Equazioni di primo grado fratte

Le equazioni di primo grado fratte (anche dette equazioni fratte di primo grado) sono le equazioni nelle quali l’incognita (solitamente indicata con x) è presente almeno una volta a denominatore.

Generalmente questo tipo di equazioni si rappresentano, in forma normale, come segue:

\frac{N(x)}{D(x)}=0

in cui N(x) e D(x) sono, rispettivamente, i polinomi al numeratore e al denominatore della frazione.

Per svolgere un’equazione di primo grado fratta è necessario seguire alcuni passaggi, di seguito elencati:

  1. Porre le condizioni di esistenza (cioè indicare i casi in cui il denominatore non può essere 0).
  2. Ridurre in forma normale l’equazione iniziale
  3. Eliminare i denominatori
  4. Confrontare la soluzione con le condizioni di esistenza

Utilizziamo alcuni esempi per capire bene come si svolge un’equazione fratta di primo grado.

Esempio 1

\frac{2}{x-1}=1

L’equazione dell’esempio è un’equazione di primo grado fratta, poiché la x compare a denominatore della frazione a sinistra.

Il primo passaggio consiste nel porre le condizioni di esistenza. In questo caso la condizione da porre è la seguente: x-1 \neq 0.

Con un semplice passaggio, portiamo il -1 a destra, cambiandolo di segno, ottenendo così: x \neq +1.

Ora si prosegue riducendo in forma normale la nostra equazione: ciò significa determinare il minimo comune multiplo (m.c.m.) dei denominatori. In questo caso c’è un unico denominatore, quindi avremo:

\frac{2}{x-1}=\frac{x-1}{x-1}

Moltiplicando a sinistra e a destra per x-1 è possibile eliminare i denominatori (si semplifica), ottenendo:

2=x-1

Portiamo la x al primo membro e il 2 al secondo membro (cambiando il segno):

-x=-2-1

Svolgiamo il calcolo al secondo membro, ottendendo:

-x=-3

Ora non resta che moltiplicare a sinistra e a destra per -1, così la x risulterà positiva:

x=3

Se confrontiamo la soluzione ottenuta (x=3) con le condizioni di esistenza ( x \neq +1) si può affermare che la soluzione è accettabile.

Esempio 2

\frac{x+3}{2x-2}=\frac{x+1}{x-1}

Prima di porre le condizioni di esistenza, osserviamo il denominatore della frazione del primo membro (2x-2): è possibile raccogliere il 2, ottenendo cosi:

\frac{x+3}{2(x-1)}=\frac{x+1}{x-1}

Ora possiamo porre le condizioni di esistenza: x-1 \neq 0. Con un semplice passaggio, portiamo il -1 a destra, cambiandolo di segno, ottenendo così: x \neq +1.

Il m.c.m. dei denominatori è 2(x-1), quindi avremo:

\frac{x+3}{2(x-1)}=\frac{2(x+1)}{2(x-1)}

Eliminando i denominatori si ottiene x+3=2(x+1).

Risolviamo la parentesi al secondo membro, ottenendo x+3=2x+2.

Portiamo le x a sinistra e i termini noti a destra, cambiando i segni; otteniamo così: x-2x=2-3

Svolgiamo i calcoli e otteniamo -x=-1.

Moltiplicando per -1 a sinistra e a destra otteniamo la soluzione finale, cioè x=1.

Se confrontiamo la soluzione ottenuta (x=1) con le condizioni di esistenza ( x \neq +1) si può affermare che la soluzione non è accettabile, quindi l’equazione è impossibile.