Espressioni con le radici

Vuoi sapere come si svolgono le espressioni con le radici? Sei nel posto giusto!

Innanzitutto è bene precisare che le radici possono avere diversi indici: solitamente la maggior parte degli esercizi riportano le radici quadrate, quindi con indice 2.

Per eseguire le espressioni con le radici è importante ricordare le regole di svolgimento delle espressioni in generale.

Inoltre, ricordiamo che la radice è l’operazione opposta della potenza, ad esempio:

4^2=16 \rightarrow\sqrt{16}=4

3^3=27 \rightarrow\sqrt[3]{27}=3

e così via.

Considerando queste precisazioni, vediamo con qualche esempio lo svolgimento delle espressioni con le radici.

Esempio 1

\sqrt{4+(7\cdot3)}+\left [ 13-(15\cdot3):5 \right ]=

In questa espressione è presenta una radice quadrata (attenzione: la radice è applicata solamente ad una parte dei calcoli).

Nel primo passaggio è necessario svolgere le operazioni all’interno delle parentesi tonde, ottenendo così:

\sqrt{4+21}+\left [ 13-45:5 \right ]=

In seguito si svolge l’addizione all’interno della radice e la divisione all’interno della parentesi quadra:

\sqrt{25}+\left [ 13-9 \right ]=

Ora non resta che svolgere, nello stesso passaggio, sia la radice quadrata che la sottrazione all’interno delle parentesi quadre; in questo modo si ottiene:

5+4=9

Esempio 2

\sqrt{[12+45:(3\cdot5)]\cdot(28-12):4+21}=

L’espressione di questo esempio vede una radice quadrata al di sotto della quale è presente una serie di calcoli che vanno svolti secondo un ordine ben preciso; innanzitutto è necessario svolgere i calcoli all’interno delle due parentesi tonde, ottenendo:

\sqrt{[12+45:15]\cdot16:4+21}=

Ora si precede svolgendo i calcoli all’interno delle parentesi quadre, iniziando con la divisione:

\sqrt{[12+3]\cdot16:4+21}=

Nel prossimo passaggio possiamo togliere le parentesi quadre svolgendo l’addizione:

\sqrt{15\cdot16:4+21}=

Non sono presenti parentesi; di conseguenza si svolgono le operazioni restanti, procedendo con ordine (prima la moltiplicazione, poi la divisione, infine la somma):

\sqrt{240:4+21}=

\sqrt{60+21}=

\sqrt{81}=9


Non è ancora presente una videolezione sulle espressioni con le radici. Se lo desideri, puoi vedere questo video sulle espressioni con le frazioni e le radici quadrate.


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Quoziente di radicali con lo stesso indice

Il quoziente di radicali con lo stesso indice è una delle diverse operazioni che si possono eseguire con i radicali.

La regola generale per poter svolgere il quoziente di radicali con lo stesso indice è la seguente:

\sqrt[a]{b} \ :\ \sqrt[a]{c}\ = \sqrt[a]{b\ :\ c}

Innanzitutto si parte dal presupposto che i radicali devono avere lo stesso indice, indicato sopra con la lettera a.

Una volta verificato che i radicali hanno lo stesso indice, si procede svolgendo il quoziente, dividendo tra loro i radicandi e mantenendo la stessa radice (e, quindi, lo stesso indice).

Dopo aver svolto il quoziente è bene verificare se è possibile calcolare la radice ottenuta.

Vediamo ora qualche esempio applicativo.

Esempio 1

\sqrt[5]{40}\ : \ \sqrt[5]{4}\ =

Come si può facilmente notare, i radicali di questo esempio hanno lo stesso indice (5).

Di conseguenza si può applicare la regola sopra indicata dividendo tra loro i radicandi, ottenendo così:

\sqrt[5]{40} \ : \ \sqrt[5]{4}\ = \sqrt[5]{40 \ :\ 4}= \sqrt[5]{10}

La radice ottenuta non è semplificabile, quindi quello ottenuto è il risultato finale.

Esempio 2

\sqrt{80} \ : \ \sqrt{20}=

Così come per il primo esempio, anche in questo caso i radicali hanno lo stesso indice, cioè 2 (si tratta di radici quadrate).

Si procede, quindi, con la regola prevista; si ottiene così:

\sqrt{80} \ : \ \sqrt{20}=\sqrt{80 \ : \ 20} =\sqrt{4}=2

Esempio 3

\sqrt[3]{100} \ : \ \sqrt[3]{4} \ : \ \sqrt[3]{5}=

Anche in questo terzo esempio i radicali hanno lo stesso indice: si tratta di radici cubiche (indice pari a 3).

La regola prevista si applica anche se i radicali sono più di due; avremo quindi:

\sqrt[3]{100} \ : \ \sqrt[3]{4} \ : \ \sqrt[3]{5}=\sqrt[3]{100 \ : \ 4 \ : \ 5} =\sqrt[3]{5}

La radice ottenuta non è semplificabile, quindi quello ottenuto è il risultato finale.

Guarda la videolezione con altri esempi chiari ed esaustivi!

Guarda le altre lezioni sui radicali!

Prodotto di radicali con lo stesso indice

Il prodotto di radicali con lo stesso indice è una delle diverse operazioni che si possono eseguire con i radicali.

La regola generale per poter svolgere il prodotto di radicali con lo stesso indice è la seguente:

\sqrt[a]{b}\cdot\sqrt[a]{c}\ = \sqrt[a]{b\cdot\ c}

Innanzitutto si parte dal presupposto che i radicali devono avere lo stesso indice, indicato sopra con la lettera a.

Una volta verificato che i radicali hanno lo stesso indice, si procede svolgendo il prodotto, moltiplicando tra loro i radicandi e mantenendo la stessa radice (e, quindi, lo stesso indice).

Dopo aver svolto il prodotto è bene verificare se è possibile calcolare la radice ottenuta.

Vediamo ora qualche esempio applicativo.

Esempio 1

\sqrt[3]{4}\cdot\sqrt[3]{5}\ =

Come si può facilmente notare, i radicali di questo esempio hanno lo stesso indice (3).

Di conseguenza si può applicare la regola sopra indicata moltiplicando tra loro i radicandi, ottenendo così:

\sqrt[3]{4}\cdot\sqrt[3]{5}\ = \sqrt[3]{4\cdot5}= \sqrt[3]{20}

La radice ottenuta non è semplificabile, quindi quello ottenuto è il risultato finale.

Esempio 2

\sqrt[4]{27}\cdot\sqrt[4]{3}\ =

Così come per il primo esempio, anche in questo caso i radicali hanno lo stesso indice, cioè 4.

Si procede, quindi, con la regola prevista; si ottiene così:

\sqrt[4]{27}\cdot\sqrt[4]{3}\ = \sqrt[4]{27\cdot3}= \sqrt[4]{81}=3

Esempio 3

\sqrt{5}\cdot\sqrt{6}\cdot\sqrt{8}=

Anche in questo terzo esempio i radicali hanno lo stesso indice: si tratta di radici quadrate (indice pari a 2).

La regola prevista si applica anche se i radicali sono più di due; avremo quindi:

\sqrt{5}\cdot\sqrt{6}\cdot\sqrt{8}= \sqrt{5\cdot6\cdot8}= \sqrt{240}

Il radicando ottenuto si può scomporre in fattori primi, in modo tale da portare alcuni fattori fuori radice:

240= 2^{4}\cdot3\cdot5

Essendo radice quadrata e avendo un fattore con esponente pari, è possibile portare il fattore stesso fuori radice, dividendo per 2 l’esponente; otteniamo così:

\sqrt{5}\cdot\sqrt{6}\cdot\sqrt{8}= \sqrt{5\cdot6\cdot8}= \sqrt{240}=\sqrt{2^{4}\cdot3\cdot5}=2^{2}\sqrt{3\cdot5}=4\sqrt{15}

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Somma algebrica di radicali

La somma algebrica di radicali è una tipica operazione che è possibile svolgere con i radicali, ma ricordando alcune regole importanti.

Prima di tutto è importante chiarire che la somma algebrica di radicali è possibile solamente quando i radicali sono simili, cioè quando hanno lo stesso indice di radice e lo stesso radicando.

Sono radicali simili:

  • 3\sqrt{2} e 7\sqrt{2}, perché sono entrambe radici quadrate (indice 2) ed hanno radicando uguale (2);
  • -4\sqrt[4]{5} e +8\sqrt[4]{5}, perché sono entrambe radici con indice 4 ed hanno radicando uguale (5).

Chiarito questo importante concetto, vediamo ora come si calcola la somma algebrica di radicali, aiutati da qualche esempio.

Esempio 1

2\sqrt{3}+5\sqrt{3}-4\sqrt{3}=

In questa somma algebrica si può facilmente verificare che i tre radicali presenti sono tutti simili tra loro, poiché hanno tutti lo stesso indice (si tratta di radici quadrate) ed hanno lo stesso radicando (3).

Per calcolare il risultato di questa operazione è sufficiente sommare i valori che stanno al di fuori della radice, riportando poi la radice al termine del calcolo, cioè:

(2+5-4)\sqrt{3}=

Ora non resta che eseguire l’operazione all’interno delle parentesi, ottenendo così il risultato:

3\sqrt{3}

Esempio 2

-5\sqrt{5}+4\sqrt{2}-6\sqrt{2}+8\sqrt{5}-5\sqrt{2}=

In questa caso è bene fare attenzione: i radicali presenti hanno tutti lo stesso indice (radici quadrate), ma hanno radicando diverso.

Di conseguenza, vanno sommati algebricamente tra loro solamente i radicali simili (da una parte quelli con radicando 5, dall’altra quelli con radicando 2), applicando sempre il passaggio visto nell’esempio 1.

Si ottiene così:

(-5+8)\sqrt{5}+(+4-6-5)\sqrt{2}=

Si creano due gruppi, perché vanno tenuti distinti i radicali tra loro simili. Tra una parentesi e l’altra si inserisce il segno +, poiché è il segno neutro.

Svolgendo le operazioni all’interno delle parentesi si ottiene:

+3\sqrt{5}-7\sqrt{2}

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Riduzione di radicali allo stesso indice

La riduzione di radicali allo stesso indice è un’operazione che permette di trasformare due o più radicali in altri aventi lo stesso indice di radice.

Per poter svolgere questa trasformazione sono necessari alcuni passaggi, di seguito elencati:

  • (quando possibile) semplificare i radicali iniziali;
  • calcolare il minimo comune multiplo (m.c.m.) degli indici di radice;
  • trasformare i radicali iniziali in altri che hanno lo stesso indice, corrispondente al minimo comune multiplo.

Il terzo passaggio è quello fondamentale, che vedremo nel dettaglio grazie agli esempi sotto riportati.

Esempio 1

Ridurre allo stesso indice i seguenti radicali: \sqrt[3]{2} e \sqrt[4]{3}

Prima di tutto osserviamo i radicali e verifichiamo se è possibile semplificarli: in questo caso la semplificazione non è possibile.

In seguito, calcoliamo il m.c.m. degli indici di radice, cioè minimo comune multiplo di 3 e 4; avremo, quindi:

m.c.m. (3; 4) = 12.

L’ultimo passaggio prevede la trasformazione dei radicali iniziali, dividendo l’indice di radice corrispondente al m.c.m. per quelli iniziali e applicando il risultato della divisione al radicando.

Consideriamo il primo radicale: \sqrt[3]{2}

  • Dividiamo il m.c.m. per l’indice di radice: 12 : 3 = 4
  • Applichiamo al radicando il quoziente sopra ottenuto: 24 = 16
  • Scriviamo il nuovo radicale: \sqrt[3]{2} = \sqrt[12]{16}

Consideriamo ora il secondo radicale: \sqrt[4]{3}

  • Dividiamo il m.c.m. per l’indice di radice: 12 : 4 = 3
  • Applichiamo al radicando il quoziente sopra ottenuto: 33 = 27
  • Scriviamo il nuovo radicale: \sqrt[4]{3} = \sqrt[12]{27}

Esempio 2

Ridurre allo stesso indice i seguenti radicali: \sqrt[8]{2^6} , \sqrt[3]{17} e \sqrt[5]{21}

Prima di tutto osserviamo i radicali e verifichiamo se è possibile semplificarli: in questo caso solamente il primo radicale è semplificabile; avremo, infatti:

\sqrt[8]{2^6}=\sqrt[8:2]{2^{6:2}}=\sqrt[4]{2^3}

Dopo la semplificazione, la riduzione sarà tra \sqrt[4]{2^3} , \sqrt[3]{17} e \sqrt[5]{21} .

In seguito, calcoliamo il m.c.m. degli indici di radice, cioè minimo comune multiplo di 4, 3 e 5; avremo, quindi:

m.c.m. (4; 3; 5) = 60.

L’ultimo passaggio prevede la trasformazione dei radicali iniziali, dividendo l’indice di radice corrispondente al m.c.m. per quelli iniziali e applicando il risultato della divisione al radicando.

Consideriamo il primo radicale: \sqrt[4]{2^3}

  • Dividiamo il m.c.m. per l’indice di radice: 60 : 4 = 15
  • Applichiamo al radicando il quoziente sopra ottenuto: 23·15 = 245
  • Scriviamo il nuovo radicale: \sqrt[4]{2^3} = \sqrt[60]{2^{45}}

Consideriamo il secondo radicale: \sqrt[3]{17}

  • Dividiamo il m.c.m. per l’indice di radice: 60 : 3 = 20
  • Applichiamo al radicando il quoziente sopra ottenuto: 1720
  • Scriviamo il nuovo radicale: \sqrt[3]{17} = \sqrt[60]{17^{20}}

Consideriamo il terzo radicale: \sqrt[5]{21}

  • Dividiamo il m.c.m. per l’indice di radice: 60 : 5 = 12
  • Applichiamo al radicando il quoziente sopra ottenuto: 2112
  • Scriviamo il nuovo radicale: \sqrt[5]{21} = \sqrt[60]{17^{20}} = \sqrt[60]{21^{12}}

La riduzione di radicali allo stesso indice è ancora un problema? Guarda la nostra videolezione!