Frazioni con le proprietà delle potenze

Le proprietà delle potenze sono applicabili in molte operazioni matematiche.

Come si applicano le proprietà delle potenze alle frazioni?

  • Per prima cosa si applicano le regole in base alla specifica proprietà delle potenze
  • In seguito si applicano gli esponenti alla frazione risultante, ottenendo il risultato finale

Ci facciamo aiutare da alcuni esempi, specifici per ogni proprietà.

Prima proprietà delle potenze: prodotto di potenze con la stessa base

Esempio:

\left (  \frac{2}{3}\right )^2\cdot \left (  \frac{2}{3}\right )^3 =

La proprietà prevede di mantenere la stessa base e di sommare gli esponenti, ottenendo:

\left (  \frac{2}{3}\right )^2\cdot \left (  \frac{2}{3}\right )^3 =\left (  \frac{2}{3}\right )^{2+3}=\left (  \frac{2}{3}\right )^5

Ora non resta che svolgere la potenza, applicando l’esponente sia al numeratore che al denominatore:

\left (  \frac{2}{3}\right )^5=\frac{2^5}{3^5}\ =\frac{32}{243}\

Seconda proprietà delle potenze: quoziente di potenze con la stessa base

Esempio:

\left (  \frac{5}{4}\right )^6: \left (  \frac{5}{4}\right )^4 =

La proprietà prevede di mantenere la stessa base e di sottrarre gli esponenti, ottenendo:

\left (  \frac{5}{4}\right )^6: \left (  \frac{5}{4}\right )^4 =\left (  \frac{5}{4}\right )^{6-4}=\left (  \frac{5}{4}\right )^2

Ora non resta che svolgere la potenza, applicando l’esponente sia al numeratore che al denominatore:

\left (  \frac{5}{4}\right )^2=\frac{5^2}{4^2}\ =\frac{25}{16}\

Terza proprietà delle potenze: potenza di potenza

Esempio:

\left [  \left (  \frac{1}{2}\right )^3\right ]^2=

La proprietà prevede di mantenere la stessa base e di moltiplicare tra loro gli esponenti, ottenendo:

\left [  \left (  \frac{1}{2}\right )^3\right ]^2=  \left (  \frac{1}{2}\right )^{3 \cdot2}=  \left (  \frac{1}{2}\right )^6

Ora non resta che svolgere la potenza, applicando l’esponente sia al numeratore che al denominatore:

\left (  \frac{1}{2}\right )^6=\frac{1^6}{2^6}=\frac{1}{64}

Quarta proprietà delle potenze: prodotto di potenze con lo stesso esponente

Esempio:

\left (  \frac{3}{2}\right )^2\cdot \left (  \frac{1}{2}\right )^2 =

La proprietà prevede di mantenere lo stesso esponente e di moltiplicare le basi, ottenendo:

\left (  \frac{3}{2}\right )^2\cdot \left (  \frac{1}{2}\right )^2 =\left (  \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}\right )^2=\left (  \frac{3}{4}\right )^2

Ora non resta che svolgere la potenza, applicando l’esponente sia al numeratore che al denominatore:

\left (  \frac{3}{4}\right )^2=\frac{3^2}{4^2}=\frac{9}{16}

Quinta proprietà delle potenze: quoziente di potenze con lo stesso esponente

Esempio:

\left (  \frac{1}{3}\right )^3: \left (  \frac{1}{2}\right )^3 =

La proprietà prevede di mantenere lo stesso esponente e di dividere le basi (ricordando che la divisione di frazioni diventa una moltiplicazione, invertendo numeratore e denominatore della seconda frazione), ottenendo:

\left (  \frac{1}{3}\right )^3: \left (  \frac{1}{2}\right )^3 =\left (  \frac{1}{3} : \frac{1}{2}\right )^3=\left (  \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{1}\right )^3=\left (  \frac{2}{3}\right )^3

Ora non resta che svolgere la potenza, applicando l’esponente sia al numeratore che al denominatore:

\left (  \frac{2}{3}\right )^3=\frac{2^3}{3^3}=\frac{8}{27}

Approfondimento: Videolezione sulle espressioni con le frazioni e le proprietà delle potenze

Espressioni con i numeri interi relativi e le proprietà delle potenze

Devi svolgere una espressione nella quale sono presenti i numeri interi relativi e le proprietà delle potenze? Qui ti spieghiamo come procedere!

Prima di tutto è bene chiarire che una espressione di questo tipo richiede di saper applicare alcune semplici regole e/o proprietà; in particolare:

Vediamo con un paio di esempi come poter applicare le diverse regole sopra elencate.

Esempio 1

[(− 4)5 : (− 4)2 − (+ 2)· (+ 2)3] : [(− 2)2]2 + (− 5)2 =

In questa espressione sono presenti parentesi tonde e quadre; inoltre è possibile applicare alcune proprietà delle potenze. In particolare (evidenziate con colori diversi):

  • quoziente di potenze con la stessa base (si lascia la stessa base e si sottraggono gli esponenti)
  • prodotto di potenze con la stessa base (si lascia la stessa base e si sommano gli esponenti)
  • potenza di potenza (si lascia la stessa base e si moltiplicano gli esponenti)

[(− 4)5 : (− 4)2(+ 2)· (+ 2)3] : [(− 2)2]2 + (− 5)2 =

Considerando che, per svolgere l’espressione, dobbiamo iniziare dalle operazioni all’interno delle parentesi tonde, applichiamo le proprietà sopra elencate, ottenendo così:

[(− 4)3 − (+ 2)5] : (− 2)4 + (− 5)2 =

Ora è sufficiente svolgere le potenze applicando gli esponenti alle rispettive basi, ottenendo:

[− 64 − (+ 32)] : (+ 16) + (+ 25) =

Un passaggio su cui bisogna prestare particolare attenzione è quello che prevede di togliere le parentesi nelle quali è contenuto un solo numero e con, al di fuori, un segno di addizione o sottrazione; in particolare:

[− 64 − (+ 32)] : (+ 16) + (+ 25) =

Nei due casi sopra evidenziati è sufficiente applicare una semplice regola pratica, cioè quella che prevede di moltiplicare il segno dentro per quello che sta al di fuori della parentesi (prodotto dei segni nella moltiplicazione di numeri interi relativi: “meno per più fa meno” e “più per più fa più”), ottenendo così:

[− 64 − 32] : (+ 16) + 25 =

Ora non resta che svolgere l’operazione all’interno della parentesi quadra:

[− 96] : (+ 16) + 25 =

Infine, svolgendo la divisione, si ottiene:

− 6 + 25 = + 19

Esempio 2

(+ 45)2 : (− 15)2 + (+ 8)0 − (+ 2)3 · (− 4)3 : (− 8)2 =

In questa espressione sono presenti solo parentesi tonde; inoltre è possibile applicare alcune proprietà delle potenze. In particolare (evidenziate con colori diversi):

  • quoziente di potenze con lo stesso esponente (si lascia lo stesso esponente e si dividono le basi)
  • prodotto di potenze con lo stesso esponente (si lascia lo stesso esponente e si moltiplicano le basi)

(+ 45)2 : (− 15)2 + (+ 8)0 − (+ 2)3 · (− 4)3 : (− 8)2 =

Considerando che, per svolgere l’espressione, dobbiamo iniziare dalle operazioni all’interno delle parentesi tonde, applichiamo le proprietà sopra elencate, ottenendo così:

(− 3)2 + (+ 8)0 − (− 8)3 : (− 8)2 =

Se osserviamo bene, l’ultima divisione è un’altra proprietà delle potenze, cioè quoziente di potenze con la stessa base (vista anche nell’esempio 1), che prevede di lasciare la stessa base e sottrarre gli esponenti; in questo modo si ottiene:

(− 3)2 + (+ 8)0 − (− 8)1 =

Ora è sufficiente svolgere le potenze applicando gli esponenti alle rispettive basi, ottenendo:

+ 9 + 1 − (− 8) =

Come nell’esempio 1 si deve fare attenzione nel momento in cui si tolgono le parentesi per svolgere gli ultimi calcoli, in particolare nel caso sotto evidenziato:

+ 9 + 1 − (− 8) =

Applichiamo la regola pratica vista anche in precedenza nell’esempio 1, cioè quella che prevede di moltiplicare il segno dentro per quello che sta al di fuori della parentesi (prodotto dei segni nella moltiplicazione di numeri interi relativi: “meno per meno fa più”), ottenendo così:

+ 9 + 1 + 8 = + 18

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