Frazioni ed euro

C’è qualche legame tra le frazioni e la moneta che utilizziamo quotidinamente? In questo articolo presenteremo alcuni concetti teorici, legandoli all’euro:

  • Frazionamento;
  • Frazioni complementari e addizione di frazioni.

Frazionamento

In termini matematici frazionare significa dividere una certa quantità in parti uguali.

Consideriamo che il nostro intero sia rappresentato da una moneta da un euro (1€).

In circolazione esistono diverse monete di più piccolo taglio (quindi con il cosiddetto valore facciale più piccolo), che rappresentano frazioni di un euro.

Il primo esempio di frazionamento che possiamo proporre è relativo all’utilizzo di due monete da 50 centesimi. Sappiamo, infatti, che una moneta da un euro può essere “suddivisa” in due monete da 50 centesimi: ognuna di queste rappresenta metà di un euro, precisamente \frac12.

Per il secondo esempio di frazionamento consideriamo la moneta da 20 centesimi: sappiamo che questa moneta rappresenta la quinta parte di un euro, cioè \frac15. Quindi, la moneta da un euro può essere frazionata in 5 parti uguali (rappresentate da 5 monete da 20 centesimi).

Analogamente, se utilizziamo le altre monete esistenti, i frazionamenti possibili sono i seguenti:

  • 10 centesimi: frazionamento di un euro in 10 parti uguali, corrispondenti a \frac{1}{10} di euro;
  • 5 centesimi: frazionamento di un euro in 20 parti uguali, corrispondenti a \frac{1}{20} di euro;
  • 2 centesimi: frazionamento di un euro in 50 parti uguali, corrispondenti a \frac{1}{50} di euro;
  • 1 centesimo: frazionamento di un euro in 100 parti uguali, corrispondenti a \frac{1}{100} di euro.

Frazioni complementari e addizione di frazioni

Si parla di frazioni complementari quando la loro somma è 1, quindi l’intero. Partendo da questo concetto, possiamo proporre una serie di esempi, sapendo che le possibilità di sperimentare sono tantissime!

Consideriamo sempre la moneta da un euro come l’intero.

Un primo esempio molto semplice: prendiamo una moneta da 50 centesimi e cinque monete da 10 centesimi.

Qualcuno avrà già capito, attraverso un calcolo mentale, che queste monete – messe insieme – formano un euro. Ma qui vorremmo rappresentare questo calcolo con alcune frazioni. In particolare:

  • La moneta da 50 centesimi è metà di un euro che, in termini di frazione di euro, rappresenta \frac12;
  • La moneta da 10 centesimi è la decima parte di un euro che, in termini di frazione di euro, rappresenta \frac{1}{10}.

Per verificare che si tratta di frazioni complementari, sommiamo le monete rappresentate dalle frazioni:

\frac{1}{2}+\frac{1}{10}+\frac{1}{10}+\frac{1}{10}+\frac{1}{10}+\frac{1}{10}=

In questa addizione di frazioni abbiamo denominatori diversi, quindi è necessario determinare il denominatore comune, in particolare tra 2 e 10: il minimo comune denominatore è 10, poiché 10 è multiplo di 2 (oppure si può anche dire che 10 è divisibile per 2). Avremo quindi:

\frac{1}{2}+\frac{1}{10}+\frac{1}{10}+\frac{1}{10}+\frac{1}{10}+\frac{1}{10}=\frac{5+1+1+1+1+1}{10}=\frac{10}{10}=1

Come si può notare dal risultato, questo primo esempio rappresenta un caso di frazioni complementari. Vediamone un altro.

Consideriamo questa serie di monete: una da 50 centesimi, una da 20 centesimi, tre da 10 centesimi.

Come per il primo esempio, rappresentiamole come frazioni di euro:

  • La moneta da 50 centesimi è metà di un euro che, in termini di frazione di euro, rappresenta \frac12;
  • La moneta da 20 centesimi è la quinta parte di un euro che, in termini di frazione di euro, rappresenta \frac15.
  • Infine, la moneta da 10 centesimi è la decima parte di un euro che, in termini di frazione di euro, rappresenta \frac{1}{10}.

Per verificare che si tratta di frazioni complementari, sommiamo le monete rappresentate dalle frazioni:

\frac{1}{2}+\frac{1}{5}+\frac{1}{10}+\frac{1}{10}+\frac{1}{10}=

In questa addizione di frazioni abbiamo denominatori diversi, quindi è necessario determinare il denominatore comune, in particolare tra 2, 5 e 10: il minimo comune denominatore è 10, poiché 10 è multiplo sia di 2 che di 5 (oppure si può anche dire che 10 è divisibile sia per 2 che per 5). Avremo quindi:

\frac{1}{2}+\frac{1}{5}+\frac{1}{10}+\frac{1}{10}+\frac{1}{10}=\frac{5+2+1+1+1}{10}=\frac{10}{10}=1

Anche in questo caso la combinazione di monete rappresenta l’intero.

Può essere interessante verificare altre combinazioni, anche considerando come intero monete di taglio più alto, per esempio la moneta da 2 euro.


Vai alla pagina con le lezioni sulle frazioni!


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Verifiche e test

In questa pagina potete trovare alcune verifiche di matematica e test a risposta multipla  di matematica (con le relative soluzioni).

Per ogni verifica è indicato l’argomento: gli esercizi sono stati estratti a caso da quelli presenti nel sito.

Verifiche di aritmetica

Espressioni con i numeri naturali Testo Soluzione
Potenze in generale ed espressioni in N con le proprietà delle potenze Testo Soluzioni
Divisibilità, Scomposizioni in fattori primi, M.C.D. e m.c.m. Testo Soluzioni

Verifiche di algebra

(in fase di preparazione)

Verifiche di geometria

(in fase di preparazione)

Radice di una frazione

La radice di una frazione è un’operazione molto particolare che richiede attenzione.

In generale, la radice è l’opposto della potenza; per esempio:

2^4=16\to\sqrt[4]{16}=2

In questa lezione vedremo come si calcola la radice di una frazione.

In generale, vale la regola seguente:

\sqrt[a]{\frac{N}{D}}= \frac{\sqrt[a]{N}}{\sqrt[a]{D}}

Concretamente, la radice di una frazione con indice a si calcola applicando la radice sia al numeratore che al denominatore.

Presentiamo alcuni esempi per chiarire maggiormente questa regola. Se preferisci, a fondo pagina, puoi trovare un’utilissima videolezione!

Esempio 1

\sqrt[]{\frac{16}{25}}

In questo esempio è presente una radice quadrata (cioè con indice 2). Per svolgere questa operazione è sufficiente applicare la radice quadrata sia al numeratore che al denominatore della frazione, come di seguito presentato:

\sqrt[]{\frac{16}{25}}= \frac{\sqrt[]{16}}{\sqrt[]{25}} =\frac{4}{5}

Per verificare che il risultato ottenuto è corretto, è sufficiente applicare l’operazione inversa alla radice, cioè la potenza. Considerando che l’opposto della radice quadrata è la potenza alla seconda (o, al quadrato), avremo:

\frac{4^2}{5^2}=\frac{16}{25}

Esempio 2

\sqrt[3]{\frac{8}{125}}

In questo esempio è presente una radice con indice 3 (cioè una radice cubica). Per svolgere questa operazione è sufficiente applicare la radice cubica sia al numeratore che al denominatore della frazione, come di seguito presentato:

\sqrt[3]{\frac{8}{125}}= \frac{\sqrt[3]{8}}{\sqrt[3]{125}} =\frac{2}{5}

Per verificare che il risultato ottenuto è corretto, è sufficiente applicare l’operazione inversa alla radice, cioè la potenza. Considerando che l’opposto della radice cubica è la potenza alla terza (o, al cubo), avremo:

\frac{2^3}{5^3}=\frac{8}{125}

Esempio 3

\sqrt[]{1+\sqrt[]{\frac{49}{81}}}

In questo esempio è presente una doppia radice. Per svolgere questa operazione è necessario, innanzitutto, svolgere la radice interna; successivamente – quando tutte le operazioni sono state svolte e si ha un solo termine – si può risolvere la seconda radice.

Si precede, quindi, calcolando la prima radice (applicando la radice quadrata sia al numeratore che al denominatore), ottenendo:

\sqrt[]{1+\frac{7}{9}}}

Ora non resta che svolgere l’addizione, applicando le regole dell’addizione di frazioni, ottenendo così:

\sqrt[]{\frac{16}{9}}}

Applicando la radice quadrata sia al numeratore che al denominatore si ottiene:

\sqrt[]{\frac{16}{9}}= \frac{\sqrt[]{16}}{\sqrt[]{9}} =\frac{4}{3}

Questa che abbiamo appena presentato  non è l’unica operazione che è possibile svolgere con le frazioni.

Se desideri, puoi accedere ad altre lezioni sulle operazioni con le frazioni! In particolare:

E per finire, non perdere una lezione semplice ma efficace sulle espressioni con le frazioni!

Nel canale Youtube matematicaoggi è presente un’interessante playlist con una serie di videolezioni coinvolgenti, che completano le lezioni sopra elencate.

Frazioni con le proprietà delle potenze

In questa lezione vedremo le frazioni con le proprietà delle potenze.

Le proprietà delle potenze sono applicabili in molte operazioni matematiche.

Come si applicano le proprietà delle potenze alle frazioni?

  • Per prima cosa si applicano le regole in base alla specifica proprietà delle potenze
  • In seguito si applicano gli esponenti alla frazione risultante, ottenendo il risultato finale

Ci facciamo aiutare da alcuni esempi, specifici per ogni proprietà.

Prima proprietà delle potenze: prodotto di potenze con la stessa base

Esempio:

\left (  \frac{2}{3}\right )^2\cdot \left (  \frac{2}{3}\right )^3 =

La proprietà prevede di mantenere la stessa base e di sommare gli esponenti, ottenendo:

\left (  \frac{2}{3}\right )^2\cdot \left (  \frac{2}{3}\right )^3 =\left (  \frac{2}{3}\right )^{2+3}=\left (  \frac{2}{3}\right )^5

Ora non resta che svolgere la potenza, applicando l’esponente sia al numeratore che al denominatore:

\left (  \frac{2}{3}\right )^5=\frac{2^5}{3^5}\ =\frac{32}{243}\

Seconda proprietà delle potenze: quoziente di potenze con la stessa base

Esempio:

\left (  \frac{5}{4}\right )^6: \left (  \frac{5}{4}\right )^4 =

La proprietà prevede di mantenere la stessa base e di sottrarre gli esponenti, ottenendo:

\left (  \frac{5}{4}\right )^6: \left (  \frac{5}{4}\right )^4 =\left (  \frac{5}{4}\right )^{6-4}=\left (  \frac{5}{4}\right )^2

Ora non resta che svolgere la potenza, applicando l’esponente sia al numeratore che al denominatore:

\left (  \frac{5}{4}\right )^2=\frac{5^2}{4^2}\ =\frac{25}{16}\

Terza proprietà delle potenze: potenza di potenza

Esempio:

\left [  \left (  \frac{1}{2}\right )^3\right ]^2=

La proprietà prevede di mantenere la stessa base e di moltiplicare tra loro gli esponenti, ottenendo:

\left [  \left (  \frac{1}{2}\right )^3\right ]^2=  \left (  \frac{1}{2}\right )^{3 \cdot2}=  \left (  \frac{1}{2}\right )^6

Ora non resta che svolgere la potenza, applicando l’esponente sia al numeratore che al denominatore:

\left (  \frac{1}{2}\right )^6=\frac{1^6}{2^6}=\frac{1}{64}

Quarta proprietà delle potenze: prodotto di potenze con lo stesso esponente

Esempio:

\left (  \frac{3}{2}\right )^2\cdot \left (  \frac{1}{2}\right )^2 =

La proprietà prevede di mantenere lo stesso esponente e di moltiplicare le basi, ottenendo:

\left (  \frac{3}{2}\right )^2\cdot \left (  \frac{1}{2}\right )^2 =\left (  \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}\right )^2=\left (  \frac{3}{4}\right )^2

Ora non resta che svolgere la potenza, applicando l’esponente sia al numeratore che al denominatore:

\left (  \frac{3}{4}\right )^2=\frac{3^2}{4^2}=\frac{9}{16}

Quinta proprietà delle potenze: quoziente di potenze con lo stesso esponente

Esempio:

\left (  \frac{1}{3}\right )^3: \left (  \frac{1}{2}\right )^3 =

La proprietà prevede di mantenere lo stesso esponente e di dividere le basi (ricordando che la divisione di frazioni diventa una moltiplicazione, invertendo numeratore e denominatore della seconda frazione), ottenendo:

\left (  \frac{1}{3}\right )^3: \left (  \frac{1}{2}\right )^3 =\left (  \frac{1}{3} : \frac{1}{2}\right )^3=\left (  \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{1}\right )^3=\left (  \frac{2}{3}\right )^3

Ora non resta che svolgere la potenza, applicando l’esponente sia al numeratore che al denominatore:

\left (  \frac{2}{3}\right )^3=\frac{2^3}{3^3}=\frac{8}{27}

Approfondimento: Videolezione sulle espressioni con le frazioni e le proprietà delle potenze

Potenza di una frazione

La potenza di una frazione è un’operazione da svolgere con attenzione, poiché si possono commettere alcuni errori importanti.

Per prima cosa è bene distinguere due casi:

  1. Potenza di una frazione con esponente positivo
  2. Potenza di una frazione con esponente negativo

Vediamo nel dettaglio come si affrontano.

1° caso – Potenza con esponente positivo

Questo è il caso più semplice; esso segue la regola seguente:

\left ( \frac{N}{D} \right )^a=\frac{N^a}{D^a}

In sintesi, per svolgere la potenza con esponente positivo è sufficiente applicare l’esponente sia al numeratore che al denominatore della frazione all’interno della parentesi.

Vediamo alcuni esempi nella tabella seguente:

\left ( \frac{3}{2} \right )^2 \frac{3^2}{2^2} \frac{9}{4}
\left ( \frac{1}{4} \right )^3 \frac{1^3}{4^3} \frac{1}{64}
\left ( \frac{9}{5} \right )^1 \frac{9^1}{5^1} \frac{9}{5}
\left ( \frac{10}{7} \right )^0 \frac{10^0}{7^0} \frac{1}{1}= 1

2° caso – Potenza con esponente negativo

Questo è il caso richiede maggiore attenzione (è possibile fare riferimento anche alla lezione sulle potenze con esponente negativo); esso segue la regola seguente:

\left ( \frac{N}{D} \right )^{-a}=\left ( \frac{D}{N} \right )^{a}=\frac{D^a}{N^a}

In sintesi, per svolgere la potenza con esponente negativo è necessario, prima di tutto, invertire la posizione del numeratore con quella del denominatore, togliendo il segno meno dall’esponente; in seguito, si procede come nel primo caso, quindi è sufficiente applicare l’esponente sia al numeratore che al denominatore della frazione all’interno della parentesi.

Vediamo alcuni esempi nella tabella seguente:

\left ( \frac{4}{3} \right )^{-2} \left ( \frac{3}{4} \right )^{2} \frac{3^2}{4^2} \frac{9}{16}
\left ( \frac{3}{2} \right )^{-3} \left ( \frac{2}{3} \right )^{3} \frac{2^3}{3^3} \frac{8}{27}
\left ( \frac{11}{7} \right )^{-1} \left ( \frac{7}{11} \right )^{1} \frac{7^1}{11^1} \frac{7}{11}
\left ( \frac{1}{2} \right )^{-5} \left ( \frac{2}{1} \right )^{5} \frac{2^5}{1^5} \frac{32}{1}=32

Se la spiegazione che ti abbiamo presentato non ti è stata sufficientemente chiara, ti invitiamo a vedere la videolezione!

Questa che abbiamo appena presentato  non è l’unica operazione che è possibile svolgere con le frazioni.

Se desideri, puoi accedere ad altre lezioni sulle operazioni con le frazioni! In particolare:

E per finire, non perdere una lezione semplice ma efficace sulle espressioni con le frazioni!

Nel canale Youtube matematicaoggi è presente un’interessante playlist con una serie di videolezioni coinvolgenti, che completano le lezioni sopra elencate.

Lezioni su frazioni, rapporti e proporzioni

Ecco per voi una grande raccolta di lezioni su frazioni, rapporti e proporzioni, con tanti esempi e videolezioni direttamente dal canale YouTube matematicaoggi!

Lezioni sulle frazioni:

Approfondimenti:

Lezioni su rapporti e proporzioni:


Dopo aver studiato queste lezioni su frazioni, rapporti e proporzioni, vai alla pagina dedicata agli esercizi!


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Esercizi sulle potenze

In questa pagina troverai molti esercizi sulle potenze di diversi livelli di difficoltà con soluzioni!

Inoltre, per ogni argomento, è presente un link alla videolezione per chiarire ogni eventuale dubbio!


Oltre alle videolezioni, su questo sito puoi trovare le lezioni collegate agli esercizi qui presenti. Eccole:


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Lezioni di Matematica!

Ecco la sezione dedicata alle lezioni di matematica!

Potete trovate lezioni su vari argomenti per la scuola media e la scuola superiore:

Per alcuni argomenti è presente un file in formato pdf.

Inoltre, attraverso il canale Youtube matematicaoggi, è possibile seguire le video lezioni sugli argomenti di matematica presenti nel sito.

Infine, trovate materiali per lo studio e per lo svolgimento degli esercizi: tavole numeriche e formulari.


Il sito offre molti esercizi suddivisi per livelli di difficoltà; scegli gli esercizi di cui hai bisogno, collegandoti alla sezione dedicata!


Per qualsiasi richiesta, potete contattarmi per mail scrivendo a matematicaoggi@gmail.com.

Buono studio!


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