Angolo somma e angolo differenza

Cosa si intende per angolo somma? E per angolo differenza?

Quando si devono svolgere dei problemi con gli angoli, quelli in cui viene chiesto di determinare l’angolo somma e l’angolo differenza probabilmente sono i più semplici, ma non per questo vanno sottovalutati.

Partiamo definendo due angoli iniziali, α e β:

Angolo somma

Per determinare l’angolo somma degli angoli α e β è possibile utilizzare:

  • il metodo grafico, che prevede di disegnare gli angoli α e β in modo consecutivo, facendo corrispondere il secondo lato del primo angolo con il primo lato del secondo angolo, misurando poi l’ampiezza dell’angolo finale;
  • il metodo analitico, che prevede – semplicemente – di sommare il valore delle ampiezze dei due angoli α e β.

Applichiamo il metodo grafico, rappresentando l’angolo che si crea unendo i due angoli iniziali α e β (consecutivi):

L’angolo somma di α e β è ora quello rappresentato in figura (possiamo chiamarlo δ).

Per quanto riguarda il metodo analitico, supponiamo che gli angoli α e β abbiano le seguenti ampiezze:

  • α = 60°
  • β = 40°

L’angolo somma si ottiene sommando i valori:

α + β = 60° + 40° = 100°

Angolo differenza

Per determinare l’angolo differenza degli angoli α e β è possibile utilizzare:

  • il metodo grafico, che prevede di disegnare l’angolo minore all’interno del maggiore, facendo corrispondere il primo lato di ognuno, misurando poi l’ampiezza dell’angolo che si crea tra i secondi lati dei due angoli;
  • il metodo analitico, che prevede – semplicemente – di sottrarre il valore delle ampiezze dei due angoli α e β.

Rappresentiamo con un disegno l’angolo differenza di α e β, utilizzando il metodo grafico (disegniamo l’angolo minore all’interno del maggiore, facendo corrispondere il lato superiore):

L’angolo differenza di α e β è indicato come angolo γ.

Ricordando le ampiezze di α e β, rispettivamente 60° e 40°, l’angolo differenza si ottiene, analiticamente, sottraendo i valori:

α – β = 60° – 40° = 20°


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Segmento somma e segmento differenza

Cosa si intende per segmento somma? E per segmento differenza?

Quando si devono svolgere dei problemi con i segmenti, quelli in cui viene chiesto di determinare il segmento somma e il segmento differenza probabilmente sono i più semplici, ma non per questo vanno sottovalutati.

Partiamo definendo due segmenti iniziali, AB e CD:

Segmento somma

Per determinare il segmento somma dei segmenti AB e CD è possibile utilizzare:

  • il metodo grafico, che prevede di disegnare i segmenti AB e CD in modo adiacente, facendo corrispondere il secondo punto del primo segmento con il primo punto del secondo segmento, misurando poi la lunghezza del segmento finale;
  • il metodo analitico, che prevede – semplicemente – di sommare il valore delle misure dei due segmenti AB e CD.

Applichiamo il metodo grafico, rappresentando il segmento che si crea unendo i due segmenti iniziali AB e CD (adiacenti):

Il segmento somma di AB e CD è ora AD.

Per quanto riguarda il metodo analitico, supponiamo che i segmenti AB e CD abbiano le seguenti lunghezze:

  • AB = 5 cm
  • CD = 3 cm

Il segmento somma si ottiene sommando i valori:

AB + CD = 5 + 3 = 8 cm

Segmento differenza

Per determinare il segmento differenza dei segmenti AB e CD è possibile utilizzare:

  • il metodo grafico, che prevede di tracciare la proiezione ortogonale del secondo punto del segmento minore sul segmento maggiore, misurando poi il segmento che si ottiene;
  • il metodo analitico, che prevede – semplicemente – di sottrarre il valore delle misure dei due segmenti AB e CD.

Rappresentiamo con un disegno il segmento differenza di AB e CD, utilizzando il metodo grafico (proiettiamo ortogonalmente il punto D sul segmento AB, chiamandolo punto E):Il segmento differenza di AB e CD è EB.

Ricordando le misure di AB e CD, rispettivamente 5 cm e 3 cm, il segmento differenza si ottiene, analiticamente, sottraendo i valori:

AB – CD = 5 – 3 = 2 cm


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Divisione di angoli

La divisione di angoli è una delle possibili operazioni che si possono svolgere con le misure degli angoli.

Ricordiamo che, se si utilizza il grado sessagesimale, l’angolo giro viene suddiviso in 360 parti uguali, ognuna della quali misura 1°. Ogni grado ha dei sottomultipli, cioè i primi e i secondi:

  • 1° (un grado) è suddiviso in 60′ (60 primi);
  • 1′ (un primo) è suddiviso in 60” (60 secondi).

Di conseguenza, 60” corrispondono a 1′ e 60′ corrispondono a 1°: questo è molto importante nei calcoli che andremo a svolgere.

Per eseguire una divisione di angoli si parte sempre dai numeri a sinistra, quindi si inizia dividendo i gradi; in seguito si passa ai primi; infine si dividono i secondi. Nel calcolo si possono verificare due situazioni:

  1. La divisione è esatta (cioè il dividendo è multiplo del divisore): è il caso più semplice, quindi si può passare alla divisione successiva.
  2. La divisione non è esatta (cioè il dividendo non è multiplo del divisore, quindi si ha un resto): è il caso che richiede qualche attenzione in più, poiché il resto va trasformato e riportato nella misura a destra.

Trovarsi nel secondo caso sembra complicato, ma vediamo con qualche esempio di chiarire i dubbi.

Esempio 1

24° 58′ 46” : 2 =

La divisione di questo esempio è molto semplice: come si può facilmente vedere, i numeri che compongono la misura dell’angolo sono tutti pari, quindi – dovendo dividere per 2 – non ci saranno particolari problemi.

Procediamo con la divisione, partendo dai gradi; passeremo poi ai primi e, infine, ai secondi.

24° 58′ 46” : 2 = 12° 29′ 23”

Esempio 2

39° 13′ 27” : 3 =

La divisione di questo esempio necessita di attenzione: il valore dei primi non è divisibile per 3 (lo sono, invece, quello dei gradi e dei secondi). Nel momento in cui divideremo i primi per 3, il resto lo trasformeremo in secondi e andremo a sommarlo ai secondi iniziali:

39°      13′      27” : 3 = 13° 4′ 29”
                 1′ =  60”
                            87”

13′ diviso 3 risulta 4′ con resto 1′. Sapendo che 1′ = 60”, questi sono stati sommati a 27”, ottenendo 87”; la divisione 87” : 3 porta ad ottenere 29”.

13° 4′ 29” è il risultato finale della divisione.

Esempio 3

45° 29′ 16” : 4 =

Anche questa divisione necessita di attenzione: infatti, gradi e primi non sono divisibili per 4. Nel momento in cui procederemo con le divisioni, il resto dei gradi lo trasformeremo in primi e il resto dei primi lo trasformeremo in secondi, sommandoli a quelli iniziali:

45°      29′      16” : 4 = 11° 22′ 19”
..1° =  60′
              89′
…….. …..1′ =  60”
………… ……….76”

45° diviso 4 risulta 11°, con resto 1°. Sapendo che 1° = 60′, questi vengono sommati a 29′, ottenendo 89′.

89′ diviso 4 risulta 22′, con resto 1′. Sapendo che 1′ = 60”, questi sono stati sommati a 16”, ottenendo 76”: la divisione 76” : 4 porta ad ottenere 19”.

11° 22′ 19” è il risultato finale della divisione.


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Moltiplicazione di angoli

La moltiplicazione di angoli è una delle possibili operazioni che si possono svolgere con le misure degli angoli.

Ricordiamo che, se si utilizza il grado sessagesimale, l’angolo giro viene suddiviso in 360 parti uguali, ognuna della quali misura 1°. Ogni grado ha dei sottomultipli, cioè i primi e i secondi:

  • 1° (un grado) è suddiviso in 60′ (60 primi);
  • 1′ (un primo) è suddiviso in 60” (60 secondi).

Di conseguenza, 60” corrispondono a 1′ e 60′ corrispondono a 1°: questo è molto importante nei calcoli che andremo a svolgere.

Per svolgere una moltiplicazione di angoli è sufficiente moltiplicare il valore di secondi, primi e gradi per le volte richieste: una volta ottenuto il risultato è necessario verificare che questo sia ridotto in forma normale, cioè che i primi e i secondi dell’angolo abbiano un valore inferiore a 60.

Esempio 1

34° 21′ 17” · 2 =

La moltiplicazione di questo esempio è molto semplice: l’angolo va moltiplicato per 2, cioè otterremo il doppio dell’angolo iniziale. Si procede moltiplicando ogni valore, così come segue:

34° 21′ 17” ·
2 =
68° 42′ 34”

I valori dei primi e dei secondi che risultano dalla moltiplicazione sono entrambi inferiori a 60: di conseguenza l’angolo è già ridotto in forma normale, quindi il risultato è quello finale.

Esempio 2

15° 22′ 18” · 3 =

Anche in questo caso la moltiplicazione è semplice: l’angolo va moltiplicato per 3, quindi otterremo il triplo dell’angolo iniziale. Procediamo moltiplicando per 3 ogni valore:

15° 22′ 18” ·
3 =
45° 66′ 54”

Il valore dei primi è superiore a 59: di conseguenza l’angolo ottenuto non è ridotto in forma normale. Procediamo riducendo i primi (togliamo 60′ a 66′) e aggiungendo 1° a 45° (poiché 60′ = 1°):

15° 22′ 18” ·
3 =
45° 66′ 54”
  60′   =
46° 6′ 54”

L’angolo ottenuto, 46° 6′ 54” è ora ridotto in forma normale, quindi è il risultato finale della moltiplicazione.

Esempio 3

39′ 52” · 6 =

Rispetto agli angoli degli esempi precedenti, questo è espresso in primi e secondi, ma il passaggio iniziale non cambia: si procede moltiplicando per 6 i valori:

39′ 52” ·
6 =
234′ 312”

Come si può facilmente vedere, sia i primi che i secondi hanno un valore maggiore di 59, quindi l’angolo ottenuto non è ridotto in forma normale.

Innanzitutto procediamo riducendo i secondi: facendo la tabellina del 6 possiamo facilmente capire che è necessario togliere 5 volte 60, cioè 300′; questo significa che aggiungeremo 5′ a 234′:

39′ 52” ·
6 =
234′ 312”
  300” =
239′ 12”

In seguito procediamo riducendo i primi: facendo sempre la tabellina del 6 possiamo capire che è necessario togliere 3 volte 60, cioè 180′; questo significa che otterremo 3°:

39′ 52” ·
6 =
234′ 312”
  300” =
239′ 12”
180′   =
59′ 12”

L’angolo ottenuto, 3° 59′ 12” è ora ridotto in forma normale, quindi è il risultato finale della moltiplicazione.


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Sottrazione di angoli

La sottrazione di angoli è una delle possibili operazioni che si possono svolgere con le misure degli angoli.

Ricordiamo che, se si utilizza il grado sessagesimale, l’angolo giro viene suddiviso in 360 parti uguali, ognuna della quali misura 1°. Ogni grado ha dei sottomultipli, cioè i primi e i secondi:

  • 1° (un grado) è suddiviso in 60′ (60 primi);
  • 1′ (un primo) è suddiviso in 60” (60 secondi).

Di conseguenza, 60” corrispondono a 1′ e 60′ corrispondono a 1°: questo è molto importante nei calcoli che andremo a svolgere.

La sottrazione di angoli è un’operazione che non dà alcuna preoccupazione se i valori da togliere sono minori del minuendo: in caso contrario è bene fare attenzione, perché sarà necessario andare in prestito.

Nello specifico, se il valore da sottrarre è maggiore del minuendo si rende necessario un prestito dal valore che si trova a sinistra della sottrazione:

  • nel caso in cui siano necessari secondi, si dovrà chiedere in prestito ai primi; verranno così aggiunti 60” e i primi diminuiscono di una unità.
  • Analogamente, se sono necessari dei primi, si dovrà chiedere in prestito ai gradi; verranno così aggiunti 60′ e i gradi diminuiscono di una unità.

Sembra complicato, ma con qualche esempio tutto sarà più chiaro.

Esempio 1

48° 55′ 59” – 16° 32′ 12” =

Seguendo i passaggi sopra riportati, svolgiamo i calcoli allineando correttamente i valori corrispondenti (è possibile farsi aiutare da una tabella, come segue):

48° 55′ 59”
16° 32′ 12” =
32° 23′ 47”

I valori del secondo angolo (sottraendo della sottrazione) sono tutti minori rispetto a quelli del primo angolo (minuendo della sottrazione): di conseguenza il calcolo è stato svolto agevolmente senza che fosse necessario andare in prestito.

Esempio 2

87° 28′ 52” – 41° 56′ 38” =

Impostiamo la sottrazione allineando correttamente i valori corrispondenti:

87° 28′ 52”
41° 56′ 38” =

Notiamo subito che il valore dei primi del sottraendo (secondo angolo) è maggiore rispetto a quello del minuendo (primo angolo). Questo comporta che sarà necessario andare in prestito dai gradi.

Andando in prestito di un grado, otteniamo 60′; toglieremo 1° da 87° e aggiungeremo 60′ a 28′ (cioè 88′), ottenendo così:

87°

86°

28′

88′

 

52”

.

41° 56′ 38” =
45° 32′ 14”  
Esempio 3

101° – 65° 12′ 45” =

Impostiamo la sottrazione allineando correttamente i valori corrispondenti (considerando che il primo angolo non presenta primi e secondi, scriveremo 00′ e 00”):

101° 00′ 00”
65° 12′ 45” =

Sia il valore dei primi che dei secondi del sottraendo (secondo angolo) è maggiore rispetto a quelli del minuendo (primo angolo). Questo comporta che sarà necessario andare in prestito.

Innanzitutto andremo in prestito di un grado, ottenendo così 60′ (101° diventano 100°); inoltre, prenderemo in prestito un primo per avere 60” (60′ diventeranno 59′):

101°

100°

100°

 

60′

59′

.

.

60”

.

.

65° 12′ 45” =
35° 47′ 15”  

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Addizione di angoli

L’addizione di angoli è una delle possibili operazioni che si possono svolgere con le misure degli angoli.

Ricordiamo che, se si utilizza il grado sessagesimale, l’angolo giro viene suddiviso in 360 parti uguali, ognuna della quali misura 1°. Ogni grado ha dei sottomultipli, cioè i primi e i secondi:

  • 1° (un grado) è suddiviso in 60′ (60 primi);
  • 1′ (un primo) è suddiviso in 60” (60 secondi).

Di conseguenza, 60” corrispondono a 1′ e 60′ corrispondono a 1°: questo è molto importante nei calcoli che andremo a svolgere.

Il primo, eventuale, passaggio per eseguire un’addizione di angoli consiste nel verificare se le misure degli angoli con cui abbiamo a che fare sono ridotte in forma normale: significa che i primi e i secondi di ogni angolo devono avere un valore inferiore a 60. Qualche esempio:

  • 12° 24′ 45” è ridotto in forma normale.
  • 78° 112′ 48” non è ridotto in forma normale, poiché i primi (112′) hanno un valore superiore a 59.
  • 45° 79′ 234” non è ridotto in forma normale, poiché sia i primi (79′) che i secondi (234”) hanno un valore superiore a 59.

Per trovare la somma di due o più angoli è necessario impostare l’operazione nel modo corretto, cioè:

  • mettere in colonna i secondi, i primi e i gradi ed eseguire la somma;
  • scrivere in forma normale il risultato ottenuto (nel caso in cui i primi e/o i secondi abbiano un valore maggiore di 59)​.
Esempio 1

22° 15′ 23” + 34° 24′ 19” =

Seguendo i passaggi sopra riportati, svolgiamo i calcoli allineando correttamente i valori corrispondenti (è possibile farsi aiutare da una tabella, come segue):

22° 15′ 23” +
34° 24′ 19” =
56° 39′ 42”

L’angolo ottenuto è già ridotto in forma normale, poiché i primi e i secondi hanno un valore inferiore a 59, quindi 56° 39′ 42” è il risultato finale.

Esempio 2

45° 57′ 39” + 29° 48′ 32” =

Risolviamo questa addizione di angoli allineando correttamente i valori corrispondenti:

45° 57′ 39” +
29° 48′ 32” =
74° 105′ 71”

L’angolo ottenuto non è ridotto in forma normale, poiché sia i primi che i secondi hanno un valore superiore a 59, quindi è necessario procedere con la riduzione.

Iniziamo sottraendo 60”:

45° 57′ 39” +
29° 48′ 32” =
74° 105′ 71”
60” =
74° 106′ 11”

Ricordando che 60” = 1′, abbiamo aggiunto 1′ a 105′, ottenendo 106′. Anche questo valore è superiore a 59, quindi proseguiamo sottraendo 60′:

45° 57′ 39” +
29° 48′ 32” =
74° 105′ 71”
60” =
74° 106′ 11”
  60′   =
75° 46′ 11”

Ricordando, infine, che 60′ = 1°, abbiamo aggiunto 1° a 74°, ottenendo 75°.

Ora il risultato ottenuto è definitivo poiché 75° 46′ 11” è un angolo ridotto in forma normale.


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Differenza di due angoli e loro rapporto

Differenza di due angoli e loro rapporto: ecco la lezione che ti aiuterà a svolgere questo tipo di problema geometrico!

La differenza delle ampiezze di due angoli è 12° e uno è i \frac{4}{3} dell’altro. Qual è la misura dei due angoli?

Questo è un classico problema nel quale è presente la differenza delle ampiezze dei due angoli e il loro rapporto, spesso rappresentato come una frazione.

Traducendo in simboli il problema sopra citato, potremmo scrivere:

  • \alpha\beta = 12° – cioè la differenza delle ampiezza dei due angoli
  • \alpha = \frac{4}{3} \beta – cioè il rapporto tra i due angoli

\alpha e \beta rappresentano i due angoli incogniti.

Per determinare la misura delle ampiezze dei due angoli sono possibili due strade:

  1. Utilizzando la proprietà dello scomporre delle proporzioni
  2. La geometria, rappresentando il problema disegnando due segmenti

Proprietà dello scomporre delle proporzioni

Sapendo che il rapporto tra \alpha e \beta è \frac{4}{3}, possiamo impostare la proporzione nel modo seguente:

\alpha : \beta = 4 : 3

In più, sappiamo che \alpha – \beta = 12°. Possiamo, quindi, applicare la proprietà dello scomporre scrivendo:

(\alpha – \beta) : \alpha = (4 – 3) : 4

Ora è sufficiente sostituire 12° dentro la parentesi (\alpha – \beta), ottenendo:

12° : \alpha = 1 : 4

Per concludere si può ora facilmente ottenere \alpha, applicando la proprietà fondamentale delle proporzioni, cioè:

\alpha = (12° · 4) : 1 = 48°

Di conseguenza, \beta si può ottenere per differenza, cioè:

\beta = 48° – 12° = 36°

Geometria: segmenti

Sapendo che il rapporto tra \alpha e \beta è \frac{4}{3}, possiamo disegnare due segmenti, uno di lunghezza 4 unità e l’altro di lunghezza 3 unità:

Segmento 4 unità

Segmento 3 unità

Sapendo che \alpha – \beta = 12°, si può immaginare che la differenza sia rappresentata da un segmento pari a 1 unità, che corrisponde a 12°.

Considerando che 1 unità vale 12° e che i segmenti iniziali sono lunghi, rispettivamente, 4 unità e 3 unità, per stabilire la misura dell’ampiezza dei due angoli incogniti è sufficiente moltiplicare 12° per le unità di ogni segmento, cioè:

12° · 4 = 48° = \alpha

12° · 3 = 36° = \beta


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Somma di due angoli e loro rapporto

Somma di due angoli e loro rapporto: ecco la lezione che ti aiuterà a svolgere questo tipo di problema geometrico!

La somma delle ampiezze di due angoli è 70° e uno è i \frac{3}{4} dell’altro. Qual è la misura dei due angoli?

Questo è un classico problema nel quale è presente la somma delle ampiezze dei due angoli e il loro rapporto, spesso rappresentato come una frazione.

Traducendo in simboli il problema sopra citato, potremmo scrivere:

  • \alpha + \beta = 70° – cioè la somma delle ampiezze dei due angoli
  • \alpha = \frac{3}{4} \beta – cioè il rapporto tra i due angoli

\alpha e \beta rappresentano i due angoli incogniti.

Per determinare la misura delle ampiezze dei due angoli sono possibili due strade:

  1. Utilizzando la proprietà del comporre delle proporzioni
  2. La geometria, rappresentando il problema disegnando due segmenti

Proprietà del comporre delle proporzioni

Sapendo che il rapporto tra \alpha e \beta è \frac{3}{4}, possiamo impostare la proporzione nel modo seguente:

\alpha : \beta = 3 : 4

In più, sappiamo che \alpha + \beta = 70°. Possiamo, quindi, applicare la proprietà del comporre scrivendo:

(\alpha + \beta) : \alpha = (3 + 4) : 3

Ora è sufficiente sostituire 70° dentro la parentesi (\alpha + \beta), ottenendo:

70° : \alpha = 7 : 3

Per concludere si può ora facilmente ottenere \alpha, applicando la proprietà fondamentale delle proporzioni, cioè:

\alpha = (70° · 3) : 7 = 30°

Di conseguenza, \beta si può ottenere per differenza, cioè:

\beta = 70° – 30° = 40°

Geometria: segmenti

Sapendo che il rapporto tra le ampiezze di \alpha e \beta è \frac{3}{4}, possiamo disegnare due segmenti, uno di lunghezza 3 unità e l’altro di lunghezza 4 unità:

Segmento 3 unità

Segmento 4 unità

Sapendo che \alpha + \beta = 70°, si può disegnare il segmento somma dei due angoli iniziali, ottenendo:

Segmento 7 unità

Come si può notare nel disegno sopra riportato, il segmento somma è formato da 7 unità, che corrispondono alla somma delle ampiezze dei due angoli incogniti.

Per determinare quanto vale 1 unità del segmento è sufficiente eseguire una semplice divisione, cioè:

70° : 7 = 10°

Sapendo che 1 unità vale 10° e che gli angoli iniziali sono ampi, rispettivamente, 3 unità e 4 unità, per stabilire la misura delle ampiezze dei due angoli incogniti è sufficiente moltiplicare 10° per le unità di ogni segmento, cioè:

10° · 3 = 30° = \alpha

10° · 4 = 40° = \beta


Se hai ancora qualche dubbio, guarda la videolezione direttamente sul canale YouTube matematicaoggi!


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Multipli e sottomultipli di un angolo

Multipli e sottomultipli di un angolo: ecco la lezione che ti chiarirà ogni dubbio!

  1. Un angolo misura 23°: quanto misura il suo doppio? E il suo triplo?
  2. Sapendo che l’ampiezza di un angolo è 44°, qual è l’ampiezza dell’angolo che equivale alla sua metà? Qual è l’angolo equivalente alla sua quarta parte?

I problemi sopra proposti sono due esempi che riguardano il multiplo di un angolo (problema nr. 1) e il sottomultiplo di un angolo (problema nr. 2).

Il problema nr. 1 riguarda il multiplo di un angolo perché, partendo da un angolo iniziale, si chiede di trovare il suo doppio (significa due volte l’angolo iniziale) e il suo triplo (cioè tre volte l’angolo iniziale).

Il problema nr. 2 riguarda, invece, il sottomultiplo di un angolo perché, sapendo la misura dell’ampiezza dell’angolo iniziale, viene chiesto di trovare la sua metà (significa, semplicemente, dividere per 2 la misura dell’ampiezza dell’angolo iniziale) e la sua quarta parte (cioè trovare quanto misura \frac{1}{4} dell’ampiezza dell’angolo iniziale).

Risolviamo i due problemi sopra proposti.

Esempio 1

Un angolo misura 23°: quanto misura il suo doppio? E il suo triplo?

Come detto, il doppio dell’angolo significa “due volte” l’angolo iniziale, cioè:

23° · 2 = 46° (doppio)

Il triplo dell’angolo iniziale significa “tre volte” l’angolo iniziale, quindi:

23° · 3 = 69° (triplo)

Esempio 2

Sapendo che l’ampiezza di un angolo è 44°, qual è l’ampiezza dell’angolo che equivale alla sua metà? Qual è l’angolo equivalente alla sua quarta parte?

La metà dell’angolo iniziale si ottiene dividendo la misura dell’ampiezza per 2 (oppure moltiplicando per \frac{1}{2}), cioè:

44° : 2 = 22° (metà)

La quarta parte si ottiene dividendo per 4 la misura dell’ampiezza dell’angolo iniziale (oppure moltiplicando per \frac{1}{4}), quindi:

44° : 4 = 11° (quarta parte)

In sintesi, riportiamo una tabella-guida utile per risolvere i problemi con multipli e sottomultipli di un angolo.

Multipli di un angolo

Cosa chiede il problema? Qual è l’operazione da compiere sull’angolo iniziale?
Il doppio dell’angolo Si moltiplica per 2

α = 10°

Doppio di α → 10° · 2 = 20°

Il triplo dell’angolo Si moltiplica per 3

β = 8°

Triplo di β → 8° · 3 = 24°

Il quadruplo dell’angolo Si moltiplica per 4

γ = 12°

Quadruplo di γ → 12° · 4 = 48°

Il quintuplo dell’angolo Si moltiplica per 5

δ = 9°

Quintuplo di δ → 9° · 5 = 45°

Sottomultipli di un angolo

Cosa chiede il problema? Qual è l’operazione da compiere sull’angolo iniziale?
La metà dell’angolo Si divide per 2 o si moltiplica per \frac{1}{2}

α = 16°

Metà di α → 16° : 2 = 8°

La terza parte dell’angolo Si divide per 3 o si moltiplica per \frac{1}{3}

β = 24°

Terza parte di β → 24° : 3 = 8°

La quarta parte dell’angolo Si divide per 4 o si moltiplica per \frac{1}{4}

γ = 40°

Quarta parte di γ → 40° : 4 = 10°

La quinta parte dell’angolo Si divide per 5 o si moltiplica per \frac{1}{5}

δ = 55°

Quinta parte di δ → 55° : 5 = 11°


Se la lezione non ti ha chiarito tutti i dubbi, guarda la videolezione direttamente sul canale YouTube matematicaoggi!


Vai alla pagina degli esercizi su multipli e sottomultipli di un angolo!


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Problemi con somma e differenza di due angoli

Se stai cercando di capire come si svolgono i problemi con somma e differenza di due angoli, sei nel posto giusto!

Supponiamo di conoscere i valori della somma e della differenza di due angoli \alpha e\beta:

S=\alpha+\beta
D=\alpha-\beta

con \beta<\alpha

Come si trova l’ampiezza dei due angoli?

Ecco le due formule risolutive:

\alpha=\frac{S+D}{2}

\beta=\frac{S-D}{2}

Nell’immagine che segue sono rappresentati due angoli esempio.

Vediamo ora un paio di esempi di problemi con somma e differenza di due angoli (per una dimostrazione matematica dello svolgimento di questo problema, vai alla lezione sui problemi con somma e differenza di due numeri).

Esempio 1

Determinare l’ampiezza di due angoli, sapendo che la loro somma è di 70° mentre la loro differenza è di 20°.

Innanzitutto indichiamo i dati di questo problema:

S=\alpha+\beta=70°

D=\alpha-\beta=20°

Consideriamo che \beta<\alpha.

Come scritto in precedenza, lo svolgimento di questo problema è molto semplice: è sufficiente, infatti, applicare le due formule risolutive, che permettono di ottenere l’ampiezza dei due angoli incogniti.

Procediamo, quindi, applicando le formule:

\alpha=\frac{S+D}{2}=\frac{70+20}{2}=\frac{90}{2}=45°

\beta=\frac{S-D}{2}=\frac{70-20}{2}=\frac{50}{2}=25°

La somma dei due valori ottenuti è effettivamente 70° (45° + 25° = 70°); lo stesso vale per la differenza, cioè 20° (45° – 25° = 20°), quindi i valori ottenuti sono corretti.

Esempio 2

Due angoli sono tali che la loro somma è di 95° e la loro differenza è di 29°. Qual è l’ampiezza dei due angoli?

Come per il primo esempio, indichiamo i dati di questo problema:

S=\alpha+\beta=95°

D=\alpha-\beta=29°

Consideriamo che \beta<\alpha.

Anche in questo caso applichiamo le due formule risolutive:

\alpha=\frac{S+D}{2}=\frac{95+29}{2}=\frac{124}{2}=62°

\beta=\frac{S-D}{2}=\frac{95-29}{2}=\frac{66}{2}=33°

Verifichiamo i valori ottenuti: la somma delle ampiezze è effettivamente 95° (62° + 33° = 95°); lo stesso vale per la differenza, cioè 29° (62° – 33° = 29°), quindi i valori ottenuti sono corretti.


Se gli esempi ti hanno aiutato a capire bene l’argomento, vai alla pagina degli esercizi sui problemi con somma e differenza di due angoli.


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Differenza di due segmenti e loro rapporto

Differenza di due segmenti e loro rapporto: ecco la lezione che ti aiuterà a svolgere questo tipo di problema geometrico!

La differenza di due segmenti è 8 cm e uno è i \frac{4}{3} dell’altro. Qual è la misura dei due segmenti?

Questo è un classico problema nel quale è presente la differenza delle misure dei due segmenti e il loro rapporto, spesso rappresentato come una frazione.

Traducendo in simboli il problema sopra citato, potremmo scrivere:

  • n1 – n2 = 8 – cioè la differenza delle misure dei due segmenti
  • n1 = \frac{4}{3} n– cioè il rapporto tra i due segmenti

n1 e n2 rappresentano i due segmenti incogniti.

Per determinare la misura dei due segmenti sono possibili due strade:

  1. Utilizzando la proprietà dello scomporre delle proporzioni
  2. Facendosi aiutare dalla geometria, rappresentando il problema proprio con due segmenti

Proprietà dello scomporre delle proporzioni

Sapendo che il rapporto tra n1 e n2 è \frac{4}{3}, possiamo impostare la proporzione nel modo seguente:

n1 : n2 = 4 : 3

In più, sappiamo che n1 – n2 = 8. Possiamo, quindi, applicare la proprietà dello scomporre scrivendo:

(n1 – n2) : n1 = (4 – 3) : 4

Ora è sufficiente sostituire 8 dentro la parentesi (n1 – n2), ottenendo:

8 : n1 = 1 : 4

Per concludere si può ora facilmente ottenere n1, applicando la proprietà fondamentale delle proporzioni, cioè:

n1 = (8 · 4) : 1 = 32

Di conseguenza, n2 si può ottenere per differenza, cioè:

n2 = 32 – 8 = 24

Geometria: segmenti

Sapendo che il rapporto tra n1 e n2 è \frac{4}{3}, possiamo disegnare due segmenti, uno di lunghezza 4 unità e l’altro di lunghezza 3 unità:

Segmento 4 unità

Segmento 3 unità

Sapendo che n1 – n2 = 8, si può immaginare che la differenza sia rappresentata da un segmento pari a 1 unità, che corrisponde a 8.

Considerando che 1 unità vale 8 e che i segmenti iniziali sono lunghi, rispettivamente, 4 unità e 3 unità, per stabilire la misura dei due segmenti incogniti è sufficiente moltiplicare 8 per le unità di ogni segmento, cioè:

8 · 4 = 32 = n1

8 · 3 = 24 = n2


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Multipli e sottomultipli di un segmento

Multipli e sottomultipli di un segmento: ecco la lezione che ti chiarirà ogni dubbio!

  1. Un segmento misura 10 cm: quanto misura il suo doppio? E il suo triplo?
  2. Sapendo che la lunghezza di un segmento è 24 cm, qual è la lunghezza del segmento che equivale alla sua metà? Qual è il segmento equivalente alla sua quarta parte?

I problemi sopra proposti sono due esempi che riguardano il multiplo di un segmento (problema nr. 1) e il sottomultiplo di un segmento (problema nr. 2).

Il problema nr. 1 riguarda il multiplo di un segmento perché, partendo da un segmento iniziale, si chiede di trovare il suo doppio (significa due volte il segmento iniziale) e il suo triplo (cioè tre volte il segmento iniziale).

Il problema nr. 2 riguarda, invece, il sottomultiplo di un segmento perché, sapendo la misura del segmento iniziale, viene chiesto di trovare la sua metà (significa, semplicemente, dividere per 2 la misura del segmento iniziale) e la sua quarta parte (cioè trovare quanto misura \frac{1}{4} del segmento iniziale).

Risolviamo i due problemi sopra proposti.

Esempio 1

Un segmento misura 10 cm: quanto misura il suo doppio? E il suo triplo?

Come detto, il doppio del segmento significa “due volte” il segmento iniziale, cioè:

10 cm · 2 = 20 cm (doppio)

Il triplo del segmento iniziale significa “tre volte” il segmento iniziale, quindi:

10 cm · 3 = 30 cm (triplo)

Esempio 2

Sapendo che la lunghezza di un segmento è 24 cm, qual è la lunghezza del segmento che equivale alla sua metà? Qual è il segmento equivalente alla sua quarta parte?

La metà del segmento iniziale si ottiene dividendo la misura per 2 (oppure moltiplicando per \frac{1}{2}), cioè:

24 cm : 2 = 12 cm (metà)

La quarta parte si ottiene dividendo per 4 la misura del segmento iniziale (oppure moltiplicando per \frac{1}{4}), quindi:

24 cm : 4 = 6 cm (quarta parte)

In sintesi, riportiamo una tabella-guida utile per risolvere i problemi con multipli e sottomultipli di un segmento.

Multipli di un segmento

Cosa chiede il problema? Qual è l’operazione da compiere sul segmento iniziale?
Il doppio del segmento Si moltiplica per 2

AB = 3 cm

Doppio di AB → 3 cm · 2 = 6 cm

Il triplo del segmento Si moltiplica per 3

CD = 7 cm

Triplo di CD → 7 cm · 3 = 21 cm

Il quadruplo del segmento Si moltiplica per 4

EF = 10 cm

Quadruplo di EF → 10 cm · 4 = 40 cm

Il quintuplo del segmento Si moltiplica per 5

GH = 6 cm

Quintuplo di GH → 6 cm · 5 = 30 cm

Sottomultipli di un segmento

Cosa chiede il problema? Qual è l’operazione da compiere sul segmento iniziale?
La metà del segmento Si divide per 2 o si moltiplica per \frac{1}{2}

AB = 4 cm

Metà di AB → 4 cm : 2 = 2 cm

La terza parte del segmento Si divide per 3 o si moltiplica per \frac{1}{3}

CD = 15 cm

Terza parte di CD → 15 cm : 3 = 5 cm

La quarta parte del segmento Si divide per 4 o si moltiplica per \frac{1}{4}

EF = 24 cm

Quarta parte di EF → 24 cm : 4 = 6 cm

La quinta parte del segmento Si divide per 5 o si moltiplica per \frac{1}{5}

GH = 60 cm

Quinta parte di GH → 60 cm : 5 = 12 cm

Se quanto hai letto non ti è chiaro, guarda la videolezione direttamente dal canale YouTube matematicaoggi!

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Somma di due segmenti e loro rapporto

Somma di due segmenti e loro rapporto: ecco la lezione che ti aiuterà a svolgere questo tipo di problema geometrico!

La somma di due segmenti è 35 cm e uno è i \frac{3}{4} dell’altro. Qual è la misura dei due segmenti?

Questo è un classico problema nel quale è presente la somma delle misure dei due segmenti e il loro rapporto, spesso rappresentato come una frazione.

Traducendo in simboli il problema sopra citato, potremmo scrivere:

  • n1 + n2 = 35 – cioè la somma delle misure dei due segmenti
  • n1\frac{3}{4} n– cioè il rapporto tra i due segmenti

n1 e n2 rappresentano i due segmenti incogniti.

Per determinare la misura dei due segmenti sono possibili due strade:

  1. Utilizzando la proprietà del comporre delle proporzioni
  2. Facendosi aiutare dalla geometria, rappresentando il problema proprio con due segmenti

Proprietà del comporre delle proporzioni

Sapendo che il rapporto tra n1 e n2 è \frac{3}{4}, possiamo impostare la proporzione nel modo seguente:

n1 : n2 = 3 : 4

In più, sappiamo che n1 + n2 = 35. Possiamo, quindi, applicare la proprietà del comporre scrivendo:

(n1 + n2) : n1 = (3 + 4) : 3

Ora è sufficiente sostituire 35 dentro la parentesi (n1 + n2), ottenendo:

35 : n1 = 7 : 3

Per concludere si può ora facilmente ottenere n1, applicando la proprietà fondamentale delle proporzioni, cioè:

n1 = (35 · 3) : 7 = 15

Di conseguenza, n2 si può ottenere per differenza, cioè:

n2 = 35 – 15 = 20

Geometria: segmenti

Sapendo che il rapporto tra n1 e n2 è \frac{3}{4}, possiamo disegnare due segmenti, uno di lunghezza 3 unità e l’altro di lunghezza 4 unità:

Segmento 3 unità

Segmento 4 unità

Sapendo che n1 + n2 = 35, si può disegnare il segmento somma dei due segmenti iniziali, ottenendo:

Segmento 7 unità

Come si può notare nel disegno sopra riportato, il segmento somma è formato da 7 unità, che corrispondono alla somma dei due segmenti incogniti.

Per determinare quanto vale 1 unità del segmento è sufficiente eseguire una semplice divisione, cioè:

35 : 7 = 5

Sapendo che 1 unità vale 5 e che i segmenti iniziali sono lunghi, rispettivamente, 3 unità e 4 unità, per stabilire la misura dei due segmenti incogniti è sufficiente moltiplicare 5 per le unità di ogni segmento, cioè:

5 · 3 = 15 = n1

5 · 4 = 20 = n2

Se hai ancora qualche dubbio, ti invito a guardare la videolezione direttamente sul canale YouTube matematicaoggi!


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Somma e differenza di due segmenti

Somma e differenza di due segmenti: cosa significa?

La somma delle misure di due segmenti è 20 cm e la loro differenza è 10 cm. Qual è la misura dei due segmenti?

Questo è un classico problema di geometria nel quale viene chiesto di calcolare la misura di due segmenti, conoscendo la loro somma e la loro differenza.

In generale, per svolgere questo tipo di problema, si può applicare la regola generale dei problemi con somma e differenza di due numeri.

Supponiamo che i due segmenti siano a e b. Esprimiamo sotto forma di addizione e di sottrazione i dati del problema:

S = a + b
D = ab
con b < a

Come si trova la lunghezza dei due segmenti?

Ecco le due formule risolutive:

somma e differnza di due numeri_2

somma e differnza di due numeri_1

Disegniamo i due segmenti a e b:

somma e differenza di due numeri_3

Rappresentiamo la loro somma (un segmento adiacente all’altro) e la loro differenza (segmento tratteggiato in verde).

somma e differenza di due numeri_4

Proiettiamo il segmento che rappresenta la sottrazione (ab) in basso nel segmento che rappresenta l’addizione (a + b): in questo modo troviamo due segmenti uguali, che corrispondono a due volte il segmento b.

Dividendo per due, troviamo il valore di b. Ciò è rappresentato nella figura seguente.

somma e differenza di due numeri_5

In modo analogo, se dal segmento somma aggiungiamo il valore della differenza (parte tratteggiata) troviamo due segmenti uguali, che corrispondono a due volte il segmento a.

Dividendo per due, troviamo la misura del segmento a. Ciò è rappresentato nella figura seguente.

somma e differenza di due numeri_6

In sintesi, quando abbiamo la somma e la differenza di due segmenti a e b, per trovarne la misura applichiamo queste due semplici formule:

somma e differnza di due numeri_2

somma e differnza di due numeri_1

Riprendiamo il problema proposto inizialmente:

La somma delle misure di due segmenti è 20 cm e la loro differenza è 10 cm. Qual è la misura dei due segmenti?

Secondo quanto esposto poco sopra, per trovare la misura dei due segmenti è sufficiente svolgere le due operazioni seguenti:

a=\frac{20+10}{2}=\frac{30}{2}=15cm

b=\frac{20-10}{2}=\frac{10}{2}=5cm

I due segmenti misurano rispettivamente 15 cm e 5 cm (se sommiamo le loro misure otteniamo effettivamente 20 cm, mentre se eseguiamo la sottrazione otteniamo 10 cm).

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Esercizi sugli enti geometrici

In questa pagina puoi trovare una ricca raccolta di esercizi sugli enti geometrici, con diversi livelli di difficoltà e un collegamento diretto ad alcune videolezioni.




Se questi esercizi sugli enti geometrici ti hanno aiutato, svolgi gli altri esercizi di geometria!


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