Frazioni ed euro

C’è qualche legame tra le frazioni e la moneta che utilizziamo quotidinamente? In questo articolo presenteremo alcuni concetti teorici, legandoli all’euro:

  • Frazionamento;
  • Frazioni complementari e addizione di frazioni.

Frazionamento

In termini matematici frazionare significa dividere una certa quantità in parti uguali.

Consideriamo che il nostro intero sia rappresentato da una moneta da un euro (1€).

In circolazione esistono diverse monete di più piccolo taglio (quindi con il cosiddetto valore facciale più piccolo), che rappresentano frazioni di un euro.

Il primo esempio di frazionamento che possiamo proporre è relativo all’utilizzo di due monete da 50 centesimi. Sappiamo, infatti, che una moneta da un euro può essere “suddivisa” in due monete da 50 centesimi: ognuna di queste rappresenta metà di un euro, precisamente \frac12.

Per il secondo esempio di frazionamento consideriamo la moneta da 20 centesimi: sappiamo che questa moneta rappresenta la quinta parte di un euro, cioè \frac15. Quindi, la moneta da un euro può essere frazionata in 5 parti uguali (rappresentate da 5 monete da 20 centesimi).

Analogamente, se utilizziamo le altre monete esistenti, i frazionamenti possibili sono i seguenti:

  • 10 centesimi: frazionamento di un euro in 10 parti uguali, corrispondenti a \frac{1}{10} di euro;
  • 5 centesimi: frazionamento di un euro in 20 parti uguali, corrispondenti a \frac{1}{20} di euro;
  • 2 centesimi: frazionamento di un euro in 50 parti uguali, corrispondenti a \frac{1}{50} di euro;
  • 1 centesimo: frazionamento di un euro in 100 parti uguali, corrispondenti a \frac{1}{100} di euro.

Frazioni complementari e addizione di frazioni

Si parla di frazioni complementari quando la loro somma è 1, quindi l’intero. Partendo da questo concetto, possiamo proporre una serie di esempi, sapendo che le possibilità di sperimentare sono tantissime!

Consideriamo sempre la moneta da un euro come l’intero.

Un primo esempio molto semplice: prendiamo una moneta da 50 centesimi e cinque monete da 10 centesimi.

Qualcuno avrà già capito, attraverso un calcolo mentale, che queste monete – messe insieme – formano un euro. Ma qui vorremmo rappresentare questo calcolo con alcune frazioni. In particolare:

  • La moneta da 50 centesimi è metà di un euro che, in termini di frazione di euro, rappresenta \frac12;
  • La moneta da 10 centesimi è la decima parte di un euro che, in termini di frazione di euro, rappresenta \frac{1}{10}.

Per verificare che si tratta di frazioni complementari, sommiamo le monete rappresentate dalle frazioni:

\frac{1}{2}+\frac{1}{10}+\frac{1}{10}+\frac{1}{10}+\frac{1}{10}+\frac{1}{10}=

In questa addizione di frazioni abbiamo denominatori diversi, quindi è necessario determinare il denominatore comune, in particolare tra 2 e 10: il minimo comune denominatore è 10, poiché 10 è multiplo di 2 (oppure si può anche dire che 10 è divisibile per 2). Avremo quindi:

\frac{1}{2}+\frac{1}{10}+\frac{1}{10}+\frac{1}{10}+\frac{1}{10}+\frac{1}{10}=\frac{5+1+1+1+1+1}{10}=\frac{10}{10}=1

Come si può notare dal risultato, questo primo esempio rappresenta un caso di frazioni complementari. Vediamone un altro.

Consideriamo questa serie di monete: una da 50 centesimi, una da 20 centesimi, tre da 10 centesimi.

Come per il primo esempio, rappresentiamole come frazioni di euro:

  • La moneta da 50 centesimi è metà di un euro che, in termini di frazione di euro, rappresenta \frac12;
  • La moneta da 20 centesimi è la quinta parte di un euro che, in termini di frazione di euro, rappresenta \frac15.
  • Infine, la moneta da 10 centesimi è la decima parte di un euro che, in termini di frazione di euro, rappresenta \frac{1}{10}.

Per verificare che si tratta di frazioni complementari, sommiamo le monete rappresentate dalle frazioni:

\frac{1}{2}+\frac{1}{5}+\frac{1}{10}+\frac{1}{10}+\frac{1}{10}=

In questa addizione di frazioni abbiamo denominatori diversi, quindi è necessario determinare il denominatore comune, in particolare tra 2, 5 e 10: il minimo comune denominatore è 10, poiché 10 è multiplo sia di 2 che di 5 (oppure si può anche dire che 10 è divisibile sia per 2 che per 5). Avremo quindi:

\frac{1}{2}+\frac{1}{5}+\frac{1}{10}+\frac{1}{10}+\frac{1}{10}=\frac{5+2+1+1+1}{10}=\frac{10}{10}=1

Anche in questo caso la combinazione di monete rappresenta l’intero.

Può essere interessante verificare altre combinazioni, anche considerando come intero monete di taglio più alto, per esempio la moneta da 2 euro.


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Frazioni

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