Problemi numerici risolvibili con equazioni di primo grado

I problemi numerici risolvibili con equazioni di primo grado sono problemi matematici che richiedono di determinarne la soluzione utilizzando le equazioni di primo grado.

Difficile? No, l’importante è leggere bene il problema e “tradurlo” correttamente con simboli matematici e numeri, ottenendo così l’equazione che permetterà di trovare la soluzione.

Cerchiamo di capire con qualche esempio come svolgere questo tipo di problemi.

Esempio 1

Calcola un numero sapendo che il suo triplo è 24.

Solitamente nelle equazioni di primo grado l’incognita è rappresentata da x: il numero da trovare, quindi, rappresenta l’incognita, perché non ne conosciamo il valore.

La parte del problema che va tradotta in simboli è questa: il suo triplo è 24. Qui si fa riferimento al numero incognito, cioè il triplo del numero è uguale a 24. Quindi, se il numero da trovare è x e il suo triplo (3x) è uguale a 24, possiamo tradurre il problema in questo modo:

3x=24

Applicando le regole di svolgimento delle equazioni di primo grado è facile determinare il valore di x, dividendo entrambi i membri per 3, ottenendo:

\frac{3x}{3}=\frac{24}{3}\rightarrow x=8

Esempio 2

La terza parte di un numero, aumentata di 5, dà come risultato 12. Qual è questo numero?

Anche in questo problema l’obiettivo è di determinare il valore di un numero, che chiameremo x. Analizziamo ora il testo del problema.

  • La terza parte di un numero significa, in termini di frazione, \frac{1}{3} del numero, cioè \frac{1}{3}x.
  • Aumentata di 5 significa che va aggiunto 5 alla parte precedente, cioè \frac{1}{3}x+5.
  • Dà come risultato 12, significa che l’operazione sopra ottenuta è uguale a 12, cioè \frac{1}{3}x+5=12.

In questo modo il problema è stato tradotto in una equazione: ora non resta che risolverla, applicando i dovuti passaggi.

\frac{1}{3}x+5=12 \rightarrow\frac{1}{3}x=12-5 \rightarrow\frac{1}{3}x=7 \rightarrow3\cdot\frac{1}{3}x=7\cdot3 \rightarrow x=21

Esempio 3

La somma di due numeri pari consecutivi è 22. Determinare il valore dei due numeri.

In questo problema viene chiesto di determinare il valore di due numeri, a differenza dei problemi precedenti. Ma non c’è da preoccuparsi: si parte sempre dall’incognita x (che corrisponde al primo dei due numeri); essendo due numeri pari consecutivi, è sufficiente considerare che al numero x si può aggiungere 2 per ottenere il numero pari successivo, quindi l’altro numero lo possiamo esprimere come x+2.

Detto questo, traduciamo il problema in questo modo:

x+x+2=22

perché il primo numero (x), sommato al numero pari successivo (x+2) dà come somma 22. L’equazione di primo grado che otteniamo è semplice da risolvere:

x+x+2=22\rightarrow2x+2=22\rightarrow2x=22-2\rightarrow2x=20\rightarrow \frac{2x}{2}=\frac{20}{2}\rightarrow x=10

Ora che abbiamo determinato il primo numero pari (10), il secondo è – di conseguenza – il successivo, cioè 12.


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Sistemi di equazioni di primo grado a due incognite – Metodo di sostituzione

In questo articolo vediamo come svolgere i sistemi di equazioni di primo grado a due incognite utilizzando il metodo di sostituzione.

In generale, per trovare le soluzioni di un sistema di equazioni di primo grado a due incognite è possibile seguire diversi metodi:

  • Sostituzione
  • Confronto
  • Sottrazione (o riduzione o eliminazione)
  • Cramer

Vediamo con un esempio come si applica il metodo di sostituzione. Precisiamo che, formalmente, a sinistra delle due equazioni dovrebbe esserci una parentesi graffa che le unisce, ma qui non l’abbiamo inserita per semplicità.

In caso di necessità, ripassa prima le equazioni di primo grado.

Esempio

x+2y=3
2x+3y=5

Il metodo di sostituzione prevede, prima di tutto, di ricavare una delle due incognite in una delle due equazioni (si consiglia sempre di partire da quella più facile), per poi andare a sostituirla all’interno dell’altra equazione.

Nel sistema dell’esempio conviene partire ricavando la x nella prima equazione (poiché ha coefficiente pari a 1): per ricavare la x nella prima equazione è sufficiente spostare al secondo membro il termine +2y, ottenendo:

x=3-2y
2x+3y=5

Ora andremo a sostituire la x della prima equazione (che corrisponde a 3-2y) al posto della x della seconda equazione, ottenendo così:

x=3-2y
2(3-2y)+3y=5

La nostra attenzione ora si sposta sulla seconda equazione: si può vedere, infatti, che l’equazione presenta la sola incognita y, quindi è possibile trovare – attraverso alcuni semplici passaggi – la soluzione, quindi il valore di y. Procediamo, quindi, a determinare la soluzione della seconda equazione:

x=3-2y
6-4y+3y=5

Dopo aver svolto la parentesi tonda, spostiamo a destra dell’uguale il numero 6, cambiandolo di segno, e svolgiamo i calcoli previsti:

x=3-2y
-4y+3y=5-6

Svolgiamo le somme algebriche:

x=3-2y
-y=-1

Per fare in modo che y abbia coefficiente positivo è sufficiente moltiplicare per -1 entrambi i membri della seconda equazione:

x=3-2y
y=1

Ora che abbiamo determinato il valore di y, è possibile determinare anche il valore di x sostituendo il valore 1 nella prima equazione:

x=3-2\cdot1
y=1
x=1
y=1

Il sistema è risolto! Ma…è corretto? Per verificare la correttezza dei risultati è sufficiente sostituire i valori ottenuti alle incognite delle equazioni iniziali:

x+2y=3
2x+3y=5
1+2\cdot1=3
2\cdot1+3\cdot1=5
3=3
5=5

Verifica completata: come si può notare abbiamo ottenuto due uguaglianze, quindi possiamo affermare che i valori di x e di y sono corretti.

Guarda la videolezione sul canale YouTube matematicaoggi sui sistemi di equazioni di primo grado a due incognite utilizzando il metodo di sostituzione.


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Equazioni di secondo grado complete

Se stai leggendo questo articolo allora sei nel posto giusto: ecco una lezione chiara ed esaustiva sulle equazioni di secondo grado complete!

Una equazione è di secondo grado quando l’incognita (solitamente x) compare con esponente 2 (alla seconda o al quadrato).

La forma generica dell’equazione di secondo grado è la seguente:

 ax^{2}+bx+c=0

In base a questa forma generica, a seconda che vi siano o meno alcuni dei suoi termini, si possono avere anche le equazioni di secondo grado pure e le equazioni di secondo grado spurie.

In questa lezione ci occupiamo delle equazioni di secondo grado complete.

Per svolgere una equazione di secondo grado completa è necessario ricordare una formula risolutiva, che permette di ottenere le soluzioni dell’equazione stessa; la formula risolutiva è la seguente:

x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{ b^{2}-4ac}}{2a}

In particolari condizioni, cioè quando b è pari, è possibile utilizzare la formula risolutiva ridotta (in breve, formula ridotta):

x_{1,2}=\frac{-\frac{b}{2}\pm\sqrt{ (\frac{b}{2})^{2}-ac}}{a}

Vediamo con qualche esempio come si applicano le formule sopra riportate.

Esempio 1

Risolvere la seguente equazione di secondo grado: x^2+4x-5=0

Per risolvere questa equazione applichiamo la formula risolutiva:

x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{ b^{2}-4ac}}{2a}

In questo caso:

a=1

b=4

c=-5

Sostituiamo i valori all’interno della formula, ottenendo:

x_{1,2}=\frac{-4\pm\sqrt{4^2-4\cdot1\cdot(-5)}}{2\cdot1}=\frac{-4\pm\sqrt{16+20}}{2}=\frac{-4\pm\sqrt{36}}{2}=\frac{-4\pm6}{2}=

Le due soluzioni si ottengono in questo modo:

x_{1}=\frac{-4-6}{2}=\frac{-10}{2}=-5

x_{2}=\frac{-4+6}{2}=\frac{2}{2}=1

In questo esempio è possibile applicare la formula ridotta, in alternativa a quella generica, poiché b è pari. Le soluzioni date dalla formula ridotta devono essere le stesse; verifichiamo:

x_{1,2}=\frac{-\frac{4}{2}\pm\sqrt{ (\frac{4}{2})^{2}-1\cdot(-5)}}{1}=\frac{-2\pm\sqrt{ 2^{2}+5}}{1}=\frac{-2\pm\sqrt{ 4+5}}{1}=\frac{-2\pm\sqrt{ 9}}{1}=\frac{-2\pm3}{1}=

Analogamente a quanto riportato sopra, le due soluzioni si ottengono in questo modo:

x_{1}=\frac{-2-3}{1}=\frac{-5}{1}=-5

x_{2}=\frac{-2+3}{1}=\frac{1}{1}=1

Esempio 2

Risolvere la seguente equazione di secondo grado: -x^2+3x+4=0

Per risolvere questa equazione applichiamo la formula risolutiva (precisiamo che non è possibile applicare la formula ridotta, poiché b non è pari):

x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{ b^{2}-4ac}}{2a}

In questo caso:

a=-1

b=3

c=4

Sostituiamo i valori all’interno della formula, ottenendo:

x_{1,2}=\frac{-3\pm\sqrt{3^2-4\cdot(-1)\cdot4}}{2\cdot(-1)}=\frac{-3\pm\sqrt{9+16}}{-2}=\frac{-3\pm\sqrt{25}}{-2}=\frac{-3\pm5}{-2}=

Le due soluzioni si ottengono in questo modo:

x_{1}=\frac{-3-5}{-2}=\frac{-8}{-2}=+4

x_{2}=\frac{-3+5}{-2}=\frac{+2}{-2}=-1

Se la spiegazione non ti ha chiarito tutti i dubbi, guarda la videolezione direttamente dal canale YouTube matematicaoggi!

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Equazioni di secondo grado spurie

Le equazioni di secondo grado spurie sono le equazioni espresse nella forma

a x^{2}+bx=0

Essa deriva dall’equazione in forma completa ax^{2}+bx+c=0 , in cui il temine c è uguale a 0.

Ma come si risolve una equazione di secondo grado spuria?

A questa domanda si risponde facilmente, poiché è sufficiente ricordare che le due soluzioni sono sempre:

x_{1}=0

x_{2}=-\frac{b}{a}

Vediamo alcuni esempi applicativi.

Esempio 1

4x^{2}-12x=0

In questa equazione i valori di riferimento sono i seguenti:

a=+4

b=-12

Non resta che sostituire questi valori all’interno delle formule risolutive:

x_{1}=0

x_{2}=-\frac{-12}{4}=+\frac{12}{4}=+3

Esempio 2

-2x^{2}+9x=0

Come per l’esempio 1, identifichiamo i valori di riferimento che ci aiuteranno a risolvere l’equazione:

a=-2

b=+9

Ora sostituiamo i valori all’interno delle formule, ottenendo:

x_{1}=0

x_{2}=-\frac{+9}{-2}=+\frac{9}{2}

Esempio 3

-5x^{2}-10x=0

In questo ultimo esempio i valori di riferimento per le formule risolutive sono i seguenti:

a=-5

b=-10

Le soluzioni dell’equazione le otteniamo sostituendo i valori:

x_{1}=0

x_{2}=-\frac{-10}{-5}=-\frac{10}{5}=-2


Qual è l’origine delle formule risolutive per svolgere le equazioni di secondo grado spurie? Lo vediamo!

Consideriamo la formula risolutiva delle equazioni di secondo grado complete:

x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{ b^{2}-4ac}}{2a}

Come detto, il termine c è uguale a 0: di conseguenza, se sostituiamo 0 al posto della lettera c, la formula si riduce come segue:

x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{ b^{2}}}{2a}

Portiamo fuori il termine al quadrato e usiamo \sqrt{b^2}=b (vero solo se b>0), ottenendo così:

x_{1,2}=\frac{-b\pm\ b}{2a}

Ora è possibile ottenere le formule iniziali:

x_{1}=\frac{-b+b}{2a}=\frac{0}{2a}=0

x_{2}=\frac{-b-b}{2a}=\frac{-2b}{2a}=-\frac{b}{a}


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Equazioni di secondo grado pure

Le equazioni di secondo grado pure sono le equazioni espresse nella forma

a x^{2}+c=0

Essa deriva dall’equazione in forma completa ax^{2}+bx+c=0 , in cui il temine b è uguale a 0.

Ma come si risolve una equazione di secondo grado pura?

A questa domanda si risponde facilmente, poiché è sufficiente ricordarsi ed applicare le due piccole formule sotto riportate:

x_{1}=-\sqrt{-\frac{c}{a}}

x_{2}=+\sqrt{-\frac{c}{a}}

Vediamo con alcuni esempi come si applicano queste formule.

Esempio 1

 x^{2}-4=0

In questa equazione i valori di riferimento sono i seguenti:

a=+1

c=-4

Non resta che sostituire questi valori all’interno delle formule risolutive:

x_{1}=-\sqrt{-\frac{-4}{1}}=-\sqrt{\frac{4}{1}}=-\sqrt{4}}=-2

x_{2}=+\sqrt{-\frac{-4}{1}}=+\sqrt{\frac{4}{1}}=+\sqrt{4}}=+2

Esempio 2

 16x^{2}-1=0

Come per l’esempio 1, identifichiamo i valori di riferimento che ci aiuteranno a risolvere l’equazione:

a=+16

c=-1

Ora sostituiamo i valori all’interno delle formule, ottenendo:

x_{1}=-\sqrt{-\frac{-1}{16}}=-\sqrt{\frac{1}{16}}=-\frac{1}{4}

x_{2}=+\sqrt{-\frac{-1}{16}}=+\sqrt{\frac{1}{16}}=+\frac{1}{4}

Esempio 3

-25x^{2}+9=0

In questo ultimo esempio i valori di riferimento per le formule risolutive sono i seguenti:

a=-25

c=+9

Le soluzioni dell’equazione le otteniamo sostituendo i valori:

x_{1}=-\sqrt{-\frac{9}{-25}}=-\sqrt{\frac{9}{25}}=-\frac{3}{5}

x_{2}=+\sqrt{-\frac{9}{-25}}=+\sqrt{\frac{9}{25}}=+\frac{3}{5}


Qual è l’origine delle formule risolutive per svolgere le equazioni di secondo grado pure? Lo vediamo!

Scriviamo l’equazione ax^{2}+bx+c=0 in modo che a>0 . Se non è così, cambiamo tutto di
segno. Questo passo è importante perché la radice quadrata prende argomenti positivi e
restituisce numeri positivi.

Consideriamo la formula risolutiva delle equazioni di secondo grado complete:

x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{ b^{2}-4ac}}{2a}

Come detto, il termine b è uguale a 0: di conseguenza, se sostituiamo 0 al posto della lettera b, la formula si riduce come segue:

x_{1,2}=\frac{\pm\sqrt{-4ac}}{2a}

Possiamo portare fuori radice il 4, ottenendo così:

x_{1,2}=\frac{\pm2\sqrt{-ac}}{2a}

Ora possiamo semplificare il 2 sopra e sotto; la formula si riduce alla forma seguente:

x_{1,2}=\frac{\pm\sqrt{-ac}}{a}

Moltiplicando numeratore e denominatore per \sqrt{a} (si può fare solo se a>0) si ottiene:

x_{1,2}=\frac{\pm\sqrt{-ac}\cdot\sqrt{a}}{a\cdot\sqrt{a}}

Eseguendo la moltiplicazione a numeratore si ottiene:

x_{1,2}=\frac{\pm\sqrt{-a^2c}}{a\cdot\sqrt{a}}

Portiamo fuori il termine al quadrato e usiamo \sqrt{a^2}=a (vero solo se a>0), ottenendo così:

x_{1,2}=\frac{\pm{a}\sqrt{-c}}{a\cdot\sqrt{a}}

Ora è possibile semplificare i due termini a che si trovano a numeratore e a denominatore; in questo modo otteniamo:

x_{1,2}=\frac{\pm\sqrt{-c}}{\sqrt{a}}

Le radici presenti a numeratore e a denominatore hanno lo stesso indice, quindi è possibile applicare la stessa radice al rapporto \frac{-c}{a} ; a questo punto si ottiene la formula finale:

x_{1,2}=\pm\sqrt{\frac{-c}{a}}

Essa corrisponde alle due formule:

x_{1}=-\sqrt{-\frac{c}{a}}

x_{2}=+\sqrt{-\frac{c}{a}}


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Equazioni di primo grado fratte

Vuoi sapere cosa sono le equazioni di primo grado fratte e come si risolvono? Sei nel posto giusto!

Le equazioni di primo grado fratte (anche dette equazioni fratte di primo grado) sono le equazioni nelle quali l’incognita (solitamente indicata con x) è presente almeno una volta a denominatore.

Generalmente questo tipo di equazioni si rappresentano, in forma normale, come segue:

\frac{N(x)}{D(x)}=0

in cui N(x) e D(x) sono, rispettivamente, i polinomi al numeratore e al denominatore della frazione.

Per svolgere un’equazione di primo grado fratta è necessario seguire alcuni passaggi, di seguito elencati:

  1. Porre le condizioni di esistenza (cioè indicare i casi in cui il denominatore non può essere 0).
  2. Ridurre in forma normale l’equazione iniziale
  3. Eliminare i denominatori
  4. Confrontare la soluzione con le condizioni di esistenza

Utilizziamo alcuni esempi per capire bene come si svolge un’equazione fratta di primo grado.

Prima di iniziare può essere utile rivedere come si risolve una equazione di primo grado intera!

Esempio 1

\frac{2}{x-1}=1

L’equazione dell’esempio è un’equazione di primo grado fratta, poiché la x compare a denominatore della frazione a sinistra.

Il primo passaggio consiste nel porre le condizioni di esistenza. In questo caso la condizione da porre è la seguente: x-1 \neq 0.

Con un semplice passaggio, portiamo il -1 a destra, cambiandolo di segno, ottenendo così: x \neq +1.

Ora si prosegue riducendo in forma normale la nostra equazione: ciò significa determinare il minimo comune multiplo (m.c.m.) dei denominatori. In questo caso c’è un unico denominatore, quindi avremo:

\frac{2}{x-1}=\frac{x-1}{x-1}

Moltiplicando a sinistra e a destra per x-1 è possibile eliminare i denominatori (si semplifica), ottenendo:

2=x-1

Portiamo la x al primo membro e il 2 al secondo membro (cambiando il segno):

-x=-2-1

Svolgiamo il calcolo al secondo membro, ottendendo:

-x=-3

Ora non resta che moltiplicare a sinistra e a destra per -1, così la x risulterà positiva:

x=3

Se confrontiamo la soluzione ottenuta (x=3) con le condizioni di esistenza ( x \neq +1) si può affermare che la soluzione è accettabile.

Esempio 2

\frac{x+3}{2x-2}=\frac{x+1}{x-1}

Prima di porre le condizioni di esistenza, osserviamo il denominatore della frazione del primo membro (2x-2): è possibile raccogliere il 2, ottenendo cosi:

\frac{x+3}{2(x-1)}=\frac{x+1}{x-1}

Ora possiamo porre le condizioni di esistenza: x-1 \neq 0. Con un semplice passaggio, portiamo il -1 a destra, cambiandolo di segno, ottenendo così: x \neq +1.

Il m.c.m. dei denominatori è 2(x-1), quindi avremo:

\frac{x+3}{2(x-1)}=\frac{2(x+1)}{2(x-1)}

Eliminando i denominatori si ottiene x+3=2(x+1).

Risolviamo la parentesi al secondo membro, ottenendo x+3=2x+2.

Portiamo le x a sinistra e i termini noti a destra, cambiando i segni; otteniamo così: x-2x=2-3

Svolgiamo i calcoli e otteniamo -x=-1.

Moltiplicando per -1 a sinistra e a destra otteniamo la soluzione finale, cioè x=1.

Se confrontiamo la soluzione ottenuta (x=1) con le condizioni di esistenza ( x \neq +1) si può affermare che la soluzione non è accettabile, quindi l’equazione è impossibile.


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