Punto medio di un segmento

Quando si opera sul piano cartesiano è spesso necessario dover calcolare le coordinate del punto medio di un segmento.

Per determinare le coordinate del punto medio di un segmento sul piano cartesiano è necessario conoscere le coordinate cartesiane dei due estremi del segmento stesso.

Ipotizziamo che i due punti distinti siano A e B e che le loro coordinate cartesiane siano le seguenti:

A(x_{A}; y_{A})

B(x_{B}; y_{B})

Le coordinate del punto medio del segmento che si ottiene unendo A con B si determinano utilizzando le seguenti formule:

x_{M}=\frac{x_{A}+x_{B}}{2}

y_{M}=\frac{y_{A}+y_{B}}{2}

Utilizzando queste formule si ottengono, rispettivamente, l’ascissa e l’ordinata del punto medio M.

Vediamo un paio di esempi per applicare le formule sopra indicate.

Esempio 1

Determinare il punto medio del segmento delimitato dai seguenti punti:

A(4;6)

B(14;2)

Rappresentiamo i punti in un piano cartesiano, unendo A con B:

Ora è sufficiente applicare le formule sopra indicate, sostituendo i valori delle coordinate cartesiane, così come segue:

x_{M}=\frac{x_{A}+x_{B}}{2}=\frac{4+14}{2}=\frac{18}{2}=9

y_{M}=\frac{y_{A}+y_{B}}{2}=\frac{6+2}{2}=\frac{8}{2}=4

Secondo i calcoli appena eseguiti, il punto medio M ha le seguenti coordinate:

M(9;4)

Per verificare la correttezza del risultato possiamo posizionare il punto medio M sul piano cartesiano, così come segue:

Osservando il grafico possiamo confermare che i risultati ottenuti sono corretti: in effetti, la posizione di M equivale al punto medio del segmento delimitato dai punti A e B.

Esempio 2

Determinare il punto medio del segmento delimitato dai seguenti punti:

A(4;-3)

B(-2;-1)

Rappresentiamo i punti in un piano cartesiano, unendo A con B:

Ora è sufficiente applicare le formule sopra indicate, sostituendo i valori delle coordinate cartesiane, così come segue:

x_{M}=\frac{x_{A}+x_{B}}{2}=\frac{4-2}{2}=\frac{2}{2}=1

y_{M}=\frac{y_{A}+y_{B}}{2}=\frac{-3-1}{2}=\frac{-4}{2}=-2

Secondo i calcoli appena eseguiti, il punto medio M ha le seguenti coordinate:

M(1;-2)

Per verificare la correttezza del risultato possiamo posizionare il punto medio M sul piano cartesiano, così come segue:

Osservando il grafico possiamo confermare che i risultati ottenuti sono corretti: in effetti, la posizione di M equivale al punto medio del segmento delimitato dai punti A e B.


Per chiarire eventuali altri dubbi, ecco una videolezione semplice ed efficace!


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Differenza di due angoli e loro rapporto

Differenza di due angoli e loro rapporto: ecco la lezione che ti aiuterà a svolgere questo tipo di problema geometrico!

La differenza delle ampiezze di due angoli è 12° e uno è i \frac{4}{3} dell’altro. Qual è la misura dei due angoli?

Questo è un classico problema nel quale è presente la differenza delle ampiezze dei due angoli e il loro rapporto, spesso rappresentato come una frazione.

Traducendo in simboli il problema sopra citato, potremmo scrivere:

  • \alpha\beta = 12° – cioè la differenza delle ampiezza dei due angoli
  • \alpha = \frac{4}{3} \beta – cioè il rapporto tra i due angoli

\alpha e \beta rappresentano i due angoli incogniti.

Per determinare la misura delle ampiezze dei due angoli sono possibili due strade:

  1. Utilizzando la proprietà dello scomporre delle proporzioni
  2. La geometria, rappresentando il problema disegnando due segmenti

Proprietà dello scomporre delle proporzioni

Sapendo che il rapporto tra \alpha e \beta è \frac{4}{3}, possiamo impostare la proporzione nel modo seguente:

\alpha : \beta = 4 : 3

In più, sappiamo che \alpha – \beta = 12°. Possiamo, quindi, applicare la proprietà dello scomporre scrivendo:

(\alpha – \beta) : \alpha = (4 – 3) : 4

Ora è sufficiente sostituire 12° dentro la parentesi (\alpha – \beta), ottenendo:

12° : \alpha = 1 : 4

Per concludere si può ora facilmente ottenere \alpha, applicando la proprietà fondamentale delle proporzioni, cioè:

\alpha = (12° · 4) : 1 = 48°

Di conseguenza, \beta si può ottenere per differenza, cioè:

\beta = 48° – 12° = 36°

Geometria: segmenti

Sapendo che il rapporto tra \alpha e \beta è \frac{4}{3}, possiamo disegnare due segmenti, uno di lunghezza 4 unità e l’altro di lunghezza 3 unità:

Segmento 4 unità

Segmento 3 unità

Sapendo che \alpha – \beta = 12°, si può immaginare che la differenza sia rappresentata da un segmento pari a 1 unità, che corrisponde a 12°.

Considerando che 1 unità vale 12° e che i segmenti iniziali sono lunghi, rispettivamente, 4 unità e 3 unità, per stabilire la misura dell’ampiezza dei due angoli incogniti è sufficiente moltiplicare 12° per le unità di ogni segmento, cioè:

12° · 4 = 48° = \alpha

12° · 3 = 36° = \beta


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Somma di due angoli e loro rapporto

Somma di due angoli e loro rapporto: ecco la lezione che ti aiuterà a svolgere questo tipo di problema geometrico!

La somma delle ampiezze di due angoli è 70° e uno è i \frac{3}{4} dell’altro. Qual è la misura dei due angoli?

Questo è un classico problema nel quale è presente la somma delle ampiezze dei due angoli e il loro rapporto, spesso rappresentato come una frazione.

Traducendo in simboli il problema sopra citato, potremmo scrivere:

  • \alpha + \beta = 70° – cioè la somma delle ampiezze dei due angoli
  • \alpha = \frac{3}{4} \beta – cioè il rapporto tra i due angoli

\alpha e \beta rappresentano i due angoli incogniti.

Per determinare la misura delle ampiezze dei due angoli sono possibili due strade:

  1. Utilizzando la proprietà del comporre delle proporzioni
  2. La geometria, rappresentando il problema disegnando due segmenti

Proprietà del comporre delle proporzioni

Sapendo che il rapporto tra \alpha e \beta è \frac{3}{4}, possiamo impostare la proporzione nel modo seguente:

\alpha : \beta = 3 : 4

In più, sappiamo che \alpha + \beta = 70°. Possiamo, quindi, applicare la proprietà del comporre scrivendo:

(\alpha + \beta) : \alpha = (3 + 4) : 3

Ora è sufficiente sostituire 70° dentro la parentesi (\alpha + \beta), ottenendo:

70° : \alpha = 7 : 3

Per concludere si può ora facilmente ottenere \alpha, applicando la proprietà fondamentale delle proporzioni, cioè:

\alpha = (70° · 3) : 7 = 30°

Di conseguenza, \beta si può ottenere per differenza, cioè:

\beta = 70° – 30° = 40°

Geometria: segmenti

Sapendo che il rapporto tra le ampiezze di \alpha e \beta è \frac{3}{4}, possiamo disegnare due segmenti, uno di lunghezza 3 unità e l’altro di lunghezza 4 unità:

Segmento 3 unità

Segmento 4 unità

Sapendo che \alpha + \beta = 70°, si può disegnare il segmento somma dei due angoli iniziali, ottenendo:

Segmento 7 unità

Come si può notare nel disegno sopra riportato, il segmento somma è formato da 7 unità, che corrispondono alla somma delle ampiezze dei due angoli incogniti.

Per determinare quanto vale 1 unità del segmento è sufficiente eseguire una semplice divisione, cioè:

70° : 7 = 10°

Sapendo che 1 unità vale 10° e che gli angoli iniziali sono ampi, rispettivamente, 3 unità e 4 unità, per stabilire la misura delle ampiezze dei due angoli incogniti è sufficiente moltiplicare 10° per le unità di ogni segmento, cioè:

10° · 3 = 30° = \alpha

10° · 4 = 40° = \beta


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Multipli e sottomultipli di un angolo

Multipli e sottomultipli di un angolo: ecco la lezione che ti chiarirà ogni dubbio!

  1. Un angolo misura 23°: quanto misura il suo doppio? E il suo triplo?
  2. Sapendo che l’ampiezza di un angolo è 44°, qual è l’ampiezza dell’angolo che equivale alla sua metà? Qual è l’angolo equivalente alla sua quarta parte?

I problemi sopra proposti sono due esempi che riguardano il multiplo di un angolo (problema nr. 1) e il sottomultiplo di un angolo (problema nr. 2).

Il problema nr. 1 riguarda il multiplo di un angolo perché, partendo da un angolo iniziale, si chiede di trovare il suo doppio (significa due volte l’angolo iniziale) e il suo triplo (cioè tre volte l’angolo iniziale).

Il problema nr. 2 riguarda, invece, il sottomultiplo di un angolo perché, sapendo la misura dell’ampiezza dell’angolo iniziale, viene chiesto di trovare la sua metà (significa, semplicemente, dividere per 2 la misura dell’ampiezza dell’angolo iniziale) e la sua quarta parte (cioè trovare quanto misura \frac{1}{4} dell’ampiezza dell’angolo iniziale).

Risolviamo i due problemi sopra proposti.

Esempio 1

Un angolo misura 23°: quanto misura il suo doppio? E il suo triplo?

Come detto, il doppio dell’angolo significa “due volte” l’angolo iniziale, cioè:

23° · 2 = 46° (doppio)

Il triplo dell’angolo iniziale significa “tre volte” l’angolo iniziale, quindi:

23° · 3 = 69° (triplo)

Esempio 2

Sapendo che l’ampiezza di un angolo è 44°, qual è l’ampiezza dell’angolo che equivale alla sua metà? Qual è l’angolo equivalente alla sua quarta parte?

La metà dell’angolo iniziale si ottiene dividendo la misura dell’ampiezza per 2 (oppure moltiplicando per \frac{1}{2}), cioè:

44° : 2 = 22° (metà)

La quarta parte si ottiene dividendo per 4 la misura dell’ampiezza dell’angolo iniziale (oppure moltiplicando per \frac{1}{4}), quindi:

44° : 4 = 11° (quarta parte)

In sintesi, riportiamo una tabella-guida utile per risolvere i problemi con multipli e sottomultipli di un angolo.

Multipli di un angolo

Cosa chiede il problema? Qual è l’operazione da compiere sull’angolo iniziale?
Il doppio dell’angolo Si moltiplica per 2

α = 10°

Doppio di α → 10° · 2 = 20°

Il triplo dell’angolo Si moltiplica per 3

β = 8°

Triplo di β → 8° · 3 = 24°

Il quadruplo dell’angolo Si moltiplica per 4

γ = 12°

Quadruplo di γ → 12° · 4 = 48°

Il quintuplo dell’angolo Si moltiplica per 5

δ = 9°

Quintuplo di δ → 9° · 5 = 45°

Sottomultipli di un angolo

Cosa chiede il problema? Qual è l’operazione da compiere sull’angolo iniziale?
La metà dell’angolo Si divide per 2 o si moltiplica per \frac{1}{2}

α = 16°

Metà di α → 16° : 2 = 8°

La terza parte dell’angolo Si divide per 3 o si moltiplica per \frac{1}{3}

β = 24°

Terza parte di β → 24° : 3 = 8°

La quarta parte dell’angolo Si divide per 4 o si moltiplica per \frac{1}{4}

γ = 40°

Quarta parte di γ → 40° : 4 = 10°

La quinta parte dell’angolo Si divide per 5 o si moltiplica per \frac{1}{5}

δ = 55°

Quinta parte di δ → 55° : 5 = 11°

Vai alla pagina degli esercizi su multipli e sottomultipli di un angolo!


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Problemi con somma e differenza di due angoli

Se stai cercando di capire come si svolgono i problemi con somma e differenza di due angoli, sei nel posto giusto!

Supponiamo di conoscere i valori della somma e della differenza di due angoli \alpha e\beta:

S=\alpha+\beta
D=\alpha-\beta

con \beta<\alpha

Come si trova l’ampiezza dei due angoli?

Ecco le due formule risolutive:

\alpha=\frac{S+D}{2}

\beta=\frac{S-D}{2}

Nell’immagine che segue sono rappresentati due angoli esempio.

Vediamo ora un paio di esempi di problemi con somma e differenza di due angoli (per una dimostrazione matematica dello svolgimento di questo problema, vai alla lezione sui problemi con somma e differenza di due numeri).

Esempio 1

Determinare l’ampiezza di due angoli, sapendo che la loro somma è di 70° mentre la loro differenza è di 20°.

Innanzitutto indichiamo i dati di questo problema:

S=\alpha+\beta=70°

D=\alpha-\beta=20°

Consideriamo che \beta<\alpha.

Come scritto in precedenza, lo svolgimento di questo problema è molto semplice: è sufficiente, infatti, applicare le due formule risolutive, che permettono di ottenere l’ampiezza dei due angoli incogniti.

Procediamo, quindi, applicando le formule:

\alpha=\frac{S+D}{2}=\frac{70+20}{2}=\frac{90}{2}=45°

\beta=\frac{S-D}{2}=\frac{70-20}{2}=\frac{50}{2}=25°

La somma dei due valori ottenuti è effettivamente 70° (45° + 25° = 70°); lo stesso vale per la differenza, cioè 20° (45° – 25° = 20°), quindi i valori ottenuti sono corretti.

Esempio 2

Due angoli sono tali che la loro somma è di 95° e la loro differenza è di 29°. Qual è l’ampiezza dei due angoli?

Come per il primo esempio, indichiamo i dati di questo problema:

S=\alpha+\beta=95°

D=\alpha-\beta=29°

Consideriamo che \beta<\alpha.

Anche in questo caso applichiamo le due formule risolutive:

\alpha=\frac{S+D}{2}=\frac{95+29}{2}=\frac{124}{2}=62°

\beta=\frac{S-D}{2}=\frac{95-29}{2}=\frac{66}{2}=33°

Verifichiamo i valori ottenuti: la somma delle ampiezze è effettivamente 95° (62° + 33° = 95°); lo stesso vale per la differenza, cioè 29° (62° – 33° = 29°), quindi i valori ottenuti sono corretti.


Se gli esempi ti hanno aiutato a capire bene l’argomento, vai alla pagina degli esercizi sui problemi con somma e differenza di due angoli.


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Differenza di due segmenti e loro rapporto

Differenza di due segmenti e loro rapporto: ecco la lezione che ti aiuterà a svolgere questo tipo di problema geometrico!

La differenza di due segmenti è 8 cm e uno è i \frac{4}{3} dell’altro. Qual è la misura dei due segmenti?

Questo è un classico problema nel quale è presente la differenza delle misure dei due segmenti e il loro rapporto, spesso rappresentato come una frazione.

Traducendo in simboli il problema sopra citato, potremmo scrivere:

  • n1 – n2 = 8 – cioè la differenza delle misure dei due segmenti
  • n1 = \frac{4}{3} n– cioè il rapporto tra i due segmenti

n1 e n2 rappresentano i due segmenti incogniti.

Per determinare la misura dei due segmenti sono possibili due strade:

  1. Utilizzando la proprietà dello scomporre delle proporzioni
  2. Facendosi aiutare dalla geometria, rappresentando il problema proprio con due segmenti

Proprietà dello scomporre delle proporzioni

Sapendo che il rapporto tra n1 e n2 è \frac{4}{3}, possiamo impostare la proporzione nel modo seguente:

n1 : n2 = 4 : 3

In più, sappiamo che n1 – n2 = 8. Possiamo, quindi, applicare la proprietà dello scomporre scrivendo:

(n1 – n2) : n1 = (4 – 3) : 4

Ora è sufficiente sostituire 8 dentro la parentesi (n1 – n2), ottenendo:

8 : n1 = 1 : 4

Per concludere si può ora facilmente ottenere n1, applicando la proprietà fondamentale delle proporzioni, cioè:

n1 = (8 · 4) : 1 = 32

Di conseguenza, n2 si può ottenere per differenza, cioè:

n2 = 32 – 8 = 24

Geometria: segmenti

Sapendo che il rapporto tra n1 e n2 è \frac{4}{3}, possiamo disegnare due segmenti, uno di lunghezza 4 unità e l’altro di lunghezza 3 unità:

Segmento 4 unità

Segmento 3 unità

Sapendo che n1 – n2 = 8, si può immaginare che la differenza sia rappresentata da un segmento pari a 1 unità, che corrisponde a 8.

Considerando che 1 unità vale 8 e che i segmenti iniziali sono lunghi, rispettivamente, 4 unità e 3 unità, per stabilire la misura dei due segmenti incogniti è sufficiente moltiplicare 8 per le unità di ogni segmento, cioè:

8 · 4 = 32 = n1

8 · 3 = 24 = n2


Vai alla pagina degli esercizi su differenza di due segmenti e loro rapporto!


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Problemi sul quadrato

Devi svolgere alcuni problemi sul quadrato? In questo articolo verranno presentati una serie di problemi standard.

Se non trovi un problema simile a quello che devi risolvere scrivilo nei commenti: provvederemo ad inserire la soluzione il prima possibile!


Problema 1: Un quadrato ha il lato che misura 10 cm. Calcola perimetro e area.
Dati: Richieste:
Lato (l) = 10 cm Perimetro?

Area?

Questo problema si svolge in modo molto semplice, applicando le formule dirette di perimetro e area del quadrato:

Perimetro=4\cdot l

Area=l^2

Applicando le formule si ottiene:

Perimetro=4\cdot l=4\cdot10=40cm

Area=l^2=10^2=100cm^2


Problema 2: determina la misura del lato di un quadrato che ha il perimetro lungo 80 cm.
Dati: Richieste:
Perimetro = 80 cm ?

Questo problema si svolge applicando la formula inversa del perimetro del quadrato:

Perimetro=4\cdot l\to l=\frac{Perimetro}{4}

Applicando la formula si ottiene:

l=\frac{Perimetro}{4}=\frac{80}{4}=20cm


Problema 3: quanto misura il lato di un quadrato che ha l’area di 400 cm2?
Dati: Richieste:
Area = 400 cm2 l ?

Questo problema si svolge applicando la formula inversa dell’area del quadrato:

Area=l^2\to l=\sqrt{Area}

Applicando la formula si ottiene:

l=\sqrt{Area}=\sqrt{400}=20cm


Problema 4: calcola l’area di un quadrato che ha il perimetro lungo 116 cm.
Dati: Richieste:
Perimetro = 116 cm Area?

Per determinare l’area del quadrato è necessaria la misura del suo lato: avendo la misura del perimetro, questo problema si svolge applicando la formula inversa del perimetro del quadrato, ottenendo:

l=\frac{Perimetro}{4}=\frac{116}{4}=29cm

Ora è sufficiente applicare la formula diretta dell’area del quadrato, ottenendo:

Area=l^2=29^2=841cm^2


Problema 5: calcola il perimetro di un quadrato che ha l’area di 729 cm2.
Dati: Richieste:
Area = 729 cm2 Perimetro?

Per determinare il perimetro del quadrato è necessaria la misura del suo lato: avendo la misura dell’area, questo problema si svolge applicando la formula inversa dell’area del quadrato, ottenendo:

l=\sqrt{Area}=\sqrt{729}=27cm

Ora è sufficiente applicare la formula diretta del perimetro del quadrato, ottenendo:

Perimetro=4\cdot l=4\cdot27=108cm


Questi sono solo alcuni dei problemi sul quadrato: se hai un problema che non sai risolvere, scrivi nei commenti e provvederemo ad aiutarti!


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Problemi sul rettangolo

Devi svolgere alcuni problemi sul rettangolo? In questo articolo verranno presentati una serie di problemi standard.

Se non trovi un problema simile a quello che devi risolvere scrivilo nei commenti: provvederemo ad inserire la soluzione il prima possibile!


Problema 1: Un rettangolo ha la base e l’altezza che misurano, rispettivamente, 10 cm e 5 cm. Calcola perimetro e area del rettangolo.
Dati: Richieste:
Base (b) = 10 cm

Altezza (h) = 5 cm

Perimetro?

Area?

Questo problema si svolge in modo molto semplice, applicando le formule dirette di perimetro e area del rettangolo:

Perimetro=2\cdot(b+h)

Area=b\cdot h

Applicando le formule si ottiene:

Perimetro=2\cdot(b+h)=2\cdot(10+5)=2\cdot15=30cm

Area=b\cdot h=10\cdot5=50cm^2


Problema 2: Un rettangolo ha l’altezza che misura 8 cm. Calcola perimetro e area del rettangolo, sapendo che la base è il doppio dell’altezza.
Dati: Richieste:
b = 2 · h

h = 8 cm

Perimetro?

Area?

In questo problema c’è un legame tra base e altezza: infatti si dice che la base è il doppio dell’altezza. Quindi, prima di applicare le formule dirette di perimetro e area del rettangolo, è necessario calcolare la misura della base:

b=2\cdot h=2\cdot8=16cm

Ora è sufficiente applicare le formule dirette di perimetro e area del rettangolo:

Perimetro=2\cdot(b+h)=2\cdot(16+8)=2\cdot24=48cm

Area=b\cdot h=16\cdot8=128cm^2

Nota: in altri problemi simili a questo viene indicata la misura di una delle dimensioni, mentre l’altra è la sua metà (ad es. la base misura 20 cm, mentre l’altezza è la sua metà); in questo caso è sufficiente dividere per 2 la misura indicata, per trovare quella della dimensione mancante. Fatto questo, si applicano le formule dirette per calcolare perimetro e area.


Problema 3: La base di un rettangolo misura 14 cm e l’altezza è i suoi 3/7. Calcola perimetro e area del rettangolo.
Dati: Richieste:
b = 14 cm

h = \frac{3}{7} b

Perimetro?

Area?

I problemi in cui compaiono le frazioni sembrano complicati: in realtà non devono spaventare! In questo problema esiste un rapporto tra base e altezza, cioè l’altezza ha un legame matematico con la base, rappresentato da una frazione: l’altezza è i tre settimi della base.

Questo si traduce, matematicamente, con il calcolo seguente:

h=\frac{3}{7}b=(b\cdot3):7=(14\cdot3):7=42:7=6cm

La parte “complicata” è risolta: ora è sufficiente applicare le formule dirette di perimetro e area del rettangolo:

Perimetro=2\cdot(b+h)=2\cdot(14+6)=2\cdot20=40cm

Area=b\cdot h=14\cdot6=84cm^2


Problema 4: La somma delle dimensioni di un rettangolo misura 44 cm e la base è 7/4 dell’altezza. Calcola il perimetro e l’area del rettangolo.
Dati: Richieste:
b + h = 44 cm

b =\frac{7}{4} h

Perimetro?

Area?

Anche in questo problema c’è un rapporto matematico tra base e altezza: a differenza del problema precedente, il valore presente è la somma delle misure di base e altezza, cioè – al livello di frazione – la base rappresenta 7 parti del totale e l’altezza 4 parti del totale.

La somma, 44 cm, è rappresentata da 7 parti + 4 parti, quindi 11 parti: di conseguenza, per determinare le misure di base e altezza di procede in questo modo:

b=44:(7+4)\cdot7=44:11\cdot7=28cm

h=44:(7+4)\cdot4=44:11\cdot4=16cm

Ora che le misure di base e altezza sono determinate, possiamo applicare le formule dirette di perimetro e area del rettangolo:

Perimetro=2\cdot(b+h)=2\cdot(28+16)=2\cdot44=88cm

Area=b\cdot h=28\cdot16=448cm^2


Problema 5: Calcola il perimetro e l’area di un rettangolo, sapendo che l’altezza è 3/5 della base e che la loro differenza misura 10 cm.
Dati: Richieste:
b – h = 10 cm

h =\frac{3}{5} b

Perimetro?

Area?

Come per il problema precedente, c’è un rapporto matematico tra base e altezza: il valore presente (10 cm) rappresenta la differenza delle misure di base e altezza, mentre – al livello di frazione – la base rappresenta 5 parti e l’altezza 3 parti.

La differenza, 10 cm, è rappresentata da 5 parti – 3 parti, quindi 2 parti: di conseguenza, per determinare le misure di base e altezza si procede in questo modo:

b=10:(5-3)\cdot5=10:2\cdot5=25cm

h=10:(5-3)\cdot3=10:2\cdot3=15cm

Ora che le misure di base e altezza sono determinate, possiamo applicare le formule dirette di perimetro e area del rettangolo:

Perimetro=2\cdot(b+h)=2\cdot(25+15)=2\cdot40=80cm

Area=b\cdot h=25\cdot15=375cm^2


Questi sono solo alcuni dei problemi sul rettangolo: per es. non sono presenti i problemi in cui viene chiesto di applicare le formule inverse. Se hai un problema che non sai risolvere, scrivi nei commenti e provvederemo ad aiutarti!


Vai agli esercizi sul rettangolo!


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Verifiche e test

In questa pagina potete trovare alcune verifiche di matematica e test a risposta multipla  di matematica (con le relative soluzioni).

Per ogni verifica è indicato l’argomento: gli esercizi sono stati estratti a caso da quelli presenti nel sito.

Verifiche di aritmetica

Espressioni con i numeri naturali Testo Soluzione
Potenze in generale ed espressioni in N con le proprietà delle potenze Testo Soluzioni
Divisibilità, Scomposizioni in fattori primi, M.C.D. e m.c.m. Testo Soluzioni

Verifiche di algebra

(in fase di preparazione)

Verifiche di geometria

(in fase di preparazione)

Distanza tra due punti

Quando si opera sul piano cartesiano è spesso necessario dover calcolare la distanza tra due punti.

Per calcolare la distanza tra due punti sul piano cartesiano è necessario conoscere le coordinate cartesiane di almeno due punti distinti. Unendo questi due punti si forma un segmento.

Si possono distinguere tre casi, a seconda che il segmento che si forma dall’unione dei punti sia orizzontale, verticale, obliquo.

Ipotizziamo che i due punti distinti siano A e B e che le loro coordinate cartesiane siano le seguenti:

A(x_{A}; y_{A})

B(x_{B}; y_{B})

1° caso: segmento orizzontale

Ipotizziamo che i nostri punti A e B abbiano le seguenti coordinate:

A(1; 1)

B(6; 1)

Rappresentandoli nel piano cartesiano si ottiene un segmento orizzontale, come si può osservare nel piano sotto rappresentato.

Segmento orizzontale

In questo caso, per determinare la distanza tra i punti A e B (quindi, la lunghezza del segmento AB), è sufficiente applicare la seguente formula:

AB=\left \| x_B-x_A \right \|

Ciò significa che è sufficiente fare la differenza, in modulo, tra le ascisse dei due punti; quindi avremo:

AB=\left \| 6-1 \right \|=5

2° caso: segmento verticale

Ipotizziamo che i nostri punti A e B abbiano le seguenti coordinate:

A(2; 1)

B(2; 7)

Rappresentandoli nel piano cartesiano si ottiene un segmento verticale, come si può osservare nel piano sotto rappresentato.

Segmento verticale

In questo caso, per determinare la distanza tra i punti A e B (quindi, la lunghezza del segmento AB), è sufficiente applicare la seguente formula:

AB=\left \| y_B-y_A \right \|

Ciò significa che è sufficiente fare la differenza, in modulo, tra le ordinate dei due punti; quindi avremo:

AB=\left \| 7-1 \right \|=6

3° caso: segmento obliquo

Ipotizziamo che i nostri punti A e B abbiano le seguenti coordinate:

A(2; 2)

B(6; 5)

Rappresentandoli nel piano cartesiano si ottiene un segmento obliquo, come si può osservare nel piano sotto rappresentato.

Segmento obliquo

In questo caso, per determinare la distanza tra i punti A e B (quindi, la lunghezza del segmento AB), è sufficiente applicare la seguente formula:

AB=\sqrt{ (x_B-x_A)^{2}+ (y_B-y_A)^{2}}

Questa formula non è altro che l’applicazione del Teorema di Pitagora; quindi avremo:

AB=\sqrt{ (x_B-x_A)^{2}+ (y_B-y_A)^{2}}=\sqrt{ (6-2)^{2}+ (5-2)^{2}}=\sqrt{ 4^{2}+ 3^{2}}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5

Vai alla pagina degli esercizi sulla distanza tra due punti sul piano cartesiano!

Multipli e sottomultipli di un segmento

Multipli e sottomultipli di un segmento: ecco la lezione che ti chiarirà ogni dubbio!

  1. Un segmento misura 10 cm: quanto misura il suo doppio? E il suo triplo?
  2. Sapendo che la lunghezza di un segmento è 24 cm, qual è la lunghezza del segmento che equivale alla sua metà? Qual è il segmento equivalente alla sua quarta parte?

I problemi sopra proposti sono due esempi che riguardano il multiplo di un segmento (problema nr. 1) e il sottomultiplo di un segmento (problema nr. 2).

Il problema nr. 1 riguarda il multiplo di un segmento perché, partendo da un segmento iniziale, si chiede di trovare il suo doppio (significa due volte il segmento iniziale) e il suo triplo (cioè tre volte il segmento iniziale).

Il problema nr. 2 riguarda, invece, il sottomultiplo di un segmento perché, sapendo la misura del segmento iniziale, viene chiesto di trovare la sua metà (significa, semplicemente, dividere per 2 la misura del segmento iniziale) e la sua quarta parte (cioè trovare quanto misura \frac{1}{4} del segmento iniziale).

Risolviamo i due problemi sopra proposti.

Esempio 1

Un segmento misura 10 cm: quanto misura il suo doppio? E il suo triplo?

Come detto, il doppio del segmento significa “due volte” il segmento iniziale, cioè:

10 cm · 2 = 20 cm (doppio)

Il triplo del segmento iniziale significa “tre volte” il segmento iniziale, quindi:

10 cm · 3 = 30 cm (triplo)

Esempio 2

Sapendo che la lunghezza di un segmento è 24 cm, qual è la lunghezza del segmento che equivale alla sua metà? Qual è il segmento equivalente alla sua quarta parte?

La metà del segmento iniziale si ottiene dividendo la misura per 2 (oppure moltiplicando per \frac{1}{2}), cioè:

24 cm : 2 = 12 cm (metà)

La quarta parte si ottiene dividendo per 4 la misura del segmento iniziale (oppure moltiplicando per \frac{1}{4}), quindi:

24 cm : 4 = 6 cm (quarta parte)

In sintesi, riportiamo una tabella-guida utile per risolvere i problemi con multipli e sottomultipli di un segmento.

Multipli di un segmento

Cosa chiede il problema? Qual è l’operazione da compiere sul segmento iniziale?
Il doppio del segmento Si moltiplica per 2

AB = 3 cm

Doppio di AB → 3 cm · 2 = 6 cm

Il triplo del segmento Si moltiplica per 3

CD = 7 cm

Triplo di CD → 7 cm · 3 = 21 cm

Il quadruplo del segmento Si moltiplica per 4

EF = 10 cm

Quadruplo di EF → 10 cm · 4 = 40 cm

Il quintuplo del segmento Si moltiplica per 5

GH = 6 cm

Quintuplo di GH → 6 cm · 5 = 30 cm

Sottomultipli di un segmento

Cosa chiede il problema? Qual è l’operazione da compiere sul segmento iniziale?
La metà del segmento Si divide per 2 o si moltiplica per \frac{1}{2}

AB = 4 cm

Metà di AB → 4 cm : 2 = 2 cm

La terza parte del segmento Si divide per 3 o si moltiplica per \frac{1}{3}

CD = 15 cm

Terza parte di CD → 15 cm : 3 = 5 cm

La quarta parte del segmento Si divide per 4 o si moltiplica per \frac{1}{4}

EF = 24 cm

Quarta parte di EF → 24 cm : 4 = 6 cm

La quinta parte del segmento Si divide per 5 o si moltiplica per \frac{1}{5}

GH = 60 cm

Quinta parte di GH → 60 cm : 5 = 12 cm

Vai alla pagina degli esercizi su multipli e sottomultipli di un segmento!


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Teorema di Pitagora

In geometria il Teorema di Pitagora è, probabilmente, il teorema più conosciuto.

Il Teorema di Pitagora si applica ai triangoli rettangoli, ma esistono molteplici applicazioni anche nelle altre figure piane e nei solidi.

Innanzitutto vediamo cosa prevede questo teorema: il quadrato costruito sull’ipotenusa è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui due cateti.

Per tradurre quanto sopra presentato, vediamo la figura seguente:

Teorema di Pitagora

Il triangolo rettangolo è disegnato in blu ed è delimitato da:

  • lato AB (cateto maggiore – indicato con cM);
  • lato AC (cateto minore – indicato con cm);
  • lato BC (ipotenusa – indicata con i).

Sui tre lati sono costruiti tre quadrati: il lato di ogni quadrato è pari alla lunghezza dei lati del triangolo.

Il Teorema di Pitagora, in pratica, afferma che l’area del quadrato verde (Q3) è uguale alla somma delle aree dei quadrati arancione e giallo (Q1 e Q2), cioè:

Q3 = Q1 + Q2

Facciamo un esempio, assegnando ai lati del triangolo alcuni valori (non scelti a caso, poiché un triangolo è rettangolo se i lati hanno delle misure tali da essere una terna pitagorica).

AB = 4 cm; AC = 3 cm; BC = 5 cm.

Applicando l’enunciato del Teorema di Pitagora avremo:

52 = 32 + 42 → 25 = 9 + 16 → 25 = 25

Con questo esempio abbiamo anche implicitamente visto cos’è una terna pitagorica, cioè un insieme di tre numeri naturali (n1, n2 e n3) tali che:

n12 + n22 = n32

Nei problemi di geometria con cui si ha a che fare solitamente si utilizzano delle formule che derivano da quella sopra descritta (Q3 = Q1 + Q2); in particolare, le formule sono quelle che permettono di ottenere la misura di un lato del triangolo, conoscendo le misure degli altri due lati.

Le formule del Teorema di Pitagora sono le seguenti:

  • i=\sqrt{c_m{}^{2}+c_M{}^{2}}  → formula che permette di ricavare la misura dell’ipotenusa, conoscendo le misure dei due cateti
  • c_m{}=\sqrt{i^{2}-c_M{}^{2}} → formula che permette di ricavare la misura del cateto minore, conoscendo le misure dell’ipotenusa e del cateto maggiore
  • c_M{}=\sqrt{i^{2}-c_m{}^{2}} → formula che permette di ricavare la misura del cateto maggiore, conoscendo le misure dell’ipotenusa e del cateto minore

Vediamo qualche esempio di applicazione di queste formule in alcuni problemi sui triangoli rettangoli.

Esempio 1

I cateti di un triangolo rettangolo misurano, rispettivamente, 6 cm e 8 cm. Quanto misura l’ipotenusa?

Il problema sopra presentato è uno tra i più classici che riguardano il Teorema di Pitagora: la domanda chiede di trovare la misura dell’ipotenusa di un triangolo rettangolo, di cui si conosce la misura dei due cateti.

Per svolgere questo problema è sufficiente applicare la prima delle tre formule sopra riportate:

i=\sqrt{c_m{}^{2}+c_M{}^{2}}

Sostituendo i valori, si ottiene:

i=\sqrt{c_m{}^{2}+c_M{}^{2}}=\sqrt{6{}^{2}+8{}^{2}}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10cm

Esempio 2

La base di un rettangolo misura 15 cm. Calcolare la misura dell’altezza, sapendo che la diagonale del rettangolo misura 17 cm.

Questo è un classico problema nel quale il Teorema di Pitagora è applicato ad altre figure geometriche (in questo caso ad un rettangolo). In realtà, se si immagina la figura del problema, si può facilmente intuire che tracciando la diagonale del rettangolo si ottengono due triangoli rettangoli uguali: ecco perché è possibile (e necessario) applicare il Teorema di Pitagora.

Teorema di Pitagora_2

La richiesta del problema è la misura dell’altezza del rettangolo: si tratta, quindi, di calcolare la misura di un cateto (quello minore), poiché la diagonale corrisponde all’ipotenusa, mentre la base del rettangolo all’altro cateto (quello maggiore).

Si utilizzerà, quindi, la formula seguente:

c_m{}=\sqrt{i^{2}-c_M{}^{2}}

Sostituendo i valori, si ottiene:

c_m{}=\sqrt{i^{2}-c_M{}^{2}}=\sqrt{17{}^{2}-15{}^{2}}=\sqrt{289-225}=\sqrt{64}=8cm

Esempio 3

In un cono l’apotema misura 37 cm. Sapendo che il raggio di base è di 12 cm, calcolare la misura dell’altezza del cono.

Questo è un problema nel quale il Teorema di Pitagora è applicato ad un solido (in questo caso ad un cono).

Teorema di Pitagora_3

La richiesta del problema è la misura dell’altezza del cono: si tratta, quindi, di calcolare la misura di un cateto (quello maggiore), poiché l’apotema corrisponde all’ipotenusa, mentre il raggio del cono all’altro cateto (quello minore).

Si utilizzerà, quindi, la formula seguente:

c_M{}=\sqrt{i^{2}-c_m{}^{2}}

Sostituendo i valori, si ottiene:

c_M{}=\sqrt{i^{2}-c_m{}^{2}}=\sqrt{37{}^{2}-12{}^{2}}=\sqrt{1369-144}=\sqrt{1225}=35cm

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Somma di due segmenti e loro rapporto

Somma di due segmenti e loro rapporto: ecco la lezione che ti aiuterà a svolgere questo tipo di problema geometrico!

La somma di due segmenti è 35 cm e uno è i \frac{3}{4} dell’altro. Qual è la misura dei due segmenti?

Questo è un classico problema nel quale è presente la somma delle misure dei due segmenti e il loro rapporto, spesso rappresentato come una frazione.

Traducendo in simboli il problema sopra citato, potremmo scrivere:

  • n1 + n2 = 35 – cioè la somma delle misure dei due segmenti
  • n1\frac{3}{4} n– cioè il rapporto tra i due segmenti

n1 e n2 rappresentano i due segmenti incogniti.

Per determinare la misura dei due segmenti sono possibili due strade:

  1. Utilizzando la proprietà del comporre delle proporzioni
  2. Facendosi aiutare dalla geometria, rappresentando il problema proprio con due segmenti

Proprietà del comporre delle proporzioni

Sapendo che il rapporto tra n1 e n2 è \frac{3}{4}, possiamo impostare la proporzione nel modo seguente:

n1 : n2 = 3 : 4

In più, sappiamo che n1 + n2 = 35. Possiamo, quindi, applicare la proprietà del comporre scrivendo:

(n1 + n2) : n1 = (3 + 4) : 3

Ora è sufficiente sostituire 35 dentro la parentesi (n1 + n2), ottenendo:

35 : n1 = 7 : 3

Per concludere si può ora facilmente ottenere n1, applicando la proprietà fondamentale delle proporzioni, cioè:

n1 = (35 · 3) : 7 = 15

Di conseguenza, n2 si può ottenere per differenza, cioè:

n2 = 35 – 15 = 20

Geometria: segmenti

Sapendo che il rapporto tra n1 e n2 è \frac{3}{4}, possiamo disegnare due segmenti, uno di lunghezza 3 unità e l’altro di lunghezza 4 unità:

Segmento 3 unità

Segmento 4 unità

Sapendo che n1 + n2 = 35, si può disegnare il segmento somma dei due segmenti iniziali, ottenendo:

Segmento 7 unità

Come si può notare nel disegno sopra riportato, il segmento somma è formato da 7 unità, che corrispondono alla somma dei due segmenti incogniti.

Per determinare quanto vale 1 unità del segmento è sufficiente eseguire una semplice divisione, cioè:

35 : 7 = 5

Sapendo che 1 unità vale 5 e che i segmenti iniziali sono lunghi, rispettivamente, 3 unità e 4 unità, per stabilire la misura dei due segmenti incogniti è sufficiente moltiplicare 5 per le unità di ogni segmento, cioè:

5 · 3 = 15 = n1

5 · 4 = 20 = n2


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Somma e differenza di due segmenti

Somma e differenza di due segmenti: cosa significa?

La somma delle misure di due segmenti è 20 cm e la loro differenza è 10 cm. Qual è la misura dei due segmenti?

Questo è un classico problema di geometria nel quale viene chiesto di calcolare la misura di due segmenti, conoscendo la loro somma e la loro differenza.

In generale, per svolgere questo tipo di problema, si può applicare la regola generale dei problemi con somma e differenza di due numeri.

Supponiamo che i due segmenti siano a e b. Esprimiamo sotto forma di addizione e di sottrazione i dati del problema:

S = a + b
D = ab
con b < a

Come si trova la lunghezza dei due segmenti?

Ecco le due formule risolutive:

somma e differnza di due numeri_2

somma e differnza di due numeri_1

Disegniamo i due segmenti a e b:

somma e differenza di due numeri_3

Rappresentiamo la loro somma (un segmento adiacente all’altro) e la loro differenza (segmento tratteggiato in verde).

somma e differenza di due numeri_4

Proiettiamo il segmento che rappresenta la sottrazione (ab) in basso nel segmento che rappresenta l’addizione (a + b): in questo modo troviamo due segmenti uguali, che corrispondono a due volte il segmento b.

Dividendo per due, troviamo il valore di b. Ciò è rappresentato nella figura seguente.

somma e differenza di due numeri_5

In modo analogo, se dal segmento somma aggiungiamo il valore della differenza (parte tratteggiata) troviamo due segmenti uguali, che corrispondono a due volte il segmento a.

Dividendo per due, troviamo la misura del segmento a. Ciò è rappresentato nella figura seguente.

somma e differenza di due numeri_6

In sintesi, quando abbiamo la somma e la differenza di due segmenti a e b, per trovarne la misura applichiamo queste due semplici formule:

somma e differnza di due numeri_2

somma e differnza di due numeri_1

Riprendiamo il problema proposto inizialmente:

La somma delle misure di due segmenti è 20 cm e la loro differenza è 10 cm. Qual è la misura dei due segmenti?

Secondo quanto esposto poco sopra, per trovare la misura dei due segmenti è sufficiente svolgere le due operazioni seguenti:

a=\frac{20+10}{2}=\frac{30}{2}=15cm

b=\frac{20-10}{2}=\frac{10}{2}=5cm

I due segmenti misurano rispettivamente 15 cm e 5 cm (se sommiamo le loro misure otteniamo effettivamente 20 cm, mentre se eseguiamo la sottrazione otteniamo 10 cm).

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Lezioni di Matematica!

Ecco la sezione dedicata alle lezioni di matematica!

Potete trovate lezioni su vari argomenti per la scuola media e la scuola superiore:

Per alcuni argomenti è presente un file in formato pdf.

Inoltre, attraverso il canale Youtube matematicaoggi, è possibile seguire le video lezioni sugli argomenti di matematica presenti nel sito.

Infine, trovate materiali per lo studio e per lo svolgimento degli esercizi: tavole numeriche e formulari.


Il sito offre molti esercizi suddivisi per livelli di difficoltà; scegli gli esercizi di cui hai bisogno, collegandoti alla sezione dedicata!


Per qualsiasi richiesta, potete contattarmi per mail scrivendo a matematicaoggi@gmail.com.

Buono studio!


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