Frazioni con le proprietà delle potenze

Le proprietà delle potenze sono applicabili in molte operazioni matematiche.

Come si applicano le proprietà delle potenze alle frazioni?

  • Per prima cosa si applicano le regole in base alla specifica proprietà delle potenze
  • In seguito si applicano gli esponenti alla frazione risultante, ottenendo il risultato finale

Ci facciamo aiutare da alcuni esempi, specifici per ogni proprietà.

Prima proprietà delle potenze: prodotto di potenze con la stessa base

Esempio:

\left (  \frac{2}{3}\right )^2\cdot \left (  \frac{2}{3}\right )^3 =

La proprietà prevede di mantenere la stessa base e di sommare gli esponenti, ottenendo:

\left (  \frac{2}{3}\right )^2\cdot \left (  \frac{2}{3}\right )^3 =\left (  \frac{2}{3}\right )^{2+3}=\left (  \frac{2}{3}\right )^5

Ora non resta che svolgere la potenza, applicando l’esponente sia al numeratore che al denominatore:

\left (  \frac{2}{3}\right )^5=\frac{2^5}{3^5}\ =\frac{32}{243}\

Seconda proprietà delle potenze: quoziente di potenze con la stessa base

Esempio:

\left (  \frac{5}{4}\right )^6: \left (  \frac{5}{4}\right )^4 =

La proprietà prevede di mantenere la stessa base e di sottrarre gli esponenti, ottenendo:

\left (  \frac{5}{4}\right )^6: \left (  \frac{5}{4}\right )^4 =\left (  \frac{5}{4}\right )^{6-4}=\left (  \frac{5}{4}\right )^2

Ora non resta che svolgere la potenza, applicando l’esponente sia al numeratore che al denominatore:

\left (  \frac{5}{4}\right )^2=\frac{5^2}{4^2}\ =\frac{25}{16}\

Terza proprietà delle potenze: potenza di potenza

Esempio:

\left [  \left (  \frac{1}{2}\right )^3\right ]^2=

La proprietà prevede di mantenere la stessa base e di moltiplicare tra loro gli esponenti, ottenendo:

\left [  \left (  \frac{1}{2}\right )^3\right ]^2=  \left (  \frac{1}{2}\right )^{3 \cdot2}=  \left (  \frac{1}{2}\right )^6

Ora non resta che svolgere la potenza, applicando l’esponente sia al numeratore che al denominatore:

\left (  \frac{1}{2}\right )^6=\frac{1^6}{2^6}=\frac{1}{64}

Quarta proprietà delle potenze: prodotto di potenze con lo stesso esponente

Esempio:

\left (  \frac{3}{2}\right )^2\cdot \left (  \frac{1}{2}\right )^2 =

La proprietà prevede di mantenere lo stesso esponente e di moltiplicare le basi, ottenendo:

\left (  \frac{3}{2}\right )^2\cdot \left (  \frac{1}{2}\right )^2 =\left (  \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}\right )^2=\left (  \frac{3}{4}\right )^2

Ora non resta che svolgere la potenza, applicando l’esponente sia al numeratore che al denominatore:

\left (  \frac{3}{4}\right )^2=\frac{3^2}{4^2}=\frac{9}{16}

Quinta proprietà delle potenze: quoziente di potenze con lo stesso esponente

Esempio:

\left (  \frac{1}{3}\right )^3: \left (  \frac{1}{2}\right )^3 =

La proprietà prevede di mantenere lo stesso esponente e di dividere le basi (ricordando che la divisione di frazioni diventa una moltiplicazione, invertendo numeratore e denominatore della seconda frazione), ottenendo:

\left (  \frac{1}{3}\right )^3: \left (  \frac{1}{2}\right )^3 =\left (  \frac{1}{3} : \frac{1}{2}\right )^3=\left (  \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{1}\right )^3=\left (  \frac{2}{3}\right )^3

Ora non resta che svolgere la potenza, applicando l’esponente sia al numeratore che al denominatore:

\left (  \frac{2}{3}\right )^3=\frac{2^3}{3^3}=\frac{8}{27}

Approfondimento: Videolezione sulle espressioni con le frazioni e le proprietà delle potenze

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