Problemi sul quadrato

Devi svolgere alcuni problemi sul quadrato? In questo articolo verranno presentati una serie di problemi standard.

Se non trovi un problema simile a quello che devi risolvere scrivilo nei commenti: provvederemo ad inserire la soluzione il prima possibile!


Problema 1: Un quadrato ha il lato che misura 10 cm. Calcola perimetro e area.
Dati: Richieste:
Lato (l) = 10 cm Perimetro?

Area?

Questo problema si svolge in modo molto semplice, applicando le formule dirette di perimetro e area del quadrato:

Perimetro=4\cdot l

Area=l^2

Applicando le formule si ottiene:

Perimetro=4\cdot l=4\cdot10=40cm

Area=l^2=10^2=100cm^2


Problema 2: determina la misura del lato di un quadrato che ha il perimetro lungo 80 cm.
Dati: Richieste:
Perimetro = 80 cm ?

Questo problema si svolge applicando la formula inversa del perimetro del quadrato:

Perimetro=4\cdot l\to l=\frac{Perimetro}{4}

Applicando la formula si ottiene:

l=\frac{Perimetro}{4}=\frac{80}{4}=20cm


Problema 3: quanto misura il lato di un quadrato che ha l’area di 400 cm2?
Dati: Richieste:
Area = 400 cm2 l ?

Questo problema si svolge applicando la formula inversa dell’area del quadrato:

Area=l^2\to l=\sqrt{Area}

Applicando la formula si ottiene:

l=\sqrt{Area}=\sqrt{400}=20cm


Problema 4: calcola l’area di un quadrato che ha il perimetro lungo 116 cm.
Dati: Richieste:
Perimetro = 116 cm Area?

Per determinare l’area del quadrato è necessaria la misura del suo lato: avendo la misura del perimetro, questo problema si svolge applicando la formula inversa del perimetro del quadrato, ottenendo:

l=\frac{Perimetro}{4}=\frac{116}{4}=29cm

Ora è sufficiente applicare la formula diretta dell’area del quadrato, ottenendo:

Area=l^2=29^2=841cm^2


Problema 5: calcola il perimetro di un quadrato che ha l’area di 729 cm2.
Dati: Richieste:
Area = 729 cm2 Perimetro?

Per determinare il perimetro del quadrato è necessaria la misura del suo lato: avendo la misura dell’area, questo problema si svolge applicando la formula inversa dell’area del quadrato, ottenendo:

l=\sqrt{Area}=\sqrt{729}=27cm

Ora è sufficiente applicare la formula diretta del perimetro del quadrato, ottenendo:

Perimetro=4\cdot l=4\cdot27=108cm


Questi sono solo alcuni dei problemi sul quadrato: se hai un problema che non sai risolvere, scrivi nei commenti e provvederemo ad aiutarti!


Vai agli esercizi sul quadrato!


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Problemi sul rettangolo

Devi svolgere alcuni problemi sul rettangolo? In questo articolo verranno presentati una serie di problemi standard.

Se non trovi un problema simile a quello che devi risolvere scrivilo nei commenti: provvederemo ad inserire la soluzione il prima possibile!


Problema 1: Un rettangolo ha la base e l’altezza che misurano, rispettivamente, 10 cm e 5 cm. Calcola perimetro e area del rettangolo.
Dati: Richieste:
Base (b) = 10 cm

Altezza (h) = 5 cm

Perimetro?

Area?

Questo problema si svolge in modo molto semplice, applicando le formule dirette di perimetro e area del rettangolo:

Perimetro=2\cdot(b+h)

Area=b\cdot h

Applicando le formule si ottiene:

Perimetro=2\cdot(b+h)=2\cdot(10+5)=2\cdot15=30cm

Area=b\cdot h=10\cdot5=50cm^2


Problema 2: Un rettangolo ha l’altezza che misura 8 cm. Calcola perimetro e area del rettangolo, sapendo che la base è il doppio dell’altezza.
Dati: Richieste:
b = 2 · h

h = 8 cm

Perimetro?

Area?

In questo problema c’è un legame tra base e altezza: infatti si dice che la base è il doppio dell’altezza. Quindi, prima di applicare le formule dirette di perimetro e area del rettangolo, è necessario calcolare la misura della base:

b=2\cdot h=2\cdot8=16cm

Ora è sufficiente applicare le formule dirette di perimetro e area del rettangolo:

Perimetro=2\cdot(b+h)=2\cdot(16+8)=2\cdot24=48cm

Area=b\cdot h=16\cdot8=128cm^2

Nota: in altri problemi simili a questo viene indicata la misura di una delle dimensioni, mentre l’altra è la sua metà (ad es. la base misura 20 cm, mentre l’altezza è la sua metà); in questo caso è sufficiente dividere per 2 la misura indicata, per trovare quella della dimensione mancante. Fatto questo, si applicano le formule dirette per calcolare perimetro e area.


Problema 3: La base di un rettangolo misura 14 cm e l’altezza è i suoi 3/7. Calcola perimetro e area del rettangolo.
Dati: Richieste:
b = 14 cm

h = \frac{3}{7} b

Perimetro?

Area?

I problemi in cui compaiono le frazioni sembrano complicati: in realtà non devono spaventare! In questo problema esiste un rapporto tra base e altezza, cioè l’altezza ha un legame matematico con la base, rappresentato da una frazione: l’altezza è i tre settimi della base.

Questo si traduce, matematicamente, con il calcolo seguente:

h=\frac{3}{7}b=(b\cdot3):7=(14\cdot3):7=42:7=6cm

La parte “complicata” è risolta: ora è sufficiente applicare le formule dirette di perimetro e area del rettangolo:

Perimetro=2\cdot(b+h)=2\cdot(14+6)=2\cdot20=40cm

Area=b\cdot h=14\cdot6=84cm^2


Problema 4: La somma delle dimensioni di un rettangolo misura 44 cm e la base è 7/4 dell’altezza. Calcola il perimetro e l’area del rettangolo.
Dati: Richieste:
b + h = 44 cm

b =\frac{7}{4} h

Perimetro?

Area?

Anche in questo problema c’è un rapporto matematico tra base e altezza: a differenza del problema precedente, il valore presente è la somma delle misure di base e altezza, cioè – al livello di frazione – la base rappresenta 7 parti del totale e l’altezza 4 parti del totale.

La somma, 44 cm, è rappresentata da 7 parti + 4 parti, quindi 11 parti: di conseguenza, per determinare le misure di base e altezza di procede in questo modo:

b=44:(7+4)\cdot7=44:11\cdot7=28cm

h=44:(7+4)\cdot4=44:11\cdot4=16cm

Ora che le misure di base e altezza sono determinate, possiamo applicare le formule dirette di perimetro e area del rettangolo:

Perimetro=2\cdot(b+h)=2\cdot(28+16)=2\cdot44=88cm

Area=b\cdot h=28\cdot16=448cm^2


Problema 5: Calcola il perimetro e l’area di un rettangolo, sapendo che l’altezza è 3/5 della base e che la loro differenza misura 10 cm.
Dati: Richieste:
b – h = 10 cm

h =\frac{3}{5} b

Perimetro?

Area?

Come per il problema precedente, c’è un rapporto matematico tra base e altezza: il valore presente (10 cm) rappresenta la differenza delle misure di base e altezza, mentre – al livello di frazione – la base rappresenta 5 parti e l’altezza 3 parti.

La differenza, 10 cm, è rappresentata da 5 parti – 3 parti, quindi 2 parti: di conseguenza, per determinare le misure di base e altezza si procede in questo modo:

b=10:(5-3)\cdot5=10:2\cdot5=25cm

h=10:(5-3)\cdot3=10:2\cdot3=15cm

Ora che le misure di base e altezza sono determinate, possiamo applicare le formule dirette di perimetro e area del rettangolo:

Perimetro=2\cdot(b+h)=2\cdot(25+15)=2\cdot40=80cm

Area=b\cdot h=25\cdot15=375cm^2


Questi sono solo alcuni dei problemi sul rettangolo: per es. non sono presenti i problemi in cui viene chiesto di applicare le formule inverse. Se hai un problema che non sai risolvere, scrivi nei commenti e provvederemo ad aiutarti!


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Teorema di Pitagora

In geometria il Teorema di Pitagora è, probabilmente, il teorema più conosciuto.

Il Teorema di Pitagora si applica ai triangoli rettangoli, ma esistono molteplici applicazioni anche nelle altre figure piane e nei solidi.

Innanzitutto vediamo cosa prevede questo teorema: il quadrato costruito sull’ipotenusa è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui due cateti.

Per tradurre quanto sopra presentato, vediamo la figura seguente:

Teorema di Pitagora

Il triangolo rettangolo è disegnato in blu ed è delimitato da:

  • lato AB (cateto maggiore – indicato con cM);
  • lato AC (cateto minore – indicato con cm);
  • lato BC (ipotenusa – indicata con i).

Sui tre lati sono costruiti tre quadrati: il lato di ogni quadrato è pari alla lunghezza dei lati del triangolo.

Il Teorema di Pitagora, in pratica, afferma che l’area del quadrato verde (Q3) è uguale alla somma delle aree dei quadrati arancione e giallo (Q1 e Q2), cioè:

Q3 = Q1 + Q2

Facciamo un esempio, assegnando ai lati del triangolo alcuni valori (non scelti a caso, poiché un triangolo è rettangolo se i lati hanno delle misure tali da essere una terna pitagorica).

AB = 4 cm; AC = 3 cm; BC = 5 cm.

Applicando l’enunciato del Teorema di Pitagora avremo:

52 = 32 + 42 → 25 = 9 + 16 → 25 = 25

Con questo esempio abbiamo anche implicitamente visto cos’è una terna pitagorica, cioè un insieme di tre numeri naturali (n1, n2 e n3) tali che:

n12 + n22 = n32

Nei problemi di geometria con cui si ha a che fare solitamente si utilizzano delle formule che derivano da quella sopra descritta (Q3 = Q1 + Q2); in particolare, le formule sono quelle che permettono di ottenere la misura di un lato del triangolo, conoscendo le misure degli altri due lati.

Le formule del Teorema di Pitagora sono le seguenti:

  • i=\sqrt{c_m{}^{2}+c_M{}^{2}}  → formula che permette di ricavare la misura dell’ipotenusa, conoscendo le misure dei due cateti
  • c_m{}=\sqrt{i^{2}-c_M{}^{2}} → formula che permette di ricavare la misura del cateto minore, conoscendo le misure dell’ipotenusa e del cateto maggiore
  • c_M{}=\sqrt{i^{2}-c_m{}^{2}} → formula che permette di ricavare la misura del cateto maggiore, conoscendo le misure dell’ipotenusa e del cateto minore

Vediamo qualche esempio di applicazione di queste formule in alcuni problemi sui triangoli rettangoli.

Esempio 1

I cateti di un triangolo rettangolo misurano, rispettivamente, 6 cm e 8 cm. Quanto misura l’ipotenusa?

Il problema sopra presentato è uno tra i più classici che riguardano il Teorema di Pitagora: la domanda chiede di trovare la misura dell’ipotenusa di un triangolo rettangolo, di cui si conosce la misura dei due cateti.

Per svolgere questo problema è sufficiente applicare la prima delle tre formule sopra riportate:

i=\sqrt{c_m{}^{2}+c_M{}^{2}}

Sostituendo i valori, si ottiene:

i=\sqrt{c_m{}^{2}+c_M{}^{2}}=\sqrt{6{}^{2}+8{}^{2}}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10cm

Esempio 2

La base di un rettangolo misura 15 cm. Calcolare la misura dell’altezza, sapendo che la diagonale del rettangolo misura 17 cm.

Questo è un classico problema nel quale il Teorema di Pitagora è applicato ad altre figure geometriche (in questo caso ad un rettangolo). In realtà, se si immagina la figura del problema, si può facilmente intuire che tracciando la diagonale del rettangolo si ottengono due triangoli rettangoli uguali: ecco perché è possibile (e necessario) applicare il Teorema di Pitagora.

Teorema di Pitagora_2

La richiesta del problema è la misura dell’altezza del rettangolo: si tratta, quindi, di calcolare la misura di un cateto (quello minore), poiché la diagonale corrisponde all’ipotenusa, mentre la base del rettangolo all’altro cateto (quello maggiore).

Si utilizzerà, quindi, la formula seguente:

c_m{}=\sqrt{i^{2}-c_M{}^{2}}

Sostituendo i valori, si ottiene:

c_m{}=\sqrt{i^{2}-c_M{}^{2}}=\sqrt{17{}^{2}-15{}^{2}}=\sqrt{289-225}=\sqrt{64}=8cm

Esempio 3

In un cono l’apotema misura 37 cm. Sapendo che il raggio di base è di 12 cm, calcolare la misura dell’altezza del cono.

Questo è un problema nel quale il Teorema di Pitagora è applicato ad un solido (in questo caso ad un cono).

Teorema di Pitagora_3

La richiesta del problema è la misura dell’altezza del cono: si tratta, quindi, di calcolare la misura di un cateto (quello maggiore), poiché l’apotema corrisponde all’ipotenusa, mentre il raggio del cono all’altro cateto (quello minore).

Si utilizzerà, quindi, la formula seguente:

c_M{}=\sqrt{i^{2}-c_m{}^{2}}

Sostituendo i valori, si ottiene:

c_M{}=\sqrt{i^{2}-c_m{}^{2}}=\sqrt{37{}^{2}-12{}^{2}}=\sqrt{1369-144}=\sqrt{1225}=35cm

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