Punto medio di un segmento

Quando si opera sul piano cartesiano è spesso necessario dover calcolare le coordinate del punto medio di un segmento.

Per determinare le coordinate del punto medio di un segmento sul piano cartesiano è necessario conoscere le coordinate cartesiane dei due estremi del segmento stesso.

Ipotizziamo che i due punti distinti siano A e B e che le loro coordinate cartesiane siano le seguenti:

A(x_{A}; y_{A})

B(x_{B}; y_{B})

Le coordinate del punto medio del segmento che si ottiene unendo A con B si determinano utilizzando le seguenti formule:

x_{M}=\frac{x_{A}+x_{B}}{2}

y_{M}=\frac{y_{A}+y_{B}}{2}

Utilizzando queste formule si ottengono, rispettivamente, l’ascissa e l’ordinata del punto medio M.

Vediamo un paio di esempi per applicare le formule sopra indicate.

Esempio 1

Determinare il punto medio del segmento delimitato dai seguenti punti:

A(4;6)

B(14;2)

Rappresentiamo i punti in un piano cartesiano, unendo A con B:

Ora è sufficiente applicare le formule sopra indicate, sostituendo i valori delle coordinate cartesiane, così come segue:

x_{M}=\frac{x_{A}+x_{B}}{2}=\frac{4+14}{2}=\frac{18}{2}=9

y_{M}=\frac{y_{A}+y_{B}}{2}=\frac{6+2}{2}=\frac{8}{2}=4

Secondo i calcoli appena eseguiti, il punto medio M ha le seguenti coordinate:

M(9;4)

Per verificare la correttezza del risultato possiamo posizionare il punto medio M sul piano cartesiano, così come segue:

Osservando il grafico possiamo confermare che i risultati ottenuti sono corretti: in effetti, la posizione di M equivale al punto medio del segmento delimitato dai punti A e B.

Esempio 2

Determinare il punto medio del segmento delimitato dai seguenti punti:

A(4;-3)

B(-2;-1)

Rappresentiamo i punti in un piano cartesiano, unendo A con B:

Ora è sufficiente applicare le formule sopra indicate, sostituendo i valori delle coordinate cartesiane, così come segue:

x_{M}=\frac{x_{A}+x_{B}}{2}=\frac{4-2}{2}=\frac{2}{2}=1

y_{M}=\frac{y_{A}+y_{B}}{2}=\frac{-3-1}{2}=\frac{-4}{2}=-2

Secondo i calcoli appena eseguiti, il punto medio M ha le seguenti coordinate:

M(1;-2)

Per verificare la correttezza del risultato possiamo posizionare il punto medio M sul piano cartesiano, così come segue:

Osservando il grafico possiamo confermare che i risultati ottenuti sono corretti: in effetti, la posizione di M equivale al punto medio del segmento delimitato dai punti A e B.


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Distanza tra due punti

Quando si opera sul piano cartesiano è spesso necessario dover calcolare la distanza tra due punti.

Per calcolare la distanza tra due punti sul piano cartesiano è necessario conoscere le coordinate cartesiane di almeno due punti distinti. Unendo questi due punti si forma un segmento.

Si possono distinguere tre casi, a seconda che il segmento che si forma dall’unione dei punti sia orizzontale, verticale, obliquo.

Ipotizziamo che i due punti distinti siano A e B e che le loro coordinate cartesiane siano le seguenti:

A(x_{A}; y_{A})

B(x_{B}; y_{B})

1° caso: segmento orizzontale

Ipotizziamo che i nostri punti A e B abbiano le seguenti coordinate:

A(1; 1)

B(6; 1)

Rappresentandoli nel piano cartesiano si ottiene un segmento orizzontale, come si può osservare nel piano sotto rappresentato.

Segmento orizzontale

In questo caso, per determinare la distanza tra i punti A e B (quindi, la lunghezza del segmento AB), è sufficiente applicare la seguente formula:

AB=\left \| x_B-x_A \right \|

Ciò significa che è sufficiente fare la differenza, in modulo, tra le ascisse dei due punti; quindi avremo:

AB=\left \| 6-1 \right \|=5

2° caso: segmento verticale

Ipotizziamo che i nostri punti A e B abbiano le seguenti coordinate:

A(2; 1)

B(2; 7)

Rappresentandoli nel piano cartesiano si ottiene un segmento verticale, come si può osservare nel piano sotto rappresentato.

Segmento verticale

In questo caso, per determinare la distanza tra i punti A e B (quindi, la lunghezza del segmento AB), è sufficiente applicare la seguente formula:

AB=\left \| y_B-y_A \right \|

Ciò significa che è sufficiente fare la differenza, in modulo, tra le ordinate dei due punti; quindi avremo:

AB=\left \| 7-1 \right \|=6

3° caso: segmento obliquo

Ipotizziamo che i nostri punti A e B abbiano le seguenti coordinate:

A(2; 2)

B(6; 5)

Rappresentandoli nel piano cartesiano si ottiene un segmento obliquo, come si può osservare nel piano sotto rappresentato.

Segmento obliquo

In questo caso, per determinare la distanza tra i punti A e B (quindi, la lunghezza del segmento AB), è sufficiente applicare la seguente formula:

AB=\sqrt{ (x_B-x_A)^{2}+ (y_B-y_A)^{2}}

Questa formula non è altro che l’applicazione del Teorema di Pitagora; quindi avremo:

AB=\sqrt{ (x_B-x_A)^{2}+ (y_B-y_A)^{2}}=\sqrt{ (6-2)^{2}+ (5-2)^{2}}=\sqrt{ 4^{2}+ 3^{2}}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5

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