato da 7 unità, che corrispondono alla somma dei due segmenti incogniti.

Per determinare quanto vale 1 unità del segmento è sufficiente eseguire una semplice divisione, cioè:

35 : 7 = 5

Sapendo che 1 unità vale 5 e che i segmenti iniziali sono lunghi, rispettivamente, 3 unità e 4 unità, per stabilire la misura dei due segmenti incogniti è sufficiente moltiplicare 5 per le unità di ogni segmento, cioè:

5 · 3 = 15 = n1

5 · 4 = 20 = n2

Se hai ancora qualche dubbio, ti invito a guardare la videolezione direttamente sul canale YouTube matematicaoggi!


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Somma e differenza di due segmenti

Somma e differenza di due segmenti: cosa significa?

La somma delle misure di due segmenti è 20 cm e la loro differenza è 10 cm. Qual è la misura dei due segmenti?

Questo è un classico problema di geometria nel quale viene chiesto di calcolare la misura di due segmenti, conoscendo la loro somma e la loro differenza.

In generale, per svolgere questo tipo di problema, si può applicare la regola generale dei problemi con somma e differenza di due numeri.

Supponiamo che i due segmenti siano a e b. Esprimiamo sotto forma di addizione e di sottrazione i dati del problema:

S = a + b
D = ab
con b < a

Come si trova la lunghezza dei due segmenti?

Ecco le due formule risolutive:

somma e differnza di due numeri_2

somma e differnza di due numeri_1

Disegniamo i due segmenti a e b:

somma e differenza di due numeri_3

Rappresentiamo la loro somma (un segmento adiacente all’altro) e la loro differenza (segmento tratteggiato in verde).

somma e differenza di due numeri_4

Proiettiamo il segmento che rappresenta la sottrazione (ab) in basso nel segmento che rappresenta l’addizione (a + b): in questo modo troviamo due segmenti uguali, che corrispondono a due volte il segmento b.

Dividendo per due, troviamo il valore di b. Ciò è rappresentato nella figura seguente.

somma e differenza di due numeri_5

In modo analogo, se dal segmento somma aggiungiamo il valore della differenza (parte tratteggiata) troviamo due segmenti uguali, che corrispondono a due volte il segmento a.

Dividendo per due, troviamo la misura del segmento a. Ciò è rappresentato nella figura seguente.

somma e differenza di due numeri_6

In sintesi, quando abbiamo la somma e la differenza di due segmenti a e b, per trovarne la misura applichiamo queste due semplici formule:

somma e differnza di due numeri_2

somma e differnza di due numeri_1

Riprendiamo il problema proposto inizialmente:

La somma delle misure di due segmenti è 20 cm e la loro differenza è 10 cm. Qual è la misura dei due segmenti?

Secondo quanto esposto poco sopra, per trovare la misura dei due segmenti è sufficiente svolgere le due operazioni seguenti:

a=\frac{20+10}{2}=\frac{30}{2}=15cm

b=\frac{20-10}{2}=\frac{10}{2}=5cm

I due segmenti misurano rispettivamente 15 cm e 5 cm (se sommiamo le loro misure otteniamo effettivamente 20 cm, mentre se eseguiamo la sottrazione otteniamo 10 cm).


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Prodotto di polinomi

Il prodotto di polinomi, insieme alla somma algebrica di polinomi, è una delle operazioni più comuni del calcolo letterale. Non vanno poi dimenticati i prodotti notevoli e il quoziente di un polinomio per un monomio.

Per trovare il prodotto di polinomi è necessario ricordare la prima proprietà delle potenze (prodotto di potenze con la stessa base):

 a^{n}\cdot a^{m}=a^{n+m}

Inoltre, per svolgere la moltiplicazione tra polinomi, è necessario ricordare la proprietà distributiva del prodotto rispetto alla sommail prodotto di polinomi è un polinomio che si ottiene moltiplicando tutti i termini di un polinomio per tutti i termini dell’altro polinomio.

Vediamo di capire, con un paio di esempi, come si svolge questo tipo di operazione.

Esempio 1

(a^{2}+2b)\cdot (a+3b)=

In questo esempio è presente una moltiplicazione tra due binomi. Si procede moltiplicando i due monomi della prima parentesi per i due monomi della seconda parentesi, ottenendo così quattro monomi (due monomi per due monomi):

  • a^{2}\cdot a= a^{3}
  • a^{2}\cdot 3b= 3a^{2}b
  • 2b\cdot a= 2ab
  • 2b\cdot 3b= 6 b^{2}

Si ritiene importante sottolineare che, nell’eseguire i prodotti, si applica – nella parte letterale – la prima proprietà delle potenze, che prevede di sommare gli esponenti delle lettere uguali (come nella prima e nella quarta moltiplicazione).

Solitamente il passaggio si compie direttamente, ottenendo così:

(a^{2}+2b)\cdot(a+3b)= a^{3}+3 a^{2}b+2ab+6 b^{2}

Osservando i quattro monomi ottenuti dalle singole moltiplicazioni, si può affermare che non vi sono monomi simili tra loro, quindi il risultato è quello finale.

Esempio 2

(x+2y-2)\cdot(x-y)=

In questo esempio è presente un trinomio per un binomio. Come nel primo esempio, moltiplichiamo tutti i termini del trinomio con tutti i termini del binomio, ottenendo così:

  • x\cdot x= x^{2}
  • x\cdot (-y)= -xy
  • 2y\cdot x= 2xy
  • 2y\cdot(-y)=-2 y^{2}
  • (-2)\cdot x=-2x
  • (-2)\cdot (-y)=2y

Anche in questo caso, nell’eseguire i prodotti, è stata applicata – nella parte letterale – la prima proprietà delle potenze (nella prima e nella quarta moltiplicazione).

Compiendo i passaggi direttamente si otterrebbe:

(x+2y-2)\cdot (x-y)= x^{2}-xy+2xy-2 y^{2}-2x+2y

Osservando i termini ottenuti dalla moltiplicazioni, si può osservare che si trovano due monomi simili tra loro (-xy e 2xy). Sommandoli algebricamente si ottiene:

(x+2y-2)\cdot (x-y)= x^{2}-xy+2xy-2 y^{2}-2x+2y=x^{2}+xy-2 y^{2}-2x+2y

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Somma algebrica di polinomi

La somma algebrica di polinomi è una operazione molto frequente nel calcolo letterale. Insieme ad essa, importanti sono anche il prodotto di polinomi, i prodotti notevoli e il quoziente di un polinomio per un monomio.

Per eseguire la somma algebrica di polinomi può essere di grande aiuto ricordare come si svolge la somma algebrica di monomi.

Vediamo con qualche esempio come si svolge la somma algebrica di polinomi.

Esempio 1

 (2a^{2}+3b-2x)+ (a^{2}-2b)=

Il primo passaggio per svolgere questo esercizio è togliere le parentesi, osservando se – all’interno di esse – sono presenti monomi simili tra loro. In questo caso non sono presenti monomi simili, quindi si può procedere togliendo le parentesi.

Per togliere le parentesi è necessario prestare attenzione al segno presente davanti ad esse: in questo caso il segno è positivo davanti ad entrambe le parentesi (nella prima non è indicato, ma è sottinteso). Di conseguenza, si può riscrivere tutto togliendo le parentesi e lasciando gli stessi segni dei termini all’interno, ottenendo così:

 +2a^{2}+3b-2x+a^{2}-2b=

Ora non resta che applicare la regola di svolgimento della somma algebrica di monomi, che prevede la riduzione dei termini simili (cioè sommare algebricamente tra loro i monomi che hanno la stessa parte letterale). In questo modo si avrà:

 (+2a^{2}+a^{2})+(+3b-2b)-2x=

Per concludere, la somma algebrica all’interno delle parentesi porta al seguente risultato:

 +3a^{2}+b-2x

Esempio 2

 (-4x^{2}+3y)-(5x^{2}-3y-2+5z)+(6x^{2}-6+5z)=

All’interno delle parentesi non sono presenti monomi simili tra loro. Si procede, quindi, togliendo le parentesi, facendo attenzione al segno meno davanti alla seconda parentesi: in questo caso, infatti, i segni dei monomi all’interno della parentesi andranno cambiati, mentre gli altri verranno riscritti con lo stesso segno.

 -4x^{2}+3y-5x^{2}+3y+2-5z+6x^{2}-6+5z=

Ora si procede sommando algebricamente tra loro i monomi simili:

 (-4x^{2}-5x^{2}+6x^{2})+(+3y+3y)+(+2-6)+(-5z+5z)=

Le somme algebriche all’interno delle parentesi portano al seguente risultato:

 -3x^{2}+6y-4


Guarda la videolezione sul canale YouTube matematicaoggi!

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Potenze con esponente negativo

Hai di fronte alcune potenze con esponente negativo e non sai come si svolgono? In questa lezione ti chiariremo ogni dubbio!

Prima di capire come si calcola la potenza di un numero con esponente negativo, è necessario chiarire cos’è il reciproco di un numero. Questo concetto è estremamente importante nel momento in cui dobbiamo trovare il valore della potenza di un numero al quale è applicato un esponente negativo.

Il reciproco di un numero si ottiene dividendo 1 per il numero iniziale. Vediamo cosa significa questa frase con qualche esempio nella tabella sotto riportata:

Numero iniziale Passaggio da svolgere Reciproco
2 1 : 2 = \frac{1}{2}
+ 5 1 : (+ 5) = +\frac{1}{5}
− 8 1 : (− 8) = -\frac{1}{8}
\frac{3}{4} 1 : \frac{3}{4} = 1 · \frac{4}{3} = \frac{4}{3}
+\frac{5}{7} 1 : \left ( +\frac{5}{7} \right ) = 1 · \left ( +\frac{7}{5} \right ) +\frac{7}{5}
-\frac{9}{13} 1 : \left ( -\frac{9}{13} \right ) = 1 · \left ( -\frac{13}{9} \right ) -\frac{13}{9}
+\frac{1}{10} 1 : \left ( +\frac{1}{10} \right ) = 1 · \left ( +\frac{10}{1} \right ) + 10

In sintesi, per trovare il reciproco di un numero (non frazione), è sufficiente porre quel numero come denominatore di una frazione che ha come numeratore 1. Se, invece, dobbiamo trovare il reciproco di una frazione, è sufficiente cambiare di posto numeratore e denominatore. Attenzione: il segno del numero iniziale (come si può notare anche negli esempi in tabella) non cambia!

Chiarito cos’è il reciproco di un numero, vediamo ora come si calcola la potenza con esponente negativo.

 \left ( a \right )^{-b}

Il passaggio fondamentale consiste nel “togliere il meno” dall’esponente, in modo tale che risulti poi molto semplice svolgere la potenza. Per “rendere positivo” l’esponente, è sufficiente riscrivere la potenza nel modo seguente:

  • nella base scriviamo il reciproco del numero iniziale
  • nell’esponente scriviamo l’esponente iniziale senza il segno meno

In questo modo la potenza diventa:

 \left ( \frac{1}{a} \right )^{b}

Ora risulta molto semplice trovare il risultato, seguendo le regole di svolgimento delle potenze. Vediamo qualche esempio.

Esempio 1

 \left ( +2 \right )^{-3}

In questo esempio abbiamo la base (+ 2) alla quale si deve applicare l’esponente − 3.

Procediamo scrivendo al posto di (+ 2) il suo reciproco e come esponente il numero iniziale ma senza il segno meno (3); in questo modo si ottiene:

 \left ( +\frac{1}{2} \right )^{3}

Ora è sufficiente applicare l’esponente alla base; essendo una frazione, l’esponente 3 va applicato sia al numeratore che al denominatore, ottenendo così:

+\frac{1}{8}

Esempio 2

\left ( -\frac{2}{5} \right ) ^{-2}

In questo esempio abbiamo la base \left ( -\frac{2}{5} \right ) alla quale si deve applicare l’esponente − 2.

Procediamo scrivendo al posto di \left ( -\frac{2}{5} \right ) la sua reciproca e come esponente il numero iniziale ma senza il segno meno (2); in questo modo si ottiene:

\left ( -\frac{5}{2} \right ) ^{2}

Ora è sufficiente applicare l’esponente alla base; essendo una frazione, l’esponente 2 va applicato sia al numeratore che al denominatore, facendo attenzione a cambiare il segno (“meno per meno fa più”) ottenendo così:

+\frac{25}{4}

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Espressioni con i numeri interi relativi e le proprietà delle potenze

Devi svolgere le espressioni con i numeri interi relativi e le proprietà delle potenze? Qui ti spieghiamo come procedere!

Prima di tutto è bene chiarire che una espressione di questo tipo richiede di saper applicare alcune semplici regole e/o proprietà; in particolare:

Vediamo con un paio di esempi come poter applicare le diverse regole sopra elencate e svolgere correttamente le espressioni con i numeri interi relativi e le proprietà delle potenze.

Esempio 1

[(− 4)5 : (− 4)2 − (+ 2)· (+ 2)3] : [(− 2)2]2 + (− 5)2 =

In questa espressione sono presenti parentesi tonde e quadre; inoltre è possibile applicare alcune proprietà delle potenze. In particolare (evidenziate con colori diversi):

  • quoziente di potenze con la stessa base (si lascia la stessa base e si sottraggono gli esponenti)
  • prodotto di potenze con la stessa base (si lascia la stessa base e si sommano gli esponenti)
  • potenza di potenza (si lascia la stessa base e si moltiplicano gli esponenti)

[(− 4)5 : (− 4)2(+ 2)· (+ 2)3] : [(− 2)2]2 + (− 5)2 =

Considerando che, per svolgere l’espressione, dobbiamo iniziare dalle operazioni all’interno delle parentesi tonde, applichiamo le proprietà sopra elencate, ottenendo così:

[(− 4)3 − (+ 2)5] : (− 2)4 + (− 5)2 =

Ora è sufficiente svolgere le potenze applicando gli esponenti alle rispettive basi, ottenendo:

[− 64 − (+ 32)] : (+ 16) + (+ 25) =

Un passaggio su cui bisogna prestare particolare attenzione è quello che prevede di togliere le parentesi nelle quali è contenuto un solo numero e con, al di fuori, un segno di addizione o sottrazione; in particolare:

[− 64 − (+ 32)] : (+ 16) + (+ 25) =

Nei due casi sopra evidenziati è sufficiente applicare una semplice regola pratica, cioè quella che prevede di moltiplicare il segno dentro per quello che sta al di fuori della parentesi (prodotto dei segni nella moltiplicazione di numeri interi relativi: “meno per più fa meno” e “più per più fa più”), ottenendo così:

[− 64 − 32] : (+ 16) + 25 =

Ora non resta che svolgere l’operazione all’interno della parentesi quadra:

[− 96] : (+ 16) + 25 =

Infine, svolgendo la divisione, si ottiene:

− 6 + 25 = + 19

Esempio 2

(+ 45)2 : (− 15)2 + (+ 8)0 − (+ 2)3 · (− 4)3 : (− 8)2 =

In questa espressione sono presenti solo parentesi tonde; inoltre è possibile applicare alcune proprietà delle potenze. In particolare (evidenziate con colori diversi):

  • quoziente di potenze con lo stesso esponente (si lascia lo stesso esponente e si dividono le basi)
  • prodotto di potenze con lo stesso esponente (si lascia lo stesso esponente e si moltiplicano le basi)

(+ 45)2 : (− 15)2 + (+ 8)0 − (+ 2)3 · (− 4)3 : (− 8)2 =

Considerando che, per svolgere l’espressione, dobbiamo iniziare dalle operazioni all’interno delle parentesi tonde, applichiamo le proprietà sopra elencate, ottenendo così:

(− 3)2 + (+ 8)0 − (− 8)3 : (− 8)2 =

Se osserviamo bene, l’ultima divisione è un’altra proprietà delle potenze, cioè quoziente di potenze con la stessa base (vista anche nell’esempio 1), che prevede di lasciare la stessa base e sottrarre gli esponenti; in questo modo si ottiene:

(− 3)2 + (+ 8)0 − (− 8)1 =

Ora è sufficiente svolgere le potenze applicando gli esponenti alle rispettive basi, ottenendo:

+ 9 + 1 − (− 8) =

Come nell’esempio 1 si deve fare attenzione nel momento in cui si tolgono le parentesi per svolgere gli ultimi calcoli, in particolare nel caso sotto evidenziato:

+ 9 + 1 − (− 8) =

Applichiamo la regola pratica vista anche in precedenza nell’esempio 1, cioè quella che prevede di moltiplicare il segno dentro per quello che sta al di fuori della parentesi (prodotto dei segni nella moltiplicazione di numeri interi relativi: “meno per meno fa più”), ottenendo così:

+ 9 + 1 + 8 = + 18

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Espressioni con i numeri interi relativi

Devi svolgere delle espressioni con i numeri interi relativi? Ecco come puoi fare!

Per prima cosa è bene ricordare che per trovare il valore di una espressione con i numeri interi relativi si devono conoscere le regole di svolgimento di una espressione in generale. In particolare:

  • se nell’espressione ci sono parentesi, si eseguono inizialmente le operazioni all’interno delle parentesi tonde; di seguito le operazioni all’interno delle parentesi quadre; infine, le operazioni all’interno delle parentesi graffe.
  • Le operazioni da svolgere inizialmente sono moltiplicazioni e divisioni, nell’ordine in cui sono scritte; in seguito addizioni e sottrazioni, sempre nell’ordine in cui sono scritte. Nel caso di numeri interi relativi, si parla di somma algebrica.

Non dobbiamo dimenticare, infine, le regole di svolgimento delle operazioni con i numeri interi relativi.

Vediamo nel concreto come applicare queste regole.

Esempio 1

[(− 50) : (+ 25) − (+ 4)] · (2 − 6) =

Nell’espressione sopra riportata sono presenti parentesi tonde e quadre; si inizia svolgendo le operazioni all’interno delle parentesi tonde; in particolare, si svolgono le operazioni evidenziate in rosso:

[(− 50) : (+ 25) − (+ 4)] · (2 − 6) =

Si ottiene così:

[− 2 − (+ 4)] · (− 4) =

All’interno della parentesi quadra è presente una parentesi tonda con un solo numero: in questo caso – per togliere la parentesi tonda – è sufficiente eseguire il prodotto dei segni:

[− 2 − (+ 4)] · (− 4) =

Moltiplicheremo, cioè, il meno che sta al di fuori della tonda con il più del numero all’interno della tonda (evidenziato in blu), ottenendo:

[− 2 − 4] · (− 4) =

Ora è sufficiente svolgere l’operazione all’interno della parentesi quadra (somma di due numeri negativi), ottenendo:

[− 6] · (− 4) =

Per trovare il risultato, è sufficiente eseguire la moltiplicazione:

[− 6] · (− 4) = + 24

Esempio 2

(+ 25 + 22) : [(− 8) · 4 − 15] =

Nell’espressione sopra riportata sono presenti parentesi tonde e quadre; si inizia svolgendo le operazioni all’interno delle parentesi tonde; in particolare, si svolgono le operazioni evidenziate in rosso:

(+ 25 + 22) : [(− 8) · 4 − 15] =

Si ottiene così:

(+ 47) : [− 32 − 15] =

Ora è sufficiente svolgere l’operazione all’interno della parentesi quadra (somma di due numeri negativi), ottenendo:

(+ 47) : [− 47] =

Per trovare il risultato, è sufficiente eseguire la divisione:

(+ 47) : [− 47] = − 1

Vai alla pagina degli esercizi sulle espressioni con i numeri interi relativi!

Proprietà del permutare delle proporzioni

Per risolvere una proporzione può essere utile, in alcuni casi, applicare le proprietà delle proporzioni: una di queste è la proprietà del permutare delle proporzioni.

Partiamo dalla seguente proporzione:

a : b = c : d

Per applicare correttamente la proprietà del permutare, è importante ricordare che:

  • b e c si chiamano medi
  • a e d si chiamano estremi

La proprietà si può applicare nel modo seguente:

a : c = b : d

Traducendo a parole il passaggio sopra riportato si può dire che scambiando tra loro i medi, si ottiene comunque una proporzione (primo caso).

In modo alternativo, la proprietà si può applicare anche nel modo seguente:

d : b = c : a

Traducendo a parole il passaggio sopra riportato si può dire che scambiando tra loro gli estremi, si ottiene comunque una proporzione (secondo caso).

Infine, la proprietà si può applicare anche nel modo seguente:

d : c = b : a

Traducendo a parole il passaggio sopra riportato si può dire che scambiando tra loro sia i medi che gli estremi, si ottiene comunque una proporzione (terzo caso).

Esempio 1

Applicare la proprietà del permutare alla proporzione 18 : 9 = 10 : 5

Scambiando tra di loro i medi (primo caso), si ottiene:

18 : 10 = 9 : 5

Applicando la proprietà fondamentale delle proporzioni, verifichiamo che si tratta comunque di una proporzione; infatti:

10 · 9 = 90

18 · 5 = 90

Il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi, quindi la proprietà del permutare è stata applicata correttamente.

Esempio 2

Applicare la proprietà del permutare alla proporzione 14 : 2 = 21 : 3

Scambiando tra di loro gli estremi (secondo caso), si ottiene:

3 : 2 = 21 : 14

Applicando la proprietà fondamentale delle proporzioni, verifichiamo che si tratta comunque di una proporzione; infatti:

2 · 21 = 42

3 · 14 = 42

Il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi, quindi la proprietà del permutare è stata applicata correttamente.

Esempio 3

Applicare la proprietà del permutare alla proporzione 20 : 10 = 6 : 3

Scambiando tra di loro sia i medi che gli estremi (terzo caso), si ottiene:

3 : 6 = 10 : 20

Applicando la proprietà fondamentale delle proporzioni, verifichiamo che si tratta comunque di una proporzione; infatti:

6 · 10 = 60

3 · 20 = 60

Il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi, quindi la proprietà del permutare è stata applicata correttamente.

Se questa lezione non ti ha soddisfatto, guarda la videolezione sulla proprietà del permutare delle proporzioni!

Proprietà dell’invertire delle proporzioni

Per risolvere una proporzione può essere utile, in alcuni casi, applicare le proprietà delle proporzioni: una di queste è la proprietà dell’invertire delle proporzioni.

Partiamo dalla seguente proporzione:

a : b = c : d

Per applicare correttamente la proprietà dell’invertire, è importante ricordare che:

  • a e c si chiamano antecedenti
  • b e d si chiamano conseguenti

La proprietà si può applicare nel modo seguente:

b : a = d : c

Traducendo a parole il passaggio sopra riportato si può dire che scambiando ogni antecedente con il suo conseguente, si ottiene comunque una proporzione.

Esempio 1

Applicare la proprietà dell’invertire alla proporzione 12 : 6 = 8 : 4

Scambiamo ogni antecedente con il suo conseguente (quindi, in pratica, scambiamo 12 con 6 e 8 con 4), ottenendo:

6 : 12 = 4 : 8

Applicando la proprietà fondamentale delle proporzioni, verifichiamo che si tratta comunque di una proporzione; infatti:

12 · 4 = 48

6 · 8 = 48

Il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi, quindi la proprietà dell’invertire è stata applicata correttamente.

Esempio 2

Applicare la proprietà dell’invertire alla proporzione 21 : 7 = 9 : 3

Scambiamo ogni antecedente con il suo conseguente (quindi, in pratica, scambiamo 21 con 7 e 9 con 3), ottenendo:

7 : 21 = 3 : 9

Applicando la proprietà fondamentale delle proporzioni, verifichiamo che si tratta comunque di una proporzione; infatti:

21 · 3 = 63

7 · 9 = 63

Il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi, quindi la proprietà dell’invertire è stata applicata correttamente.

Se questa lezione non ti ha chiarito ogni dubbio, guarda la videolezione sulla proprietà dell’invertire delle proporzioni!

Proprietà dello scomporre delle proporzioni

Per risolvere una proporzione può essere utile, in alcuni casi, applicare le proprietà delle proporzioni: una di queste è la proprietà dello scomporre delle proporzioni.

Partiamo dalla seguente proporzione:

a : b = c : d

La proprietà si può applicare nel modo seguente:

(a – b) : a = (c – d) : c

Traducendo a parole il passaggio sopra riportato si può dire che la differenza del primo e del secondo termine sta al primo termine, come la differenza del terzo e del quarto termine sta al terzo termine (primo caso).

In modo alternativo, la proprietà dello scomporre delle proporzioni si può applicare nel modo seguente:

(a – b) : b = (c – d) : d

Traducendo a parole il passaggio sopra riportato si può dire che la differenza del primo e del secondo termine sta al secondo termine, come la differenza del terzo e del quarto termine sta al quarto termine (secondo caso).

Esempio 1

Applicare la proprietà dello scomporre alla proporzione 25 : 5 = 10 : 2

Considerando il primo caso sopra esposto (a – b) : a = (c – d) : c, avremo:

(25 – 5) : 25 = (10 – 2) : 10

Svolgendo le sottrazioni dentro parentesi si ottiene:

20 : 25 = 8 : 10

Applicando la proprietà fondamentale delle proporzioni, verifichiamo che si tratta comunque di una proporzione; infatti:

20 · 10 = 200

25 · 8 = 200

Il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi, quindi la proprietà dello scomporre è stata applicata correttamente.

Esempio 2

Applicare la proprietà dello scomporre alla proporzione 16 : 4 = 12 : 3

Considerando il secondo caso sopra esposto (a – b) : b = (c – d) : d, avremo:

(16 – 4) : 4 = (12 – 3) : 3

Svolgendo le sottrazioni dentro parentesi si ottiene:

12 : 4 = 9 : 3

Applicando la proprietà fondamentale delle proporzioni, verifichiamo che si tratta comunque di una proporzione; infatti:

12 · 3 = 36

4 · 9 = 36

Il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi, quindi la proprietà dello scomporre è stata applicata correttamente.

Proprietà del comporre delle proporzioni

Per risolvere una proporzione può essere utile, in alcuni casi, applicare le proprietà delle proporzioni: una di queste è la proprietà del comporre delle proporzioni.

Partiamo dalla seguente proporzione:

a : b = c : d

La proprietà si può applicare nel modo seguente:

(a + b) : a = (c + d) : c

Traducendo a parole il passaggio sopra riportato si può dire che la somma del primo e del secondo termine sta al primo termine, come la somma del terzo e del quarto termine sta al terzo termine (primo caso).

In modo alternativo, la proprietà del comporre delle proporzioni si può applicare nel modo seguente:

(a + b) : b = (c + d) : d

Traducendo a parole il passaggio sopra riportato si può dire che la somma del primo e del secondo termine sta al secondo termine, come la somma del terzo e del quarto termine sta al quarto termine (secondo caso).

Esempio 1

Applicare la proprietà del comporre alla proporzione 10 : 5 = 8 : 4

Considerando il primo caso sopra esposto (a + b) : a = (c + d) : c, avremo:

(10 + 5) : 10 = (8 + 4) : 8

Svolgendo le addizioni dentro parentesi si ottiene:

15 : 10 = 12 : 8

Applicando la proprietà fondamentale delle proporzioni, verifichiamo che si tratta comunque di una proporzione; infatti:

15 · 8 = 120

10 · 12 = 120

Il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi, quindi la proprietà del comporre è stata applicata correttamente.

Esempio 2

Applicare la proprietà del comporre alla proporzione 20 : 4 = 10 : 2

Considerando il secondo caso sopra esposto (a + b) : b = (c + d) : d, avremo:

(20 + 4) : 4 = (10 + 2) : 2

Svolgendo le addizioni dentro parentesi si ottiene:

24 : 4 = 12 : 2

Applicando la proprietà fondamentale delle proporzioni, verifichiamo che si tratta comunque di una proporzione; infatti:

24 · 2 = 48

4 · 12 = 48

Il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi, quindi la proprietà del comporre è stata applicata correttamente.

Confronto di numeri interi relativi

Confronto di numeri interi relativi: ecco la lezione che fa per te!

Confrontare due numeri interi relativi significa stabilire se uno è maggiore, minore o uguale ad un altro.

Ricordiamo quali sono i simboli corretti:

  • MAGGIORE: >
  • MINORE: <
  • UGUALE: =

Nella pratica si possono seguire alcune indicazioni per eseguire facilmente il confronto di numeri interi relativi.

Prima di vedere quali sono le regole da applicare, è bene precisare il significato di valore assoluto di un numero intero relativo.

Il valore assoluto (o modulo) di un numero intero relativo è il numero che si prende in considerazione senza il segno che lo precede.

Esempi:

  • + 8 → il suo valore assoluto è 8
  • – 11 → il suo valore assoluto è 11

Solitamente il valore assoluto si indica in questo modo: |- 13| = 13, cioè si racchiude il numero intero relativo tra due segni/barre verticali proprio per indicare che quel numero va considerato senza il suo segno.

Numeri interi relativi concordi

Si parla di numeri interi relativi concordi quando i numeri che si prendono in considerazione hanno lo stesso segno.

Ecco allora che tra due numeri relativi concordi positivi è maggiore quello che ha valore assoluto maggiore.

Esempi:

  • + 5 > + 2
  • + 4 < + 20

Tra due numeri relativi concordi negativi è maggiore quello che ha valore assoluto minore.

Esempi:

  • – 1 > – 4
  • – 5 < – 3

La “regola” sopra descritta per i numeri relativi concordi negativi non è sempre immediata e facile da ricordare: in altri termini, considerando la linea dei numeri, si può dire che tra due numeri relativi concordi negativi è maggiore quello che è più vicino allo 0.

linea dei numeri

Riprendendo i due esempi sopra riportati (e osservando la linea dei numeri) risulta più facile capire che – 1 > – 4 perché – 1 è più vicino allo 0 rispetto a -4; allo stesso modo, risulta più facile capire che – 5 < – 3 perché – 5 è più lontano dallo 0 rispetto a – 3.

In aggiunta a quanto affermato, due numeri relativi concordi (positivi o negativi) che hanno lo stesso valore assoluto sono uguali.

Esempi: 

  • + 7 = + 7
  • – 9 = – 9

Numeri relativi discordi

Si parla di numeri interi relativi discordi quando i numeri che si prendono in considerazione hanno segno diverso.

Ecco allora che tra due numeri relativi discordi (quindi, uno positivo e l’altro negativo) è sempre maggiore quello con segno positivo.

Esempi:

  • + 4 > – 5
  • – 12 < + 3

Vai alla pagina degli esercizi sul confronto di numeri interi relativi!

Differenza di due numeri e loro rapporto

Differenza di due numeri e loro rapporto: ecco tutto ciò che c’è da sapere!

La differenza di due numeri è 15 e uno è i \frac{7}{4} dell’altro. Qual è il valore dei due numeri?

Questo è un classico esercizio nel quale è presente la differenza di due numeri e il loro rapporto, spesso rappresentato come una frazione.

Traducendo in simboli l’esercizio sopra citato, potremmo scrivere:

  • n1 – n2 = 15 – cioè la differenza dei due numeri
  • n1\frac{7}{4} n– cioè il rapporto tra i due numeri

n1 e n2 sono i due numeri incogniti.

Per determinare il valore dei due numeri sono possibili due strade:

  1. Utilizzando la proprietà dello scomporre delle proporzioni
  2. Facendosi aiutare dalla geometria, in particolare dai segmenti

Proprietà dello scomporre delle proporzioni

Sapendo che il rapporto tra n1 e n2 è \frac{7}{4}, possiamo impostare la proporzione nel modo seguente:

n1 : n2 = 7 : 4

In più, sappiamo che n1 – n2 = 15. Possiamo, quindi, applicare la proprietà dello scomporre scrivendo:

(n1 – n2) : n1 = (7 – 4) : 7

Ora è sufficiente sostituire 15 dentro la parentesi (n1 – n2), ottenendo:

15 : n1 = 3 : 7

Per concludere si può ora facilmente ottenere n1, applicando la proprietà fondamentale delle proporzioni, cioè:

n1 = (15 · 7) : 3 = 35

Di conseguenza, n2 si può ottenere per differenza, cioè:

n2 = 35 – 15 = 20

Geometria: segmenti

Sapendo che il rapporto tra n1 e n2 è \frac{7}{4}, possiamo disegnare due segmenti, uno di lunghezza 7 unità e l’altro di lunghezza 4 unità:

segmenti

Sapendo che n1 – n2 = 15, si può disegnare il segmento differenza dei due segmenti iniziali, ottenendo:

segmenti2

Come si può notare nel disegno sopra riportato, il segmento differenza (parte tratteggiata) è formato da 3 unità, che corrispondono alla differenza dei due segmenti, cioè dei due numeri incogniti.

Per determinare quanto vale 1 unità del segmento è sufficiente eseguire una semplice divisione, cioè:

15 : 3 = 5

Sapendo che 1 unità vale 5 e che i segmenti iniziali sono lunghi, rispettivamente, 7 unità e 4 unità, per stabilire il valore di n1 e di n2 è sufficiente moltiplicare 5 per le unità di ogni segmento, cioè:

5 · 7 = 35 = n1

5 · 4 = 20 = n2

Vai alla pagina degli esercizi su differenza di due numeri e loro rapporto!

Somma di due numeri e loro rapporto

Somma di due numeri e loro rapporto: ecco tutto ciò che c’è da sapere!

La somma di due numeri è 70 e uno è i \frac{3}{4} dell’altro. Qual è il valore dei due numeri?

Questo è un classico esercizio nel quale è presente la somma di due numeri e il loro rapporto, spesso rappresentato come una frazione.

Traducendo in simboli l’esercizio sopra citato, potremmo scrivere:

  • n1 + n2 = 70 – cioè la somma dei due numeri
  • n1\frac{3}{4} n– cioè il rapporto tra i due numeri

n1 e n2 sono i due numeri incogniti.

Per determinare il valore dei due numeri sono possibili due strade:

  1. Utilizzando la proprietà del comporre delle proporzioni
  2. Facendosi aiutare dalla geometria, in particolare dai segmenti

Proprietà del comporre delle proporzioni

Sapendo che il rapporto tra n1 e n2 è \frac{3}{4}, possiamo impostare la proporzione nel modo seguente:

n1 : n2 = 3 : 4

In più, sappiamo che n1 + n2 = 70. Possiamo, quindi, applicare la proprietà del comporre scrivendo:

(n1 + n2) : n1 = (3 + 4) : 3

Ora è sufficiente sostituire 70 dentro la parentesi (n1 + n2), ottenendo:

70 : n1 = 7 : 3

Per concludere si può ora facilmente ottenere n1, applicando la proprietà fondamentale delle proporzioni, cioè:

n1 = (70 · 3) : 7 = 30

Di conseguenza, n2 si può ottenere per differenza, cioè:

n2 = 70 – 30 = 40

Geometria: segmenti

Sapendo che il rapporto tra n1 e n2 è \frac{3}{4}, possiamo disegnare due segmenti, uno di lunghezza 3 unità e l’altro di lunghezza 4 unità:

Segmento 3 unità

Segmento 4 unità

Sapendo che n1 + n2 = 70, si può disegnare il segmento somma dei due segmenti iniziali, ottenendo:

Segmento 7 unità

Come si può notare nel disegno sopra riportato, il segmento somma è formato da 7 unità, che corrispondono alla somma dei due segmenti, cioè dei due numeri incogniti.

Per determinare quanto vale 1 unità del segmento è sufficiente eseguire una semplice divisione, cioè:

70 : 7 = 10

Sapendo che 1 unità vale 10 e che i segmenti iniziali sono lunghi, rispettivamente, 3 unità e 4 unità, per stabilire il valore di n1 e di n2 è sufficiente moltiplicare 10 per le unità di ogni segmento, cioè:

10 · 3 = 30 = n1

10 · 4 = 40 = n2

Vai alla pagina degli esercizi su somma di due numeri e loro rapporto!

Frazione generatrice di un numero decimale

Frazione generatrice di un numero decimale: ecco la lezione che ti chiarirà ogni dubbio!

Come si trasforma un numero decimale in una frazione?

La frazione di cui si parla è chiamata frazione generatrice di un numero decimale. Si devono distinguere tre casi:

  • Frazione generatrice di un numero decimale limitato
  • Frazione generatrice di un numero decimale illimitato periodico semplice
  • Frazione generatrice di un numero decimale illimitato periodico misto

Frazione generatrice di un numero decimale limitato

Per ottenere la frazione generatrice di questo numero è sufficiente seguire questi passaggi:

  • al numeratore si scrive il numero senza virgola
  • al denominatore si scrive un 1 seguito da tanti zeri quante sono le cifre decimali

Esempio 1:

0,23=\frac{23}{100}

Al numeratore abbiamo scritto 23, cioè il numero iniziale senza virgola e lo zero che lo precede; al denominatore abbiamo scritto 100, poiché 0,23 ha due cifre dopo la virgola (quindi 1 seguito da due zeri).

Esempio 2:

1,077=\frac{1077}{1000}

Al numeratore abbiamo scritto 1077, cioè il numero iniziale senza virgola; al denominatore abbiamo scritto 1000, poiché 1,077 ha tre cifre dopo la virgola (quindi 1 seguito da tre zeri).

Quando possibile, la frazione che si ottiene è bene semplificarla e ridurla ai minimi termini (lezione sulla semplificazione di frazioni).

Frazione generatrice di un numero decimale illimitato periodico semplice

Per ottenere la frazione generatrice di questo numero è sufficiente seguire questi passaggi:

  • al numeratore si scrive il numero senza virgola, al quale si sottrae la parte del numero che non fa parte del periodo (parte intera)
  • al denominatore si scrive un 9 per ogni cifra che fa parte del periodo

Precisiamo che per periodo si intende la parte del numero decimale che si ripete e che è indicata con una linea al di sopra dei numeri che si ripetono, ad esempio:

1\overline{3}=1,333333333333...

In questo caso il periodo è il 3.

Esempio 3:

1,\overline{32}=\frac{132-1}{99}=\frac{131}{99}

Al numeratore abbiamo scritto 132 (il numero iniziale senza virgola) meno 1 (il numero che non fa parte del periodo); al denominatore abbiamo scritto 99, poiché il numero decimale periodico iniziale ha due cifre che fanno parte del periodo.

Esempio 4:

12,\overline{6}=\frac{126-12}{9}=\frac{114}{9}=\frac{38}{3}

Al numeratore abbiamo scritto 126 (il numero iniziale senza virgola) meno 12 (il numero che non fa parte del periodo); al denominatore abbiamo scritto 9, poiché il numero decimale periodico iniziale ha una cifre che fa parte del periodo.

Nell’ultimo passaggio numeratore e denominatore sono stati divisi entrambi per 3, per semplificare la frazione e ridurla ai minimi termini.

Frazione generatrice di un numero decimale illimitato periodico misto

Per ottenere la frazione generatrice di questo numero è sufficiente seguire questi passaggi:

  • al numeratore si scrive il numero senza virgola, al quale si sottrae la parte del numero che non fa parte del periodo (parte intera)
  • al denominatore si scrivono:
    • un 9 per ogni cifra che fa parte del periodo
    • uno 0 per ogni cifra che fa parte dell’antiperiodo

Precisiamo che per antiperiodo si intende la parte del numero decimale che si trova tra la virgola e il periodo, ad esempio:

2,4\overline{5}=2,45555555555...

In questo caso l’antiperiodo è il 4.

Esempio 5:

3,5\overline{2}=\frac{352-35}{90}=\frac{317}{90}

Al numeratore abbiamo scritto 352 (il numero iniziale senza virgola) meno 35 (il numero che non fa parte del periodo); al denominatore abbiamo scritto 90, poiché il numero decimale periodico iniziale ha una cifra che fa parte del periodo (il 2) – quindi abbiamo scritto un 9 – e una cifra che fa parte dell’antiperiodo (il 5) – quindi abbiamo scritto uno 0.

Esempio 6:

12,4\overline{78}=\frac{12478-124}{990}=\frac{12354}{990}=\frac{2059}{165}

Al numeratore abbiamo scritto 12478 (il numero iniziale senza virgola) meno 124 (il numero che non fa parte del periodo); al denominatore abbiamo scritto 990, poiché il numero decimale periodico iniziale ha due cifre che fanno parte del periodo (il 78) – quindi abbiamo scritto due 9 – e una cifra che fa parte dell’antiperiodo (il 4) – quindi abbiamo scritto uno 0.

Nell’ultimo passaggio numeratore e denominatore sono stati divisi entrambi prima per 2 e poi per 3, per semplificare la frazione e ridurla ai minimi termini.

Vai alla pagina degli esercizi sulla frazione generatrice di un numero decimale!

Minimo comune multiplo (m.c.m.) – definizione

Il minimo comune multiplo (in sigla m.c.m.) è il più piccolo tra tutti i multipli comuni dei numeri che si prendono in considerazione.

Secondo questa definizione, è necessario elencare i multipli dei numeri che prendiamo in considerazione (sappiamo che i multipli di un numero sono infiniti; ne elenchiamo alcuni); dopo averli elencati, si devono identificare quelli che sono in comune: quello più basso tra questi è il minimo comune multiplo (m.c.m.).

Vediamo come procedere secondo questa indicazione.

Esempio 1

Determinare il minimo comune multiplo dei numeri 5 e 7

Per prima cosa scriviamo alcuni multipli dei numeri 5 e 7:

  • M (5) = 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, …
  • M (7) = 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, 77, 84, 91, 98, 105, …

Mettiamo ora in evidenza i multipli che 5 e 7 hanno in comune:

  • M (5) = 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, …
  • M (7) = 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, 77, 84, 91, 98, 105, …

L’ultimo passaggio prevede di individuare qual è il più basso tra i multipli comuni di 5 e di 7; si può notare che il più basso (quindi il minimo comune multiplo) è il 35, quindi:

m.c.m. (5, 7) = 35

Esempio 2

Determinare il minimo comune multiplo dei numeri 9 e 12

Per prima cosa scriviamo alcuni multipli dei numeri 9 e 12:

  • M (9) = 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90, 99, 108, 117, 126, 135, 144, …
  • M (12) = 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120, 132, 144, 156, …

Mettiamo ora in evidenza i multipli che 9 e 12 hanno in comune:

  • M (9) = 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90, 99, 108, 117, 126, 135, 144, …
  • M (12) = 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120, 132, 144, 156, …

L’ultimo passaggio prevede di individuare qual è il più basso tra i multipli comuni di 9 e di 12; si può notare che il più basso (quindi il minimo comune multiplo) è il 36, quindi:

m.c.m. (9, 12) = 36

Nei casi che abbiamo appena presentato è semplice identificare il minimo comune multiplo; in altri casi può risultare più difficile, poiché non è sempre immediato elencare i multipli dei numeri che si prendono in considerazione.

In questi casi, per calcolare il minimo comune multiplo è possibile seguire un procedimento che prevede la scomposizione in fattori primi dei numeri che si prendono in considerazione.

Vai alla pagina degli esercizi sul minimo comune multiplo (m.c.m.)!

Massimo Comune Divisore (M.C.D.) – definizione

Il Massimo Comune Divisore (in sigla M.C.D.) è il più grande tra tutti i divisori comuni dei numeri che si prendono in considerazione.

Secondo questa definizione, è necessario elencare tutti i divisori dei numeri che prendiamo in considerazione; dopo averli elencati, si devono identificare quelli che sono in comune: quello più alto tra questi è il Massimo Comune Divisore (M.C.D.).

Vediamo come procedere secondo questa indicazione.

Esempio 1

Determinare il Massimo Comune Divisore dei numeri 20 e 30

Per prima cosa scriviamo tutti i divisori dei numeri 20 e 30:

  • D (20) = 1, 2, 4, 5, 10, 20
  • D (30) = 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30

Mettiamo ora in evidenza i divisori che 20 e 30 hanno in comune:

  • D (20) = 1, 2, 4, 5, 10, 20
  • D (30) = 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30

L’ultimo passaggio prevede di individuare qual è il più alto tra i divisori comuni di 20 e di 30; si può notare che il più alto (quindi il Massimo Comune Divisore) è il 10, quindi:

M.C.D. (20, 30) = 10

Esempio 2

Determinare il Massimo Comune Divisore dei numeri 14 e 25

Per prima cosa scriviamo tutti i divisori dei numeri 14 e 25:

  • D (14) = 1, 2, 7, 14
  • D (25) = 1, 5, 25

Mettiamo ora in evidenza i divisori che 14 e 25 hanno in comune:

  • D (14) = 1, 2, 7, 14
  • D (25) = 1, 5, 25

L’ultimo passaggio prevede di individuare qual è il più alto tra i divisori comuni di 14 e di 25; si può notare che esiste un solo divisore comune, che corrisponde al Massimo Comune Divisore:

M.C.D. (14, 25) = 1

Nei casi che abbiamo appena presentato è semplice identificare il Massimo Comune Divisore; in altri casi può risultare più difficile, poiché non è sempre immediato elencare tutti i divisori dei numeri che si prendono in considerazione.

In questi casi, per calcolare il Massimo Comune Divisore è possibile seguire un procedimento che prevede la scomposizione in fattori primi dei numeri che si prendono in considerazione.

Vai alla pagina degli esercizi sul Massimo Comune Divisore (M.C.D.)!

Ordine di grandezza di un numero

L’ordine di grandezza di un numero è la potenza di 10 più vicina al numero che si prende in considerazione.

In modo alternativo, si può definire come la potenza di 10 che permette di approssimare un certo numero.

In fisica, questo concetto è estremamente importante, poiché permette di confrontare agevolmente le misure riguardanti un fenomeno oggetto di studio, quindi è bene fare attenzione a quanto riportato qui di seguito.

Qualsiasi numero, grande o piccolo, è compreso tra due potenze di 10.

Per esempio, il numero 680 è compreso tra 100 (102) e 1.000 (103), cioè:

102 < 680 < 103.

Allo stesso modo, il numero 0,0002 è compreso tra 0,0001 (10-4) e 0,001 (10-3), cioè:

10-3 < 0,0002 < 10-4.

Per determinare l’ordine di grandezza di un numero è sufficiente, prima di tutto, esprimere il numero stesso in notazione scientifica:

a=b\cdot10 ^{c}

In seguito si osserva il valore di b:

  • se è minore di 5, allora l’ordine di grandezza di a è 10c;
  • se è maggiore o uguale a 5, allora l’ordine di grandezza di a è 10c+1.

Nella tabella seguente sono riportati alcuni esempi:

Numero Numero espresso in notazione scientifica Valore di b Ordine di grandezza del numero
 7.500 7,5 · 103 7,5 > 5  103+1 = 104
 14.300.000 1,43  · 107 1,43 < 5 107
 0,00009  9 · 10-5  9 > 5 10-5+1 = 10-4
 0,000000023 2,3 · 10-8 2,3 < 5 10-8

Se questi esempi non sono stati sufficientemente chiari, ecco un’utile videolezione per chiarire maggiormente i passaggi necessari.

Vai alla pagina degli esercizi sull’ordine di grandezza!

Frequenze assoluta, frequenza relativa, frequenza relativa percentuale

In statistica descrittiva assumono particolare importanza le frequenze: frequenza assoluta, la frequenza relativa e la frequenza relativa percentuale.

Le frequenze sono fondamentali per analizzare un insieme di dati.

Vediamo le definizioni:

  • Frequenza assoluta: numero di volte che si presenta un certo dato;
  • Frequenza relativa: rapporto tra la frequenza assoluta e numero totale dei dati;
  • Frequenza relativa percentuale: frequenza relativa, espressa in percentuale (si moltiplica per 100 la frequenza relativa).

Esempio

Nella tabella seguente sono elencate le età di un gruppo di amici:

15 15 16 17 15
16 15 14 15 16

Frequenze assolute

Sapendo che le frequenze assolute si trovano contando quante volte un certo dato si ripete, è necessario – prima di tutto – individuare quali sono le età presenti nella tabella e, in seguito, contare quante volte compaiono:

  • 14 anni: 1 volta;
  • 15 anni: 5 volte;
  • 16 anni: 3 volte;
  • 17 anni: 1 volta.

In sintesi:

Età Frequenze assolute
14 anni 1
15 anni 5
16 anni 3
17 anni 1
Totali 10

Frequenze relative

Per calcolare le frequenze relative è sufficiente dividere ogni frequenza assoluta per il numero totale dei dati (10):

  • 14 anni: 1 : 10 = 0,1;
  • 15 anni: 5 : 10 = 0,5;
  • 16 anni: 3 : 10 = 0,3;
  • 17 anni: 1 : 10 = 0,1.

Aggiornando la tabella otteniamo:

Età Frequenze assolute Frequenze relative
14 anni 1 0,1
15 anni 5 0,5
16 anni 3 0,3
17 anni 1 0,1
Totali 10 1

Frequenze relative percentuali

L’analisi di conclude calcolando le frequenze relative percentuali: è sufficiente moltiplicare per 100 le frequenze relative:

  • 14 anni: 0,1  · 100 = 10%;
  • 15 anni: 0,5  · 100 = 50%;
  • 16 anni: 0,3  · 100 = 30%;
  • 17 anni: 0,1  · 100 = 10%.

Di conseguenza, la tabella completa è la seguente:

Età Frequenze assolute Frequenze relative Frequenze relative percentuali
14 anni 1 0,1 10%
15 anni 5 0,5 50%
16 anni 3 0,3 30%
17 anni 1 0,1 10%
Totali 10 1 100%

Raccogliere i dati in forma tabellare (come riportato sopra) può essere utile per avere una buona sintesi dei risultati ottenuti.

Come si può notare, il totale delle frequenze relative è uguale a 1, mentre il totale delle frequenze relative percentuali è uguale a 100%.

Vai alla pagina degli esercizi sulla frequenza assoluta, la frequenza relativa e la frequenza relativa percentuale!


Sei un insegnante o, semplicemente, ti incuriosisce il mondo della didattica in generale? Ecco un progetto molto interessante, parallelo a matematicaoggi, dedicato alla didattica: didatticaoggi! Riflessioni, esperienze didattiche e molto altro!

Mediana

In un’indagine statistica particolare importanza riveste un indice di posizione chiamato mediana.

Considerando un insieme ordinato di dati, la mediana è il dato che occupa la posizione centrale di questo insieme.

Per trovare la mediana di un insieme di dati si devono distinguere due casi:

  • numero di dati pari: la mediana si ottiene considerando il dato  \frac{n}{2} e il dato \frac{n}{2}+1 e di essi si calcola la media;
  • numero di dati dispari: la mediana corrisponde al dato \frac{n+1}{2}.

Esempio 1 – insieme pari di dati

Nella tabella seguente sono indicati i voti di matematica di uno studente di una scuola superiore:

6 7
6 5
7 9
4 6

Innanzitutto è necessario mettere in ordine i dati; si sceglie di metterli in ordine crescente:

4 5 6 6 6 7 7 9

L’insieme dei dati è pari, quindi si devono considerare i dati \frac{n}{2} e \frac{n}{2}+1 e di essi; essendo n = 8, dovremo considerare il 4° e il 5° dato, cioè:

4 5 6 6 6 7 7 9

Individuati i due dati di riferimento, è sufficiente calcolare la loro media: \frac{6+6}{2}=6.

La mediana di questo insieme di dati è 6.

Esempio 2 – insieme dispari di dati

Nella tabella seguente sono indicati i livelli di umidità di una città italiana rilevati negli ultimi giorni 9 giorni:

81 79 80
80 81 77
78 82 80

Innanzitutto è necessario mettere in ordine i dati; si sceglie di metterli in ordine crescente:

77 78 79 80 80 80 81 81 82

L’insieme dei dati è dispari, quindi si deve considerare il dato  \frac{n+1}{2}, cioè il 5° dato:

77 78 79 80 80 80 81 81 82

La mediana di questo insieme di dati è 80.

La mediana è solo una dei concetti fondamentali della statistica descrittiva; ecco qui di seguito altri concetti chiave, con le relative lezioni:

Moda

In statistica di definisce moda il dato che ha la frequenza alta: in altri termini, il dato che si presenta più volte, rappresenta la moda di un insieme di dati.

Per trovare la moda di un insieme di dati è sufficiente contare quante volte un certo dato si ripete: quello che si ripete più volte sarà la moda.

Esempio 1

Nella tabella seguente sono elencati i mezzi di trasporto con i quali alcuni studenti universitari si recano a lezione.

auto moto auto bicicletta autobus
auto bicicletta autobus autobus autobus
bicicletta autobus autobus moto autobus

Per trovare la moda di questo insieme di dati, si deve – inizialmente – individuare quali sono le modalità che assume la variabile: in altre parole, la variabile è il mezzo di trasporto e le modalità sono auto, moto, bicicletta e autobus.

In seguito, si conta quante volte ogni dato si ripete:

  • auto: 3 volte
  • moto: 2 volte
  • bicicletta: 3 volte
  • autobus: 7 volte

Come si può vedere, autobus è la modalità più frequente, cioè il dato che si presenta più volte: autobus, quindi, rappresenta la moda di questo insieme di dati.

Esempio 2

Nella tabella seguente sono elencate le età degli studenti di una classe prima di scuola superiore.

Studente Età
Studente 1 14
Studente 2 14
Studente 3 14
Studente 4 15
Studente 5 15
Studente 6 14
Studente 7 16
Studente 8 14
Studente 9 14
Studente 10 16
Studente 11 14
Studente 12 14
Studente 13 15
Studente 14 15
Studente 15 14
Studente 16 14
Studente 17 15
Studente 18 14
Studente 19 15
Studente 20 14

Per trovare la moda di questo insieme di dati, si deve – inizialmente – individuare quali sono le modalità che assume la variabile: in altre parole la variabile è l’età e le modalità sono 14, 15 e 16 anni.

In seguito, si conta quante volte ogni dato si ripete:

  • 14 anni: 12 volte
  • 15 anni: 6 volte
  • 16 anni: 2 volte

Come si può vedere, l’età 14 anni è la modalità più frequente, cioè il dato che si presenta più volte: 14 anni, quindi, rappresenta la moda di questo insieme di dati.

Vai alla pagina degli esercizi sulla moda!

Proprietà delle potenze con i numeri interi relativi

Quando si applicano le proprietà delle potenze ai numeri interi relativi, si deve prestare particolare attenzione alle regole legate ai segni.

Le proprietà delle potenze con i numeri interi relativi si applicano nello stesso modo delle proprietà delle potenze con i numeri naturali.

Vediamo, con alcuni esempi, le cinque proprietà delle potenze applicate ai numeri interi relativi.

1_Prodotto di potenze con la stessa base

(-2) ^{2}\cdot(-2) ^{3}=

Per svolgere questo esercizio si applica la prima proprietà delle potenze, che prevede di lasciare la stessa base e di sommare gli esponenti; quindi avremo:

(-2) ^{(2+3)}=(-2) ^{5}

Ora è sufficiente applicare l’esponente alla base, facendo attenzione al segno del numero che sta alla base: in particolare, la base è un numero negativo, l’esponente è dispari, quindi il valore della potenza sarà con segno negativo!

(-2) ^{5}=-32

2_Quoziente di potenze con la stessa base
(+3) ^{5}:(+3) ^{2}=

Per svolgere questo esercizio si applica la seconda proprietà delle potenze, che prevede di lasciare la stessa base e di sottrarre gli esponenti; quindi avremo:

(+3) ^{(5-2)}= (+3)^{3}

Ora è sufficiente applicare l’esponente alla base, facendo attenzione al segno del numero che sta alla base: in questo caso, la base è un numero positivo, quindi – indipendentemente dall’esponente – il risultato sarà comunque positivo!

(+3)^{3}=+27

3_Potenza di potenza

[(-2)^{2}]^{4}=

Per svolgere questo esercizio si applica la terza proprietà delle potenze, che prevede di lasciare la stessa base e di moltiplicare gli esponenti; quindi avremo:

(-2)^{(2\cdot4)}=(-2)^{8}

Ora è sufficiente applicare l’esponente alla base, facendo attenzione al segno del numero che sta alla base: in particolare, la base è un numero negativo, l’esponente è pari, quindi il valore della potenza sarà con segno positivo!

(-2)^{8}=+256

4_Prodotto di potenze con lo stesso esponente

(-2)^{3}\cdot(+3)^{3}=

Per svolgere questo esercizio si applica la quarta proprietà delle potenze, che prevede di lasciare lo stesso esponente e di moltiplicare le basi; quindi avremo:

[(-2)\cdot(+3)]^{3}=(-6)^{3}

Ora è sufficiente applicare l’esponente alla base, facendo attenzione al segno del numero che sta alla base: in particolare, la base è un numero negativo, l’esponente è dispari, quindi il valore della potenza sarà con segno negativo!

(-6)^{3}=-216

5_Quoziente di potenze con lo stesso esponente

(+40)^{2}:(-8)^{2}=

Per svolgere questo esercizio si applica la quinta proprietà delle potenze, che prevede di lasciare lo stesso esponente e di dividere le basi; quindi avremo:

[(+40):(-8)]^{2}=(-5)^{2}

Ora è sufficiente applicare l’esponente alla base, facendo attenzione al segno del numero che sta alla base: in particolare, la base è un numero negativo, l’esponente è pari, quindi il valore della potenza sarà con segno positivo!

(-5)^{2}=+25

Guarda la video lezione nel canale Youtube matematicaoggi!

Vai alla pagina degli esercizi sulle proprietà delle potenze con i numeri interi relativi!

Multipli, sottomultipli e divisori

Multipli, sottomultipli e divisori: ecco la lezione che fa per te!

Per dire che cos’è un multiplo, è sufficiente pensare alle tabelline.

5, 10, 15, 20, 25, 30, … sono tutti multipli di 5, perché quella (parzialmente scritta) è la tabellina del 5.

Per ottenere i multipli di un numero naturale è sufficiente moltiplicare quel determinato numero naturale per un altro numero naturale.

Ecco allora che 20 è un multiplo di 5, perché esso risulta dalla moltiplicazione 5 · 4.

In questo caso, 5 e 4 sono sottomultipli di 20.

Ricapitolando, se consideriamo 20 = 5 · 4, possiamo affermare che:

  • 20 è multiplo di 5;
  • 20 è multiplo di 4;
  • 5 è sottomultiplo di 20;
  • 4 è sottomultiplo di 20.

Quando si afferma che un numero naturale è divisibile per un altro numero naturale significa che la divisione tra il primo numero ed il secondo dà come quoziente un terzo numero che è sempre naturale, quindi la divisione ha resto zero.

Il numero 6 è divisibile per 2 perché 6 : 2 = 3, con resto 0.

In questo caso, i numeri 2 e 3 sono divisori di 6.

Si può anche affermare che 2 e 3 sono sottomultipli di 6.

Fino ad ora abbiamo avuto a che fare con numeri piccoli: nel momento in cui i numeri iniziano ad essere grandi, allora non è semplice individuare i divisori (o sottomultipli). In tal caso, esistono due strumenti estremamente utili per individuare i divisori:


Vai alla pagina degli esercizi su multipli, sottomultipli e divisori!

Scarica il pdf della lezione su multipli, sottomultipli e divisori!

Proprietà fondamentale delle proporzioni

Quando si parla di proporzioni, la prima regola che è bene memorizzare è quella legata alla proprietà fondamentale:

In una proporzione il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi

Considerando la forma generica:

A : B = C : D

secondo la proprietà fondamentale delle proporzioni, avremo:

B · C = A · D

Questa proprietà è estremamente importante, perché permette, innanzitutto, di verificare se una uguaglianza di rapporti tra grandezze è effettivamente una proporzione; inoltre, se in una proporzione è presente un termine incognito, la proprietà fondamentale delle proporzioni permette di ricavare il valore di questo termine.

Guarda la video lezione nel canale Youtube matematicaoggi!

Esempio 1:

2; 6; 9; 27

Si vuole verificare se questo gruppo di numeri (nell’ordine in cui sono scritti) rappresenta una proporzione, applicando la proprietà fondamentale; in pratica:

2 : 6 = 9 : 27 è una proporzione?

Considerando la regola stabilita dalla proprietà fondamentale, è necessario trovare il prodotto dei medi ed il prodotto degli estremi:

Prodotto dei medi: 6 · 9 = 54

Prodotto degli estremi: 2 · 27 = 54

Come si può facilmente vedere, il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi, quindi si tratta di una proporzione.

Esempio 2:

10; 3; 40; 5

Si vuole verificare se questo gruppo di numeri (nell’ordine in cui sono scritti) rappresenta una proporzione, applicando la proprietà fondamentale; in pratica:

10 : 3 = 40 : 5 è una proporzione?

Considerando la regola stabilita dalla proprietà fondamentale, è necessario trovare il prodotto dei medi ed il prodotto degli estremi:

Prodotto dei medi: 3 · 40 = 120

Prodotto degli estremi: 10 · 5 = 50

Come si può facilmente vedere, il prodotto dei medi non è uguale al prodotto degli estremi, quindi non si tratta di una proporzione.

Esempio 3:

5 : x = 20 : 40

In questo esempio si vuole calcolare il valore del termine incognito x (uno dei medi).

Applicando la proprietà fondamentale, avremo:

20 · x = 5 · 40 (cioè che il prodotto dei medi deve essere uguale al prodotto degli estremi)

Dividendo entrambi i termini per 20, si ottiene:

x= \frac{5\cdot40}{20}=10

La proporzione risulta 5 : 10 = 20 : 40.

Regola pratica: se devo trovare il valore di un medio incognito, faccio il prodotto degli estremi e divido per il medio che conosco!

Esempio 4:

6 : 54 = 2 : x

In questo esempio si vuole calcolare il valore del termine incognito x (uno degli estremi).

Applicando la proprietà fondamentale, avremo:

54 · 2 = 6 · x (cioè che il prodotto dei medi deve essere uguale al prodotto degli estremi)

Dividendo entrambi i termini per 8, si ottiene:

x= \frac{54\cdot2}{6}=18

La proporzione risulta 6 : 54 = 2 : 18.

Regola pratica: se devo trovare il valore di un estremo incognito, faccio il prodotto dei medi e divido per l’estremo che conosco!


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Le proporzioni

Le proporzioni spiegate in modo semplice ma efficace!

Un concetto molto importante in matematica (e non solo) è quello di proporzione.

Una proporzione è una uguaglianza tra due rapporti che si può esprimere in modo generico nella forma:

A : B = C : D

che si legge “A sta a B come C sta a D“.

Una proporzione, quindi, è una relazione che lega tra loro due rapporti: osservando la forma generica sopra riportata (i rapporti sono scritti “in linea”), si può affermare che il rapporto tra i numeri (o grandezze) A e B ha lo stesso valore del rapporto tra i numeri (o grandezze) C e D.

La forma generica si può esprimere anche nel modo seguente (rapporti scritti come frazioni):

\frac{A}{B}=\frac{C}{D}

I numeri che formano la proporzione si definiscono termini della proporzione e, in base alla posizione che occupano, hanno un nome preciso:

  • A e D sono gli estremi;
  • B e C sono i medi;
  • A e C sono gli antecedenti;
  • B e D sono i conseguenti.

Saper dare il giusto nome ai termini di una proporzione è estremamente importante perché permette di applicare le regole delle proporzioni:

Esempio 1:

15 : 3 = 20 : 4

Questa proporzione si legge “15 sta a 3 come 20 sta a 4”.

Ma è una proporzione? Per verificarlo calcoliamo il risultato dei due rapporti che compongono la proporzione, cioè 15 : 3 e 20 : 4, e osserviamo i due risultati:

15 : 3 = 5

20 : 4 = 5

Come si può vedere, i due rapporti che compongono la proporzione hanno lo stesso valore, quindi si tratta di una proporzione.

Esempio 2:

21 : 7 = 18 : 9

Questa proporzione si legge “21 sta a 7 come 18 sta a 9”.

Ma è una proporzione? Per verificarlo calcoliamo il risultato dei due rapporti che compongono la proporzione, cioè 21 : 7 e 18 : 9, e osserviamo i due risultati:

21 : 7 = 3

18 : 9 = 2

Come si può vedere, i due rapporti che compongono la proporzione non hanno lo stesso valore, quindi non si tratta di una proporzione.

Esiste una regola pratica che si utilizza, genericamente, per risolvere una proporzione: questa regola si chiama proprietà fondamentale delle proporzioni.


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Espressioni letterali

In questa lezione parleremo di espressioni letterali, grazie ad una spiegazione semplice ma efficace, esempi ed esercizi!

Un’espressione letterale (o espressione algebrica letterale) è un’insieme di operazioni che legano sia fattori numerici che letterali.

In geometria, per esempio, questi tipi di espressioni permettono di scrivere le formule che si applicano alle figure, ai solidi, ecc.

In generale, il valore di una espressione algebrica letterale è il risultato numerico che si ottiene eseguendo le operazioni previste, applicando alle lettere presenti il valore indicato: il valore dell’espressione, quindi, varia a seconda dei valori numerici che si assegnano alle lettere dell’espressione stessa.

Per risolvere un’espressione letterale si deve, innanzitutto, sostituire alle lettere presenti i valori indicati; in seguito, si applicano le regole previste per la risoluzione delle espressioni numeriche, eventualmente applicando le regole delle potenze (se presenti) e le relative proprietà.

Esempio 1:

a – 2b + 3a

con a = + 2, b = – 3.

Il primo passaggio per poter trovare il valore numerico di questa espressione letterale è quello di sostituire alle lettere (a e b) i valori indicati (sapendo che 2b vuol dire “2 per b” e 3a vuol dire “3 per a“):

+ 2 – 2(- 3) + 3(+ 2) =

Il secondo passaggio prevede di eseguire le operazioni che compaiono, seguendo l’ordine previsto dalle regole di svolgimento delle espressioni numeriche (prima moltiplicazioni e divisioni, poi addizioni e sottrazioni, nell’ordine in cui sono scritte):

+ 2 + 6 + 6 = + 14

Se alle lettere a e b dell’espressione letterale iniziale avessimo assegnato valori numerici diversi da + 2 e – 3, il valore finale dell’espressione letterale sarebbe stato diverso. Per esempio, con a = + 5 e b = + 10 l’espressione sarà la seguente:

+ 5 – 2(+ 10) + 3(+ 5) = + 5 – 20 + 15 = 0

Esempio 2:

a3 – 2b – 3a2 – 5c

con a = + 1, b = – 2, c = + 4

Il primo passaggio per poter trovare il valore numerico di questa espressione letterale è quello di sostituire alle lettere (a, b e c) i valori indicati:

(+ 1)3 – 2(- 2) – 3(+ 1)2 – 5(+ 4) =

Il secondo passaggio prevede di eseguire le operazioni che compaiono, seguendo l’ordine previsto dalle regole di svolgimento delle espressioni numeriche (prima le potenze, poi moltiplicazioni e divisioni, infine addizioni e sottrazioni, nell’ordine in cui sono scritte):

+ 1 + 4 – 3 – 20 = – 18

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m.c.m. di monomi

Il minimo comune multiplo di due o più monomi (m.c.m. di monomi) è il monomio di grado minimo che è loro multiplo comune.

Per calcolare il m.c.m. di monomi si devono analizzare i coefficienti e le parti letterali dei monomi iniziali:

  • il coefficiente numerico (indifferentemente con segno + o -) corrisponde:
    • al m.c.m. dei singoli coefficienti dei monomi iniziali, se questi sono numeri interi;
    • a 1 (per semplicità) se i coefficienti dei monomi iniziali non sono numeri interi;
  • la parte letterale è formata da tutte le lettere comuni e non comuni ai singoli monomi iniziali, prese una sola volta, con il massimo esponente con cui compaiono.

Se i monomi iniziali non hanno lettere comuni, il m.c.m. avrà come parte letterale il prodotto delle loro parti letterali.

Esempio 1:

m.c.m. (2a2b3; -3a4c)

Prima di tutto si ricava il m.c.m. dei coefficienti: in questo caso si deve calcolare il minimo comune multiplo tra 2 e 3, cioè:

m.c.m. (2; 3) = 6

Passando alla parte letterale, è conveniente analizzare ogni lettera che compare nei monomi iniziali, iniziando da quelle comuni (c’è solo a) e passando poi a quelle non comuni (b e c):

  • tra a2 del primo monomio e a4 del secondo monomio, si considera a4, perché ha l’esponente più alto;
  • nel primo monomio appare b3; essendo l’unica b presente, la si considera con l’esponente con cui compare, quindi b3;
  • nel secondo monomio appare c; essendo l’unica c presente, la si considera con l’esponente con cui compare, quindi c.

Si può concludere, quindi, che la parte letterale del m.c.m. sarà formata da a4b3c.

Per finire, il minimo comune multiplo corrisponde a +6a4b3c (si è scelto segno + per semplicità):

m.c.m. (2a2b3; -3a4c) = +6a4b3c

Esempio 2:

m.c.m. (3xy4; -6x2z; 9x3y6)

Prima di tutto si ricava il m.c.m. dei coefficienti: in questo caso si deve calcolare il minimo comune multiplo tra 3, 6 e 9, cioè:

m.c.m. (3; 6; 9) = 18

Passando alla parte letterale, è conveniente analizzare ogni lettera che compare nei monomi iniziali, iniziando da quelle comuni (c’è solo x) e passando poi a quelle non comuni (y e z):

  • tra x del primo monomio, x2 del secondo monomio e x3 del terzo monomio si considera x3, perché ha l’esponente più alto;
  • nel primo monomio appare y4, mentre nel terzo monomio appare y6: tra le due, si sceglie quella con esponente più alto, quindi y6;
  • nel secondo monomio appare z; essendo l’unica z presente, la si considera con l’esponente con cui compare, quindi z.

Si può concludere, quindi, che la parte letterale del m.c.m. sarà formata da x3y6z.

Per finire, il minimo comune multiplo corrisponde a +18x3y6z (si è scelto segno + per semplicità):

m.c.m. (3xy4; -6x2z; 9x3y6) = +18x3y6z

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M.C.D. di monomi

Il Massimo Comune Divisore di due o più monomi (M.C.D. di monomi) è il monomio di grado massimo che è loro divisore comune.

Per calcolare il M.C.D. di monomi si devono analizzare i coefficienti e le parti letterali dei monomi iniziali:

  • il coefficiente numerico (indifferentemente con segno + o -) corrisponde:
    • al M.C.D. dei singoli coefficienti dei monomi iniziali, se questi sono numeri interi;
    • a 1 (per semplicità) se i coefficienti dei monomi iniziali non sono numeri interi;
  • la parte letterale è formata da tutte le lettere comuni ai singoli monomi iniziali, prese una sola volta, con il minimo esponente con cui compaiono.

Nel caso in cui il M.C.D. di due o più monomi non contiene parte letterale, si dice che i monomi sono primi tra loro.

Esempio 1:

M.C.D. (2a2b3; 4a3b)

Prima di tutto si ricava il M.C.D. dei coefficienti: in questo caso si deve calcolare il Massimo Comune Divisore tra 2 e 4, cioè:

M.C.D. (2; 4) = 2

Passando alla parte letterale, si può notare che nei monomi iniziali appaiono sia a che b, quindi entrambe le lettere sono comuni:

  • tra a2 del primo monomio e a3 del secondo monomio, si considera a2, perché ha l’esponente più basso;
  • tra b3 del primo monomio e b del secondo monomio, si considera b, perché ha l’esponente più basso.

Da queste considerazioni, si può concludere che la parte letterale del M.C.D. sarà formata da a2b.

Per finire, il Massimo Comune Divisore corrisponde a 2a2b, quindi:

M.C.D. (2a2b3; 4a3b) = 2a2b

Esempio 2:

M.C.D. (-x2y; +xz; -2xy4)

Prima di tutto si ricava il M.C.D. dei coefficienti: in questo caso si deve calcolare il Massimo Comune Divisore tra 1, 1 e 2, cioè:

M.C.D. (1; 1; 2) = 1

Passando alla parte letterale, si può notare che l’unica lettera comune a tutti i monomi è x, poiché y è presente solamente nel primo e nel terzo monomio, mentre z è presente solo nel secondo; la lettera x ha esponente 2 nel primo monomio e 1 sia nel secondo che nel terzo monomio: si considera, quindi, x perché ha l’esponente più basso.

Da queste considerazioni, si può concludere che la parte letterale del M.C.D. sarà formata da x.

Per finire, il Massimo Comune Divisore corrisponde a +x (si è scelto segno + per semplicità), quindi:

M.C.D. (-x2y; +xz; -2xy4) = +x

Esempio 3:

M.C.D. (2a3b; 4cx)

Prima di tutto si ricava il M.C.D. dei coefficienti: in questo caso si deve calcolare il Massimo Comune Divisore tra 2 e 4, cioè:

M.C.D. (2; 4) = 2

Passando alla parte letterale, si può notare che non ci sono lettere comuni ad entrambi i monomi (a e b sono presenti nel primo monomio, ma non nel secondo; c e x sono presenti nel secondo monomio, ma non nel primo).

La considerazione riguardo alla parte letterale porta a concludere che il M.C.D. tra i monomi di questo esempio è uguale a 2, quindi – non essendoci parte letterale – i monomi sono primi tra loro.

M.C.D. (2a3b; 4cx) = 2

2a3b e 4cx sono monomi primi tra loro.

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Scomposizione di un polinomio in fattori

La scomposizione di polinomi in fattori (detta anche scomposizione in fattori di un polinomio) è un’operazione che assume in algebra un’importanza rilevante.

Scomporre un polinomio in fattori significa trasformare una somma algebrica di monomi in un prodotto di polinomi di grado inferiore: la scomposizione, quindi, corrisponde all’inverso della moltiplicazione.

Non sempre è possibile scomporre un polinomio: si definisce irriducibile un polinomio che è divisibile solo per 1 e per se stesso, quindi è un polinomio che non può essere scomposto.

Non esistono delle regole di carattere generale applicabili a tutti i polinomi. Esistono, tuttavia, alcuni procedimenti risolutivi che permettono di scomporre un polinomio in fattori:


Ecco altre lezioni sui polinomi:


Sei un insegnante o, semplicemente, ti incuriosisce il mondo della didattica in generale? Ecco un progetto molto interessante, parallelo a matematicaoggi, dedicato alla didattica: didatticaoggi! Riflessioni, esperienze didattiche e molto altro!

Scomposizione con quadrato di un binomio

Scomposizione con quadrato di un binomio: la lezione che ti chiarirà ogni dubbio!

La scomposizione di un polinomio, in alcuni casi, è possibile facendo riferimento ai prodotti notevoli.

Se il polinomio da scomporre è un trinomio, è possibile – con alcune condizioni – che la scomposizione da applicare sia quella del quadrato di un binomio.

Le forme generiche di questa scomposizione sono le seguenti:

a2 + 2abb2 = (a + b)2

a2 – 2abb2 = (ab)2

Osservando le forme generiche, si deve verificare che il trinomio sia composto da:

  • due termini che sono due quadrati (a2 è il quadrato di ab2 è il quadrato di b);
  • un termine che corrisponde al doppio prodotto delle basi (+ 2ab è il doppio prodotto di a e b, nel primo caso; – 2ab è il doppio prodotto di a e b, nel secondo caso).

Concludendo, se in un trinomio due termini sono dei quadrati e il terzo termine è il doppio prodotto delle relative basi, il trinomio corrisponde allo sviluppo del quadrato di un binomio.

Esempio 1:

x2 + 4x + 4

Osservando i termini del trinomio, si può verificare che:

  • x2 è il quadrato di x;
  • 4 è il quadrato di 2;
  • 4x è il doppio prodotto delle due basi, cioè 2 · 2 · = 4x.

Questo permette di affermare che il trinomio da scomporre è lo sviluppo di un quadrato di un binomio, quindi è possibile eseguire la scomposizione come segue:

x2 + 4x + 4 = (x + 2)2

Per verificare che la scomposizione ottenuta è corretta, è sufficiente eseguire la potenza, quindi risolvere il quadrato del binomio, secondo la regola generale:

(x + 2)2 = (x)2 + 2 · 2 · + (2)2 = x2 + 4x + 4

Esempio 2:

4a4 – 12a2b + 9b2

Osservando i termini del trinomio, si può verificare che:

  • 4a4 è il quadrato di 2a2;
  • 9b2 è il quadrato di – 3b (lo consideriamo negativo perché il doppio prodotto è negativo);
  • – 12a2b è il doppio prodotto delle due basi, cioè 2 · 2a2 · (- 3b) = – 12a2b.

Questo permette di affermare che il trinomio da scomporre è lo sviluppo di un quadrato di un binomio, quindi è possibile eseguire la scomposizione come segue:

4a4 – 12a2b + 9b2 = (2a2 – 3b)2

Per verificare che la scomposizione ottenuta è corretta, è sufficiente eseguire la potenza, quindi risolvere il quadrato del binomio, secondo la regola generale:

(2a2 – 3b)2 = (2a2)2 + 2 · 2a2 · (- 3b) + (- 3b)2 = 4a4 – 12a2b + 9b2

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Scomposizione con differenza di due quadrati

Scomposizione con differenza di due quadrati: ecco la lezione che ti chiarirà ogni dubbio!

La scomposizione di un polinomio, in alcuni casi, è possibile facendo riferimento ai prodotti notevoli.

Se il polinomio da scomporre è un binomio costruito dalla differenza di due monomi che sono due quadrati, allora la scomposizione da applicare è quella della differenza di due quadrati.

La forma generica di questa scomposizione è la seguente:

a2b2 = (a + b)(ab)

È importante, quindi, verificare che i due monomi che compongono il binomio sono riconducibili a due quadrati.

Una volta verificata questa condizione, la scomposizione si ottiene scrivendo il prodotto della somma delle basi per la loro differenza.

Esempio 1:

4x2 – 25

Osservando il due termini del binomio, si può verificare che:

  • 4x2 è il quadrato di 2x;
  • 25 è il quadrato di 5;
  • tra i due termini c’è il segno meno.

Questo permette di affermare che si tratta di una differenza di due quadrati, quindi è possibile eseguire la scomposizione come segue:

4x2 – 25 = (2x + 5)(2x – 5)

Per verificare che la scomposizione ottenuta è corretta, è sufficiente eseguire la moltiplicazione:

(2x + 5)(2x – 5) = 4x2 – 10x + 10x – 25 = 4x2 – 25

I termini evidenziati in rosso si annullano, ottenendo così il polinomio iniziale.

Esempio 2:

16a4 – 9b2

Osservando il due termini del binomio, si può verificare che:

  • 16a4 è il quadrato di 4a2;
  • 9b2 è il quadrato di 3b;
  • tra i due termini c’è il segno meno.

Questo permette di affermare che si tratta di una differenza di due quadrati, quindi è possibile eseguire la scomposizione come segue:

16a4 – 9b2 = (4a2 + 3b)(4a2 – 3b)

Per verificare che la scomposizione ottenuta è corretta, è sufficiente eseguire la moltiplicazione:

(4a2 + 3b)(4a2 – 3b) = 16a4 – 12a2b + 12a2b – 9b2 = 16a4 – 9b2

I termini evidenziati in rosso si annullano, ottenendo così il polinomio iniziale.

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Somma o differenza di due cubi

La scomposizione di un polinomio scritto come somma di due cubi (o differenza di due cubi) è possibile se il polinomio è composto da due monomi che hanno:

  • i coefficienti cubi perfetti;
  • le parti letterali con gli esponenti divisibili per 3.

Genericamente, la scomposizione della somma di due cubi può essere espressa nella forma:

a3 + b3 = (a + b)(a2ab + b2)

In modo analogo, la scomposizione della differenza di due cubi può essere espressa genericamente come:

a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2)

Osservando le scomposizioni, la somma di due cubi (o la differenza di due cubi) può essere espressa come il prodotto tra:

  • la somma (o la differenza) tra le basi (a è la base di a3; b è la base di b3);
  • il trinomio composta da:
    • il quadrato della prima base (a2 è il quadrato di a);
    • il prodotto delle basi, cambiato di segno (ab nel caso di somma di due cubi; + ab nel caso di differenza di due cubi);
    • il quadrato della seconda base (b2 è il quadrato di b).

Esempio 1:

8x3 + 27y3

Osservando il polinomio si può notare che:

  • i coefficienti sono cubi perfetti (8 è il cubo di 2; 27 è il cubo di 3);
  • le parti letterali hanno gli esponenti che sono divisibili per 3 (entrambi gli esponenti di x e di y sono uguali a 3).

Questo porta ad affermare che il polinomio 8x3 + 27y3 corrisponde alla somma di due cubi, quindi si può scomporre.

Applicando la regola generale sopra riportata, la scomposizione sarà:

8x3 + 27y3 = (2x + 3y)(4x2 – 6xy + 9y2)

Per verificare che la scomposizione è corretta, è sufficiente eseguire il prodotto:

(2x + 3y)(4x2 – 6xy + 9y2) = 8x3 – 12x2y + 18xy2 + 12x2y – 18xy2 + 27y38x3 + 27y3

I termini evidenziati in rosso e in blu si annullano e si ottiene il polinomio iniziale: questo porta ad affermare che la scomposizione è corretta.

Esempio 2:

a9 – 64b6

Osservando il polinomio si può notare che:

  • i coefficienti sono cubi perfetti (1 è il cubo di 1; 64 è il cubo di 4);
  • le parti letterali hanno gli esponenti che sono divisibili per 3 (a ha esponente uguale a 9; b ha esponente uguale a 6).

Questo porta ad affermare che il polinomio a9 – 64b6 corrisponde alla differenza di due cubi, quindi si può scomporre.

Applicando la regola generale sopra riportata, la scomposizione sarà:

a9 – 64b6 = (a3 – 4b2)(a6 + 4a3b2 + 16b4)

Per verificare che la scomposizione è corretta, è sufficiente eseguire il prodotto:

(a3 – 4b2)(a6 + 4a3b2 + 16b4) = a9 + 4a6b2 + 16a3b4 – 4a6b2 – 16a3b4 – 64b6 = a9 – 64b6

I termini evidenziati in rosso e in blu si annullano e si ottiene il polinomio iniziale: questo porta ad affermare che la scomposizione è corretta.

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Trinomio notevole (somma e prodotto)

Il trinomio notevole è un particolare trinomio di secondo grado che presenta alcune caratteristiche specifiche.

Si considera un trinomio di secondo grado della forma:

x2 + sx + p

in cui s e p sono coefficienti numerici che soddisfano queste condizioni:

  • s = n1 + n2 (cioè la somma di due numeri)
  • p = n1 · n2 (cioè il prodotto di due numeri)

Sostituendo i valori di s e di p nel trinomio di secondo grado generico si ottiene:

x2 + (n1 + n2)x + (n1 · n2)

Se esistono due numeri n1 e n2 che rispettano le condizioni sopra riportate (esistono, quindi, la somma e il prodotto), allora si può procedere alla scomposizione del trinomio notevole con somma e prodotto nel modo seguente:

x2 + sx + p = (x + n1)(x + n2)

Esempio 1:

x2 + 9x + 20

L’analisi del trinomio inizia chiedendosi se esistono due numeri tali che:

  • s = n1 + n2 = + 9
  • p = n1 · n2 = + 20

La coppia di valori che rispetta le condizioni sopra riportare è (+ 4; + 5); si può facilmente verificare che i valori sono corretti con un paio di semplici calcoli:

  • s = n1 + n2 = + 4 + 5 = + 9
  • p = n1 · n2 = (+ 4) · (+ 5) = + 20

I valori + 4 e + 5 sono quelli necessari per ottenere la scomposizione del trinomio:

x2 + 9x + 20 = (x + 4)(x + 5)

Per verificare che la scomposizione è corretta, è sufficiente eseguire il prodotto:

(x + 4)(x + 5) = x2 + 5x + 4x + 20 = x2 + 9x + 20

Esempio 2:

x2 + 5x – 14

L’analisi del trinomio inizia chiedendosi se esistono due numeri tali che:

  • s = n1 + n2 = + 5
  • p = n1 · n2 = – 14

La coppia di valori che rispetta le condizioni sopra riportare è (+ 7; – 2); si può facilmente verificare che i valori sono corretti con un paio di semplici calcoli:

  • s = n1 + n2 = + 7 – 2 = + 5
  • p = n1 · n2 = (+ 7) · (- 2) = – 14

I valori + 7 e – 2 sono quelli necessari per ottenere la scomposizione del trinomio:

x2 + 5x – 14 = (x + 7)(x – 2)

Per verificare che la scomposizione è corretta, è sufficiente eseguire il prodotto:

(x + 7)(x – 2) = x2 – 2x + 7x – 14 = x2 + 5x – 14


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Raccoglimento a fattor comune parziale

Il raccoglimento a fattor comune parziale (o più semplicemente raccoglimento parziale) si può applicare quando nel polinomio si possono mettere in evidenza alcuni fattori, cioè nel caso in cui il polinomio ha fattori comuni “a gruppi”.

La scomposizione di polinomi con raccoglimento a fattor comune parziale si applica, in genere, a quei polinomi che hanno un numero di termini pari.

Esempio 1:

x2 + xy + 2x + 2y

Osservando il polinomio si può notare che non esiste un fattore comune a tutti i termini che lo compongono (quindi non è possibile applicare il raccoglimento a fattor comune totale); si può però notare che i primi due termini (x2 e xy) hanno in comune il fattore x, mentre gli altri due termini (2x e 2y) hanno in comune il fattore 2.

Si può, quindi, operare un primo raccoglimento, ottenendo così:

x2 + xy + 2x + 2y = x (x + y) + 2 (x + y)

Ora non resta che raccogliere il termine (x + y), ottenendo così:

x2 + xy + 2x + 2y = x (x + y) + 2 (x + y) = (x + y)(x + 2)

In modo alternativo, la scomposizione con raccoglimento parziale appena svolta si poteva ottenere raccogliendo – nel primo passaggio – il termine x tra il primo e il terzo monomio (x2 e 2x) e il termine y tra il secondo e il quarto monomio (xy e 2y), ottenendo così:

x2 + xy + 2x + 2y = x (x + 2) + y (x + 2) = (x + 2)(x + y)

Come si può notare, i risultati delle scomposizioni sono equivalenti.

Esempio 2:

a3 + a2 + aa2b + ab + b

Osservando il polinomio si può notare che i primi tre termini (a3a2 e a) hanno in comune il fattore a, mentre gli altri tre termini (a2bab e b) hanno in comune il fattore b.

Si può, quindi, operare un primo raccoglimento, ottenendo così:

a3 + a2 + aa2b + ab + b = a (a2 + a + 1) + b (a2 + a + 1)

Ora non resta che raccogliere il termine (a2 + a + 1), ottenendo così:

a3 + a2 + aa2b + ab + b = a (a2 + a + 1) + b (a2 + a + 1) = (a2 + a + 1)(+ b)

In modo alternativo, la scomposizione con raccoglimento parziale appena svolta si poteva ottenere raccogliendo – nel primo passaggio – il termine a2 tra il primo e il quarto monomio (a3 e a2b), il termine a tra il secondo e il quinto monomio (a2 e ab), il termine 1 tra il terzo e il sesto monomio (a e b), ottenendo così:

a3 + a2 + aa2b + ab + b a2 (a + b) + a (a + b) + 1 (a + b) = (+ b)(a2 + a + 1)

Come si può notare, i risultati delle scomposizioni sono equivalenti.

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Scarica il pdf della lezione sul raccoglimento a fattor comune parziale!

Raccoglimento a fattor comune totale

Il raccoglimento a fattor comune totale (o più semplicemente raccoglimento totale) è il modo più semplice per scomporre un polinomio.

Per poter applicare questa operazione di scomposizione è necessario che tutti i termini del polinomio abbiano un divisore comune: si deve, quindi, identificare il M.C.D. del polinomio.

Una volta trovato il M.C.D. del polinomio, si utilizza la proprietà del raccoglimento per ottenere la scomposizione.

Esempio 1:

15a2 + 10a3 – 20a5

Per scomporre il polinomio si deve calcolare il M.C.D.: osservando i termini del polinomio, si può facilmente notare che:

  • per i coefficienti (15, 10 e 20) il M.C.D. è 5;
  • per le parti letterali (a2, a3 e a5) il M.C.D. è a2;

Il M.C.D. dei termini è 5a2: questo sarà il termine che verrà “raccolto” dal polinomio iniziale per poterlo scomporre. Si avrà quindi:

15a2 + 10a3 – 20a5 = 5a2 (3+ 2a – 4a3)

Esempio 2:

2xy3z4 – 3x3y2zx2y3 – 4x4y4z

Per scomporre il polinomio si deve calcolare il M.C.D.: osservando i termini del polinomio, si può facilmente notare che:

  • per i coefficienti (2, 3, 1 e 4) il M.C.D. è 1;
  • per le parti letterali (xy3z4x3y2zx2y3 e x4y4z) il M.C.D. è xy2;

Il M.C.D. dei termini è xy2: questo sarà il termine che verrà “raccolto” dal polinomio iniziale per poterlo scomporre. Si avrà quindi:

2xy3z4 – 3x3y2zx2y3 – 4x4y4z = xy2 (2yz4 – 3x2zxy – 4x3y2z)

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Problemi con minimo comune multiplo (m.c.m.)

Nella pratica è possibile incontrare problemi che richiedono il calcolo del minimo comune multiplo (m.c.m.).

Ecco un esempio:

Tre lampadine di accendono, rispettivamente, ogni 6 secondi, ogni 10 secondi e ogni 12 secondi. Ora sono le 10:00 e si sono accese tutte insieme: a che ora si accenderanno ancora contemporaneamente? Quante volte si accenderanno insieme in un’ora?

Questo è un tipico problema risolvibile con il minimo comune multiplo: si considerano tre grandezze che si ripetono (quindi si devono trovare dei multipli di queste grandezze); viene chiesta la contemporaneità (quindi i multipli devono essere comuni); si chiede il momento in cui avverrà di nuovo la contemporaneità (tra i multipli comuni si deve considerare quello minimo).

Questo ragionamento ci porta a concludere che il tempo che passerà prima che le lampadine si accendano nuovamente tutte insieme corrisponde al minimo comune multiplo dei tempi iniziali.

Si procede, quindi, con il calcolo di m.c.m. (6; 10; 12).

La scomposizione in fattori primi dei tre numeri porta ai seguenti risultati:

6=2\cdot3

10=2\cdot5

12= 2^{2}\cdot3

Per il calcolo del m.c.m. si devono considerare i fattori comuni e i fattori non comuni, con il più alto esponente: in questo caso, l’unico fattore comune è il 2, quello con esponente più alto è 22; 3 e 5 sono fattori non comuni, quindi:

m.c.m. (6; 10; 12) = 22 · 3 · 5 = 60

Sono, quindi, 60 secondi, cioè 1 minuto: se le tre lampadine si sono accese contemporaneamente alle 10:00, si accenderanno di nuovo contemporaneamente dopo 1 minuto, quindi alle 10:01.

Per stabilire quante volte le tre lampadine si accenderanno insieme in un’ora, è sufficiente dividere il numero di minuti che ci sono in un’ora (60) per il tempo comune di accensione:

60 minuti : 1 minuto = 60.

Le tre lampadine si accenderanno contemporaneamente 60 volte in un’ora.

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Problemi con massimo comune divisore (M.C.D.)

Nella pratica è possibile incontrare problemi che richiedono il calcolo del Massimo Comune Divisore (M.C.D.).

Ecco un esempio:

Tre tubi di alluminio sono lunghi rispettivamente 24 cm, 36 cm e 40 cm: questi tubi vanno tagliati e si vogliono ottenere dei pezzi tutti uguali e della massima lunghezza possibile, senza che avanzino pezzi. Qual è la lunghezza dei pezzi? Quanti pezzi si ottengono?

Questo è un tipico problema risolvibile con il Massimo Comune Divisore: si considerano tre grandezze che vanno tagliate (quindi si devono trovare dei divisori di queste grandezze); i pezzi devono essere tutti uguali (quindi i divisori devono essere comuni); i pezzi devono essere della massima lunghezza possibile, senza avanzare pezzi (quindi tra i divisori comuni si deve scegliere quello massimo).

Questo ragionamento ci porta a concludere che la lunghezza dei pezzi da tagliare corrisponde al Massimo Comune Divisore delle lunghezze dei tre tubi di alluminio iniziali.

Si procede, quindi, con il calcolo di M.C.D. (24; 36; 40).

La scomposizione in fattori primi dei tre numeri porta ai seguenti risultati:

24= 2^{3}\cdot3

36= 2^{2}\cdot 3^{2}

40= 2^{3}\cdot 5

Per il calcolo del M.C.D. si devono considerare solo i fattori comuni, con il più basso esponente: in questo caso, l’unico fattore comune è il 2, quello con esponente più basso è 22, quindi:

M.C.D. (24; 36; 40) = 22 = 4

Sono, quindi, 4 cm, cioè la lunghezza dei pezzi che verranno tagliati.

Per stabilire quanti pezzi si ottengono, è sufficiente sommare le lunghezze dei tre tubi di alluminio iniziali e dividere per la lunghezza dei pezzi:

24 + 36 + 40 = 100 cm : 4 cm = 25 pezzi.

In totale si ottengono 25 pezzi.

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Enti geometrici fondamentali

Gli enti geometrici fondamentali (detti anche termini primitivi della geometria) sono dei concetti di base, privi di una vera e propria definizione, dai quali si parte per “costruire” la geometria, che è fatta di assiomi, teoremi e dimostrazioni.

Gli enti geometrici fondamentali sono:

  • Il punto;
  • La retta;
  • Il piano.

Il punto

Per definire che cos’è un punto, si può immaginare un granello di sabbia oppure il piccolissimo segno lasciato dalla punta di una matita o di una penna su un foglio.

Il punto

Caratteristiche del punto:

  • È privo di dimensione;
  • Indica una posizione;
  • Si indica con una lettera maiuscola del nostro alfabeto (A, B, …).

La retta

Per definire che cos’è una retta, si può immaginare di iniziare a tracciare una linea, come un filo perfettamente steso, che mantiene sempre la stessa direzione e che non ha una fine, né da una parte, né dall’altra.

La retta

Caratteristiche della retta:

  • Ha una sola dimensione, la lunghezza;
  • È un insieme infinito di punti, che mantengono sempre la stessa direzione;
  • Si indica con una lettera minuscola del nostro alfabeto (a, b, …).

Il piano

Per definire che cos’è un piano, si può considerare un foglio o il piano di un tavolo e immaginarli che si estendono all’infinito lungo i loro lati. Per semplicità, solitamente si rappresenta come segue:

Il piano

Caratteristiche del piano:

  • Ha due dimensioni, la lunghezza e la larghezza;
  • È un insieme infinito di punti e rette;
  • Si indica con una lettera minuscola dell’alfabeto greco (α, β, …).

Relazioni tra enti geometrici fondamentali

  • Per un punto passano infinite rette (fascio di rette).

Fascio di rette

  • Per due punti distinti passa una e una sola retta.

Retta e due punti

  • Per tre punti allineati passa una e una sola retta. Per tre punti non allineati non passano rette.

Retta e tre punti

  • Per tre punti allineati, o per una retta, passano infiniti piani (fascio di piani).

Fascio di piani

  • Per tre punti non allineati passa uno e un solo piano.

Piano e tre punti

Test a risposta multipla!

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Criterio generale di divisibilità

Il criterio generale di divisibilità permette di stabilire se un numero naturale è divisibile per un altro numero naturale, senza eseguire la divisione.

Il primo passaggio consiste nella scomposizione in fattori primi dei numeri che si prendono in considerazione.

Un volta eseguita la scomposizione, si osservano i fattori: si può affermare che i due numeri sono divisibili se nella scomposizione in fattori primi del dividendo (primo numero) si trovano tutti i fattori primi del divisore (secondo numero), con esponente maggiore o uguale.

Infine, è possibile ottenere il quoziente della divisione, dividendo i fattori corrispondenti del dividendo e del divisore, applicando la seconda proprietà delle potenze (quoziente di potenze con la stessa base).

Esempio 1:

Verificare se 504 è divisibile per 36. Eventualmente, eseguire la divisione.

1_Scomposizione in fattori primi dei due numeri:

Criterio generale di divisibilità

504= 2^{3}\cdot 3^{2}\cdot 7

36= 2^{2}\cdot 3^{2}

2_Osservando la scomposizione in fattori primi del numero 504 si può vedere che i fattori hanno esponente maggiore o uguale ai fattori del numero 36: si può, quindi, affermare che 504 è divisibile per 36.

3_Quoziente della divisione: il quoziente si può ottenere dividendo tra loro i fattori primi corrispondenti ottenuti dalla scomposizione in fattori primi:

504:36=(2^{3}\cdot3^{2}\cdot7):(2^{2}\cdot3^{2})=(2^{3}:2^{2})\cdot(3^{2}:3^{2})\cdot7=2^{1}\cdot3^{0}\cdot7=2\cdot1\cdot7=14

Esempio 2:

Verificare se 810 è divisibile per 324. Eventualmente, eseguire la divisione.

1_Scomposizione in fattori primi dei due numeri:

Criterio generale di divisibilità_2

810=2\cdot 3^{4}\cdot5

324= 2^{2}\cdot 3^{4}

2_Osservando la scomposizione in fattori primi del numero 810 si può vedere che il fattore 2 ha esponente minore del fattore 2 del numero 324: si può, quindi, affermare che 810 non è divisibile per 324.

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Vai alla pagina degli esercizi sul criterio generale di divisibilità!

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Operazioni con le frazioni

In questa pagina analizziamo le operazioni con le frazioni.

In generale, i calcoli con le frazioni sono più semplici se vengono eseguiti con le corrispondenti frazioni ridotte ai minimi termini (vai alla lezione sulla semplificazione di una frazione). Quindi, prima di eseguire le operazioni, conviene sempre – se possibile – ridurre le frazioni ai minimi termini (cioè semplificarle).

Ciò permette di ridurre al minimo gli errori, poiché si eseguono calcoli con numeri più piccoli.

Nota importante: nel caso in cui vi siano numeri interi, questi vanno considerati come frazioni con denominatore 1.

Qui di seguito trovate le lezioni sulle operazioni con le frazioni:

Una lezione particolarmente importante è quella che riguarda le espressioni con le frazioni: in essa trovano applicazione tutte le operazioni sopra presentate, quindi – per completezza – non perdere anche questa spiegazione!

Nel canale Youtube matematicaoggi è presente un’interessante playlist con una serie di videolezioni coinvolgenti, che completano le lezioni sopra elencate.


Vai alla pagina degli esercizi su questo argomento!

Test a risposta multipla, utile per valutare il tuo apprendimento!


Sei un insegnante o, semplicemente, ti incuriosisce il mondo della didattica in generale? Ecco un progetto molto interessante, parallelo a matematicaoggi, dedicato alla didattica: didatticaoggi! Riflessioni, esperienze didattiche e molto altro!

Divisione di frazioni

Prima di capire come si svolge la divisione di frazioni, è importante chiarire il concetto di reciproco di una frazione.

Se consideriamo la frazione:

\frac{n}{m}

il reciproco di questa frazione si ottiene invertendo la posizione di numeratore e denominatore (in pratica si cambiano di posto), quindi si ottiene:

\frac{m}{n}

Vediamo alcuni esempi numerici, riportati nella seguente tabella:

Frazione iniziale Reciproca
\frac{3}{2} \frac{2}{3}
\frac{7}{15} \frac{15}{7}
\frac{1}{12} \frac{12}{1}=12
5=\frac{5}{1} \frac{1}{5}

Chiarito questo concetto, passiamo all’argomento della lezione.

Per eseguire la divisione di frazioni, è necessario – innanzitutto – trasformare la divisione in una moltiplicazione: il dividendo (la prima frazione) rimane uguale, mentre del divisore (la seconda frazione) se ne fa il reciproco (si invertono numeratore e denominatore). In seguito, si risolve la moltiplicazione seguendo le regole della moltiplicazione di frazioni.

Esempio 1:

\frac{15}{4}:\frac{18}{5}=

si trasforma la divisione in moltiplicazione e si scrive la reciproca della seconda frazione, ottenendo:

\frac{15}{4}\cdot\frac{5}{18}=

si procede come per la moltiplicazione, ottenendo:

Divisione di frazioni

Esempio 2:

\frac{14}{5}:\frac{28}{5}:\frac{2}{3}=

si trasformano le divisioni in moltiplicazioni e si scrivono le reciproche della seconda e della terza frazione, ottenendo:

\frac{14}{5}\cdot\frac{5}{28}\cdot\frac{3}{2}=

si procede come per la moltiplicazione, ottenendo:

Divisione di frazioni_2Guarda la video lezione nel canale Youtube matematicaoggi!

Vai alla pagina degli esercizi sulla divisione tra frazioni e sulle operazioni con le frazioni in generale!

Questa che abbiamo appena presentato  non è l’unica operazione che è possibile svolgere con le frazioni.

Se desideri, puoi accedere ad altre lezioni sulle operazioni con le frazioni! In particolare:

E per finire, non perdere una lezione semplice ma efficace sulle espressioni con le frazioni!

Nel canale Youtube matematicaoggi è presente un’interessante playlist con una serie di videolezioni coinvolgenti, che completano le lezioni sopra elencate.

Moltiplicazione di frazioni

In questa lezione vedremo come si svolge la moltiplicazione di frazioni.

Per trovare il prodotto di frazioni, è consigliabile verificare, prima di tutto, se sono possibili semplificazioni:

  • tra numeratore e denominatore della stessa frazione (vai alla lezione sulla semplificazione di frazioni);
  • tra numeratore di una frazione e denominatore di un’altra frazione e viceversa.

Il prodotto si ottiene eseguendo la moltiplicazione tra i numeratori e la moltiplicazione tra i denominatori.

Esempio 1:

\frac{20}{7}\cdot\frac{14}{5}=

il numeratore della prima frazione è semplificabile con il denominatore della seconda frazione (20 è multiplo di 5) e il denominatore della prima frazione è semplificabile con il numeratore della seconda frazione (14 è multiplo di 7); si ottiene così:

Moltiplicazione di frazioni

A questo punto non resta che eseguire la moltiplicazione tra i numeratori e la moltiplicazione tra i denominatori, ottenendo così:

\frac{4}{1}\cdot\frac{2}{1}=\frac{8}{1}=8

Esempio 2:

\frac{11}{7}\cdot\frac{7}{10}\cdot\frac{5}{33}=

il numeratore della prima frazione è semplificabile con il denominatore della terza frazione (33 è multiplo di 11), il numeratore della terza frazione è semplificabile con il denominatore della seconda frazione (10 è multiplo di 5) e il denominatore della prima frazione è semplificabile con il numeratore della seconda frazione (7 è divisibile per se stesso); si ottiene così:

Moltiplicazione di frazioni_2

A questo punto non resta che eseguire la moltiplicazione tra i numeratori e la moltiplicazione tra i denominatori, ottenendo così:

\frac{1}{1}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}=\frac{1}{6}

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Questa che abbiamo appena presentato  non è l’unica operazione che è possibile svolgere con le frazioni.

Se desideri, puoi accedere ad altre lezioni sulle operazioni con le frazioni! In particolare:

E per finire, non perdere una lezione semplice ma efficace sulle espressioni con le frazioni!

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Sottrazione di frazioni

In questa lezione vedremo come si svolge la sottrazione di frazioni.

Per trovare la differenza di frazioni si opera in modo del tutto simile a quanto visto per l’addizione di frazioni, quindi è necessario calcolare prima di tutto il denominatore comune, cioè il m.c.d. (m.c.m. dei denominatori – vai alla lezione sul calcolo del m.c.m.) delle frazioni da sottrarre. In seguito si operano le trasformazioni come avviene per la riduzione di più frazioni allo stesso denominatore.

Esempio 1:

\frac{7}{5}-\frac{1}{2}=

Il denominatore comune (m.c.m.) tra 5 e 2 è 10, quindi si avrà:

\frac{(10:5)\cdot7-(10:2)\cdot1}{10}=

cioè si divide il m.c.d. per i denominatori delle frazioni iniziali e si moltiplicano i quozienti ottenuti per i rispettivi numeratori; in questo modo di ottiene:

\frac{14-5}{10}=\frac{9}{10}

Esempio 2:

3-\frac{3}{7}-\frac{5}{14}=

Il numero 3 lo consideriamo una frazione con denominatore 1:

\frac{3}{1}-\frac{3}{7}-\frac{5}{14}=

Il denominatore comune tra 1, 7 e 14 è 14, quindi si avrà:

\frac{(14:1)\cdot3-(14:7)\cdot3-(14:14)\cdot5}{14}=

cioè si divide il m.c.d. per i denominatori delle frazioni iniziali e si moltiplicano i quozienti ottenuti per i rispettivi numeratori; in questo modo di ottiene:

\frac{42-6-5}{14}=\frac{31}{14}

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Questa che abbiamo appena presentato  non è l’unica operazione che è possibile svolgere con le frazioni.

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Addizione di frazioni

Una lezione completa e chiara sull’addizione di frazioni: tutto ciò che c’è da sapere lo trovi qui!

Per trovare la somma di frazioni, è necessario calcolare prima di tutto il denominatore comune, cioè il m.c.d. (m.c.m. dei denominatori – vai alla lezione sul calcolo del m.c.m.) delle frazioni da sommare. In seguito si operano le trasformazioni come avviene per la riduzione di più frazioni allo stesso denominatore.

Esempio 1:

\frac{2}{5}+\frac{1}{3}=

Il denominatore comune (m.c.m.) tra 5 e 3 è 15, quindi si avrà:

\frac{(15 : 5)\cdot2+(15 : 3)\cdot1}{15}=

cioè si divide il m.c.d. per i denominatori delle frazioni iniziali e si moltiplicano i quozienti ottenuti per i rispettivi numeratori; in questo modo di ottiene:

\frac{6+5}{15}=\frac{11}{15}

Esempio 2:

\frac{3}{4}+2+\frac{7}{5}=

Il numero 2 lo consideriamo una frazione con denominatore 1:

\frac{3}{4}+\frac{2}{1}+\frac{7}{5}=

Il denominatore comune (m.c.m.) tra 4, 1 e 5 è 20, quindi si avrà:

\frac{(20:4)\cdot3+(20:1)\cdot2+(20:5)\cdot7}{20}=

cioè si divide il m.c.d. per i denominatori delle frazioni iniziali e si moltiplicano i quozienti ottenuti per i rispettivi numeratori; in questo modo di ottiene:

\frac{15+40+28}{20}=\frac{83}{20}

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Questa che abbiamo appena presentato  non è l’unica operazione che è possibile svolgere con le frazioni.

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Media aritmetica

La media aritmetica è un valore che permette di sintetizzare le informazioni che riguardando una serie di dati che si hanno a disposizione.

In statistica, è il tipo di media che viene utilizzato più comunemente e fa parte degli elementi della statistica descrittiva.

La media aritmetica viene utilizzata quando i dati o le grandezza che si prendono in considerazione sono equivalenti, cioè hanno tutte la stessa rilevanza: in caso contrario, si dovrebbe utilizzare la media ponderata (o media “pesata”).

Per calcolare la media aritmetica, si devono sommare tutti i valori che si prendono i considerazione e dividere tale somma per il numero di valori, cioè:

Media aritmetica

in cui x1, x2, …, xN sono i valori dei singoli dati di cui si vuole calcolare la media aritmetica, mentre N è il numero di dati.

Esempio 1:

Calcolare la media aritmetica dei seguenti dati che si riferiscono alle età di 12 allievi di una classe prima di scuola superiore:

14 14 15 16 14 14
15 14 14 14 15 15

 

Calcoliamo la media, sommando tutti i valori della tabella e dividendo tale somma per il numero di allievi, ottenendo:

m = (14 + 15 + 14 + 14 + 15 + 14 + 16 + 14 + 14 + 15 + 14 + 15) / 12 = 174 / 12 = 14,5.

L’età media della classe è 14,5 anni.

Esempio 2:

Calcolare la media aritmetica dei seguenti dati che si riferiscono al numero di smartphone posseduti da 16 famiglie:

1 2 3 2
2 4 1 3
1 2 0 2
3 2 1 3

Calcoliamo la media, sommando tutti i valori della tabella e dividendo tale somma per il numero di famiglie, ottenendo:

m = (1 + 2 + 1 + 3 + 2 + 4 + 2 + 2 + 3 + 1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 2 + 3) / 16 = 32 / 16 = 2.

Il numero medio di smartphone per famiglia è pari a 2.


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Notazione scientifica

La notazione scientifica di un numero è una scrittura particolare attraverso la quale si possono esprimere i numeri, sia naturali che decimali.

Solitamente si utilizza questa forma quando si ha a che fare con numeri molto grandi o numeri molto piccoli.

Questa scrittura viene espressa nella forma:

∙ 10b

in cui

  • 1 ≤ a < 10, cioè a è un numero compreso tra 1 (incluso) e 10 (escluso);
  • b è l’esponente del 10 che può assumere valore positivo (se la notazione scientifica è di un numero naturale) o valore negativo (se la notazione scientifica è di un numero decimale).

Alcuni esempi di numeri espressi in questa forma:

1,5 ∙ 103
4,06 ∙ 1012
1,2 ∙ 10-2
8,3 ∙ 10-35

Notazione scientifica di un numero naturale

Quando si deve scrivere la notazione scientifica di un numero naturale, si inizia contando le cifre del numero, escludendo la prima a sinistra (il numero ottenuto corrisponde all’esponente del 10, con valore positivo). In seguito, si posiziona la virgola dopo la prima cifra a sinistra del numero, lasciando dopo la virgola tutte le altre cifre, escludendo gli zeri alla fine del numero.

Esempi:

5.700

La prima cifra a sinistra è 5; andando verso destra contiamo 3 cifre: questo valore (3) corrisponde all’esponente del 10, quindi sarà 103.

Inserendo la virgola dopo la prima cifra (quindi dopo il 5) ed escludendo gli zeri dopo il 7 (5,700), otteniamo così la notazione scientifica del numero 5.700:

5.700 = 5,7 ∙ 103

154.000.000

La prima cifra a sinistra è 1; andando verso destra contiamo 8 cifre: questo valore (8) corrisponde all’esponente del 10, quindi sarà 108.

Mettendo la virgola dopo la prima cifra (quindi dopo l’1) ed escludendo gli zeri dopo il 4 (1,54.000.000), otteniamo così la notazione scientifica del numero 154.000.000:

154.000.000 = 1,54 ∙ 108

Notazione scientifica di un numero decimale

Quando si deve scrivere la notazione scientifica di un numero decimale, si inizia individuando la prima cifra maggiore di 0 partendo da sinistra. Una volta trovata, si posiziona la virgola subito dopo questa cifra. Infine, si contano le cifre tra la virgola del numero iniziale e la virgola posizionata (il numero ottenuto corrisponde all’esponente del 10, con valore negativo).

Esempi:

0,00015

La prima cifra maggiore di 0, partendo da sinistra e andando verso destra, è 1: si posiziona la virgola dopo questa cifra (0,0001,5); contando le cifre tra la virgola del numero iniziale e la virgola posizionata, troviamo un valore pari a 4, che corrispondono al valore dell’esponente del 10, quindi sarà 10-4.

In questo modo otteniamo la notazione scientifica del numero 0,00015:

0,00015 = 1,5 ∙ 10-4

0,000000508

La prima cifra maggiore di 0, partendo da sinistra e andando verso destra, è 5: si posiziona la virgola dopo questa cifra (0,0000005,08); contando le cifre tra la virgola del numero iniziale e la virgola posizionata, troviamo un valore pari a 7, che corrispondono al valore dell’esponente del 10, quindi sarà 10-7.

In questo modo otteniamo la notazione scientifica del numero 0,000000508:

0,000000508 = 5,08 ∙ 10-7

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Tipi di monomi

Esistono diversi tipi di monomi:

  • Monomi simili: due monomi sono simili quando hanno la stessa parte letterale;
  • Monomi uguali: due monomi sono uguali quando hanno lo stesso coefficiente e la stessa parte letterale;
  • Monomi opposti: due monomi sono opposti quando hanno la stessa parte letterale ma coefficiente opposto;
  • Monomi omogenei: due monomi sono omogenei quando hanno lo stesso grado (del monomio).

Esempi:

Monomio iniziale Monomio simile Monomio uguale Monomio opposto Monomio omogeneo
2ab  -5ab 2ab -2ab 3x2
tipi di monomi 4xy2 tipi di monomi tipi di monomi 2 5a3

Esistono altri 2 tipi di monomi:

  • Monomio intero, in cui le lettere non figurano a denominatore;
  • Monomio fratto, in cui le lettere figurano a denominatore oppure hanno esponente negativo.

Esempi:

Sono monomi interi:

2ab

tipi di monomi

Sono monomi fratti:

tipi di monomi 3

tipi di monomi 4

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Se questa lezione ti ha aiutato, dai un’occhiata anche alle altre lezioni riguardanti i monomi:

Nel canale Youtube matematicaoggi è presente un’interessante playlist con una serie di videolezioni coinvolgenti, che completano le lezioni sopra elencate.

Problemi con somma e differenza di due numeri

Se stai cercando di capire come si svolgono i problemi con somma e differenza di due numeri, sei nel posto giusto!

Supponiamo di conoscere il valore della somma e della differenza di due numeri a e b:

S = a + b
D = ab
con b < a

Come si trova il valore dei due numeri?

Ecco le due formule risolutive:

somma e differnza di due numeri_2

somma e differnza di due numeri_1

Queste si applicano anche ai problemi in cui è presente somma e differenza di due segmenti, somma e differenza di due angoli, ecc.

Per la dimostrazione, ci facciamo aiutare dalla geometria.

Disegniamo due segmenti, che rappresentano i numeri a e b.

somma e differenza di due numeri_3

Rappresentiamo la loro somma (un segmento adiacente all’altro) e la loro differenza (segmento tratteggiato in verde).

somma e differenza di due numeri_4

Proiettiamo il segmento differenza in basso nel segmento somma: in questo modo troviamo due segmenti uguali, che corrispondono a due volte il segmento b.

Dividendo per due, troviamo il valore di b. Ciò è rappresentato nella figura seguente.

somma e differenza di due numeri_5

In modo analogo, se dal segmento somma aggiungiamo il valore della differenza (parte tratteggiata) troviamo due segmenti uguali, che corrispondono a due volte il segmento a.

Dividendo per due, troviamo il valore di a. Ciò è rappresentato nella figura seguente.

somma e differenza di due numeri_6

In sintesi, quando abbiamo la somma e la differenza di due numeri a e b, per trovarne il valore applichiamo queste due semplici formule:

somma e differnza di due numeri_2

somma e differnza di due numeri_1

Guarda la video lezione nel canale Youtube matematicaoggi!

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Grado di un monomio e grado rispetto alla lettera di un monomio

Ecco la lezione giusta per te, la lezione che ti aiuterà a capire cosa sono grado di un monomio e grado rispetto alla lettera di un monomio.

Si tratta di due concetti estremamente importanti nel calcolo letterale, quindi presta molta attenzione!

Grado di un monomio

Il grado di un monomio è la somma degli esponenti delle lettere del monomio.

Ci facciamo aiutare da alcuni esempi, riportati in una tabella che esplicita questo concetto.

Esempi:

Monomio Grado del monomio
2x 1 (perché x ha esponente 1)
-3a2b 3 (perché a ha esponente 2, b ha esponente 1)
x3y5  8 (perché x ha esponente 3, y ha esponente 5)
 +15a4b2x6  12 (perché a ha esponente 4, b ha esponente 2, x ha esponente 6)

Grado rispetto alla lettera di un monomio

In questo caso va posta l’attenzione sulle singole lettere, poiché questo grado non è altro che l’esponente con cui una certa lettera compare nel monomio.

Il grado di un monomio è il risultato della somma dei gradi rispetto alle singole lettere; inoltre, se una lettera non compare nel monomio, il grado di quella lettera è 0.

Nella tabella che segue vediamo questi concetti grazie ad alcuni esempi.

Esempi:

Monomio Grado rispetto alle lettere del monomio
+2ab2 a = 1; b = 2
-3x4 x = 4
-11b5y7  b = 5; y = 7
 +22m6n0  m = 6; n = 0

Nel quarto esempio si nota chiaramente che n ha esponente 0: in tutti i monomi in cui non compare una certa lettera, questa avrà grado pari a 0.

Se la spiegazione e gli esempi proposti in questa lezione non ti hanno chiarito i dubbi, guarda la videolezione qui di seguito!

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Criteri di divisibilità

I criteri di divisibilità sono delle “regole” per stabilire se un numero è divisibile per un altro.

Di seguito sono elencati i criteri di divisibilità, con alcuni esempi.

Criterio di divisibilità per 2

Un numero è divisibile per 2 se l’ultima cifra (unità) è 0, 2, 4, 6, 8 (pari).

Esempi:
34 è divisibile per 2, perché termina con 4.
778 è divisibile per 2, perché termina con 8.

Criterio di divisibilità per 3

Un numero è divisibile per 3 se la somma delle sue cifre è un multiplo di 3.

Esempi:
54 è divisibile per 3 perché 5 + 4 = 9 (che è un multiplo di 3).
561 è divisibile per 3 perché 5 + 6 + 1 = 15 (che è un multiplo di 3).

Criterio di divisibilità per 4

Un numero è divisibile per 4 se le ultime due cifre sono 00 oppure formano un numero multiplo di 4.

Esempi:
112 è divisibile per 4 perché 12 è un multiplo di 4.
748 è divisibile per 4 perché 48 è un multiplo di 4.

Criterio di divisibilità per 5

Un numero è divisibile per 5 se termina con 0 oppure 5.

Esempi:
135 è divisibile per 5 perché termina con 5.
630 è divisibile per 5 perché termina con 0.

Criterio di divisibilità per 6

Un numero è divisibile per 6 se è contemporaneamente divisibile per 2 e per 3.

Esempi:
144 è divisibile per 6 perché è divisibile per 2 (termina con 4) ed è divisibile per 3 (perché 1 + 4 + 4 = 9, che è un multiplo di 3).
492 è divisibile per 6 perché è divisibile per 2 (termina con 2) ed è divisibile per 3 (perché 4 + 9 + 2 = 15, che è un multiplo di 3).

Criterio di divisibilità per 7

Un numero è divisibile per 7 se la differenza, in valore assoluto, tra il doppio della cifra delle unità (ultima cifra) e il numero eventualmente formato dalle altre cifre è 0, 7 o un multiplo di 7.

Esempi:
119 è divisibile per 7 perché |9 · 2 – 11| = 7.
896 è divisibile per 7 perché |6 · 2 – 89| = 77, che è un multiplo di 7.

Criterio di divisibilità per 8

Un numero è divisibile per 8 se termina con tre zeri o se le ultime 3 cifre formano un numero multiplo di 8.

Esempi:
2.000 è divisibile per 8 perché termina con tre zeri.
4.272 è divisibile per 8 perché 272 è un multiplo di 8.

Criterio di divisibilità per 9

Un numero è divisibile per 9 se la somma delle cifre è un multiplo di 9.

Esempi:
135 è divisibile per 9 perché 1 + 3 + 5 = 9.
2.790 è divisibile per 9 perché 2 + 7 + 9 + 0 = 18, che è un multiplo di 9.

Criterio di divisibilità per 10

Un numero è divisibile per 10 se l’ultima cifra è 0.

Esempi:
50 è divisibile per 10 perché l’ultima cifra è 0.
2.140 è divisibile per 10 perché l’ultima cifra è 0.

Criterio di divisibilità per 11

Un numero è divisibile per 11 se la differenza fra la somma delle cifre di posto pari e le cifre di posto dispari è 0, 11 o un multiplo di 11.

Esempi:
1.353 è divisibile per 11 perché (3 + 3) – (5 + 1) = 6 – 6 = 0.
2.816 è divisibile per 11 perché (6 + 8) – (1 + 2) = 14 – 3 = 11.

Criterio di divisibilità per 12

Un numero è divisibile per 12 se è contemporaneamente divisibile per 3 e per 4.

Esempi:
180 è divisibile per 12 perché è divisibile per 3 (1 + 8 + 0 = 9, che è un multiplo di 3) ed è divisibile per 4 (perché le ultime due cifre formano un numero multiplo di 4).
4.692 è divisibile per 12 perché è divisibile per 3 (4 + 6 + 9 + 2 = 21, che è un multiplo di 3) ed è divisibile per 4 (perché le ultime due cifre formano un numero multiplo di 4).

Criterio di divisibilità per 13

Un numero è divisibile per 13 se la somma del quadruplo della cifra delle unità con il numero formato dalle rimanenti cifre è un multiplo di 13.

Esempi:
143 è divisibile per 13 perché 3 · 4 + 14 = 12 + 14 = 26, che è un multiplo di 13.
338 è divisibile per 13 perché 8 · 4 + 33 = 32 + 33 = 65, che è un multiplo di 13.

Criterio di divisibilità per 17

Un numero è divisibile per 17 se la differenza, in valore assoluto, tra il numero ottenuto escludendo la cifra delle unità e il quintuplo della cifra delle unità è 0, 17 o un multiplo di 17.

Esempi:
221 è divisibile per 17 perché |22 – 5 · 1| = 17.
1.343 è divisibile per 17 perché |134 – 5 · 3| = 119; 119 è divisibile per 17 perché |11 – 5 · 9| = 34, che è un multiplo di 17.

Criterio di divisibilità per 25

Un numero è divisibile per 25 se le ultime due cifre sono 00, 25, 50, 75.

Esempi:
125 è divisibile per 25 perché le ultime due cifre sono 25.
1.475 è divisibile per 25 perché le ultime due cifre sono 75.

Criterio di divisibilità per 100

Un numero è divisibile per 100 se le ultime due cifre sono 00.

Esempi:
500 è divisibile per 100 perché termina con 00.
1.700 è divisibile per 100 perché termina con 00.

Criterio di divisibilità per 10n

Un numero è divisibile per 10n se le ultime cifre sono n volte 0.

Esempi:
6.000 è divisibile per 103 = 1.000 perché termina con 3 zeri.
80.000 è divisibile per 104 = 10.000 perché termina con 4 zeri.


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Test a risposta multipla!

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Coefficiente e parte letterale di un monomio

Coefficiente e parte letterale di un monomio: ecco la lezione che fa al caso tuo!

Un monomio è un’espressione algebrica numerica e/o letterale in cui non sono presenti addizioni o sottrazioni. In un monomio i numeri e le lettere che lo compongono sono legati tra loro da moltiplicazioni e/o divisioni.

Ecco alcuni esempi di monomi:

+2ab

-5xy3

coefficiente e parte letterale

Un monomio è formato da un coefficiente (parte numerica) e da una parte letterale.

Se in un monomio non compare alcun coefficiente, il coefficiente è pari a +1 se il monomio è positivo, –1 se il monomio è negativo.

Vediamo ora con alcuni esempi come identificare in modo corretto il coefficiente e la parte letterale di alcuni monomi:

Monomio Coefficiente Parte letterale
+2ax +2 ax
-5a2b -5 a2b
+xy4 +1 xy4
a3b4 -1 a3b4

Se hai bisogno di ulteriori chiarimenti, guarda la videolezione direttamente dal canale YouTube matematicaoggi!

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Sei un insegnante o, semplicemente, ti incuriosisce il mondo della didattica in generale? Ecco un progetto molto interessante, parallelo a matematicaoggi, dedicato alla didattica: didatticaoggi! Riflessioni, esperienze didattiche e molto altro!

Forma polinomiale di un numero

Forma polinomiale di un numero? Ecco la lezione che ti chiarirà ogni dubbio!

Numeri naturali e numeri decimali si possono rappresentare in un modo diverso rispetto alla loro forma normale.

Rappresentare un numero in forma polinomiale significa scriverlo come somma delle sue cifre moltiplicate per il valore della posizione di ogni sua cifra.

La forma polinomiale è chiamata anche scrittura polinomiale.

Per rappresentare un numero in forma polinomiale sono sufficienti alcuni semplici passaggi:
1.    Si assegna ad ogni cifra del numero il suo valore in base alla sua posizione;

2.    Si moltiplica ogni cifra per il suo valore posizionale; in particolare:

  • Millesimi: 0,001;
  • Centesimi: 0,01;
  • Decimi: 0,1;
  • Unità: 1;
  • Decine: 10;
  • Centinaia: 100:
  • Unità di migliaia: 1.000;
  • Decine di migliaia: 10.000;
  • Centinaia di migliaia: 100.000;
  • Unità di milioni: 1.000.000;

3.    Si scrivono in ordine le moltiplicazioni del passaggio precedente, sommandole tra loro: ciò che ne risulta è il numero rappresentato in forma polinomiale.

4.    È possibile verificare se la forma polinomiale ottenuta è corretta, eseguendo le moltiplicazioni tra cifre del numero e loro valore corrispondente alla posizione, sommando i prodotti ottenuti.

Esempio 1: numero 745.692

Assegniamo ad ogni cifra la sua posizione:

Forma polinomiale di un numero

Ad ogni posizione corrisponde un valore, quindi scriviamo la forma polinomiale del numero nel modo seguente:
745.692 = 2 · 1 + 9 · 10 + 6 · 100 + 5 · 1.000 + 4 · 10.000 + 7 · 100.000

Per verificare se è corretta, è sufficiente eseguire le moltiplicazioni e sommare tra loro i prodotti ottenuti. Nell’esempio sopra proposto si avrà:

2 · 1 + 9 · 10 + 6 · 100 + 5 · 1.000 + 4 · 10.000 + 7 · 100.000 =
= 2 + 90 + 600 + 5.000 + 40.000 + 700.000 = 745.692


Esempio 2: numero 25,369

Assegniamo ad ogni cifra la sua posizione:

Forma polinomiale di un numero 2

Ad ogni posizione corrisponde un valore, quindi scriviamo la forma polinomiale del numero nel modo seguente:
25,369 = 2 · 10 + 5 · 1 + 3 · 0,1 + 6 · 0,01 + 9 · 0,001

Per verificare se è corretta, è sufficiente eseguire le moltiplicazioni e sommare tra loro i prodotti ottenuti. Nell’esempio sopra proposto si avrà:

2 · 10 + 5 · 1 + 3 · 0,1 + 6 · 0,01 + 9 · 0,001 =
= 20 + 5 + 0,3 + 0,06 + 0,009 = 25,369

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Se questa lezione ti ha aiutato a capire l’argomento, dai un’occhiata anche alle altre lezioni di aritmetica su numeri, operazioni e problemi:

Confronto tra frazioni

Confronto tra frazioni: un argomento molto importante che spiegheremo in modo semplice ma efficace!

Confrontare frazioni significa stabilire se una è maggiore, minore o uguale ad un’altra frazione.

Si possono distinguere tre casi:

  • Se due frazioni hanno lo stesso denominatore, è maggiore quella con numeratore maggiore.

Esempi:

Confronto tra frazioni 1
poiché 4 > 2

Confronto tra frazioni 2
poiché 3 < 8

  • Se due frazioni hanno lo stesso numeratore, è maggiore quella con denominatore minore.

Esempi:

Confronto tra frazioni 3
poiché 3 < 5

Confronto tra frazioni 4
poiché 6 > 2

  • Se due frazioni hanno numeratori e denominatori diversi, si devono ridurre le frazioni allo stesso denominatore e, in seguito, confrontarle come frazioni con lo stesso denominatore.

Esempio:
Confronto tra frazioni 5

Per stabilire il simbolo corretto, si riducono le due frazioni in altre due equivalenti, ma con lo stesso denominatore.

Le frazioni iniziali sono già ridotte ai minimi termini, quindi si calcola il m.c.d.: in questo caso il minimo comune denominatore delle frazioni prese in considerazione è 20, perché m.c.m. (5; 4) = 20.

Si opera la trasformazione, ottenendo:
Confronto tra frazioni 6

Confronto tra frazioni 7

Ora si confrontano le due nuove frazioni ottenute dalla trasformazione (frazioni con lo stesso denominatore), ottenendo:
Confronto tra frazioni 8

Quindi:
Confronto tra frazioni 9

Vai alla pagina degli esercizi sul confronto tra frazioni!

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Se questa lezione ti ha soddisfatto, guarda le altre lezioni sulle frazioni:

Nel canale Youtube matematicaoggi è presente un’interessante playlist con una serie di videolezioni coinvolgenti, che completano le lezioni sopra elencate.