Problemi sul cubo

Devi svolgere alcuni problemi sul cubo? In questo articolo verranno presentati una serie di problemi standard.

Se non trovi un problema simile a quello che devi risolvere scrivilo nei commenti: provvederemo ad inserire la soluzione il prima possibile!


Problema 1: Un cubo ha lo spigolo che misura 12 cm. Calcola la superficie laterale.
Dati: Richieste:
Spigolo (s) = 12 cm Superficie laterale (Sl)?

Questo problema si svolge in modo molto semplice, applicando la formula diretta della superficie laterale del cubo:

S_l=4\cdot s^2

La formula prevede di calcolare l’area di una faccia del cubo (area di un quadrato) e di moltiplicarla per 4, considerando che la superficie laterale di un cubo è formata da 4 facce.  Applicando la formula si ottiene:

S_l=4\cdot s^2=4\cdot 12^2=4\cdot 144=576cm^2


Problema 2: determina l’area totale di un cubo, sapendo che lo spigolo misura 8 cm.
Dati: Richieste:
Spigolo (s) = 8 cm Superficie totale (St)?

Questo problema si svolge in modo molto semplice, applicando la formula diretta della superficie totale del cubo:

S_t=6\cdot s^2

La formula prevede di calcolare l’area di una faccia del cubo (area di un quadrato) e di moltiplicarla per 6, considerando che la superficie totale di un cubo è formata da 6 facce.  Applicando la formula si ottiene:

S_l=6\cdot s^2=6\cdot 8^2=6\cdot 64=384cm^2


Problema 3: quanto misura il volume di un cubo che ha lo spigolo di 15 cm?
Dati: Richieste:
Spigolo (s) = 15 cm Volume (V)?

Questo problema si svolge applicando la formula diretta del volume del cubo:

V=s^3

Applicando la formula si ottiene:

V=s^3=15^3=3375cm^3


Problema 4: determina la misura dello spigolo di un cubo, sapendo che l’area laterale è di 100 cm2.
Dati: Richieste:
Superficie laterale (Sl) = 100 cm2 Spigolo (s) = ?

Per determinare la misura dello spigolo del cubo è necessario applicare la formula inversa della superficie laterale:

s=\sqrt{\frac{S_l}{4}}

Applicando la formula si ottiene:

s=\sqrt{\frac{S_l}{4}}=\sqrt{\frac{100}{4}}=\sqrt{25}=5cm


Problema 5: determina la misura dello spigolo di un cubo, sapendo che l’area totale è di 294 cm2.
Dati: Richieste:
Superficie totale (St) = 294 cm2 Spigolo (s) = ?

Per determinare la misura dello spigolo del cubo è necessario applicare la formula inversa della superficie totale:

s=\sqrt{\frac{S_l}{6}}

Applicando la formula si ottiene:

s=\sqrt{\frac{S_t}{6}}=\sqrt{\frac{294}{6}}=\sqrt{49}=7cm


Problema 6: Quanto misura lo spigolo di un cubo il cui volume è di 2197 cm3?
Dati: Richieste:
Volume (V) = 2197 cm3 Spigolo (s) = ?

Per determinare la misura dello spigolo del cubo è necessario applicare la formula inversa del volume:

s=\sqrt[3]{V}

Applicando la formula si ottiene:

s=\sqrt[3]{V}=\sqrt[3]{2197}=13cm


Questi sono solo alcuni dei problemi sul cubo: se hai un problema che non sai risolvere, scrivi nei commenti e provvederemo ad aiutarti!


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Teorema di Pitagora

In geometria il Teorema di Pitagora è, probabilmente, il teorema più conosciuto.

Il Teorema di Pitagora si applica ai triangoli rettangoli, ma esistono molteplici applicazioni anche nelle altre figure piane e nei solidi.

Innanzitutto vediamo cosa prevede questo teorema: il quadrato costruito sull’ipotenusa è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui due cateti.

Per tradurre quanto sopra presentato, vediamo la figura seguente:

Teorema di Pitagora

Il triangolo rettangolo è disegnato in blu ed è delimitato da:

  • lato AB (cateto maggiore – indicato con cM);
  • lato AC (cateto minore – indicato con cm);
  • lato BC (ipotenusa – indicata con i).

Sui tre lati sono costruiti tre quadrati: il lato di ogni quadrato è pari alla lunghezza dei lati del triangolo.

Il Teorema di Pitagora, in pratica, afferma che l’area del quadrato verde (Q3) è uguale alla somma delle aree dei quadrati arancione e giallo (Q1 e Q2), cioè:

Q3 = Q1 + Q2

Facciamo un esempio, assegnando ai lati del triangolo alcuni valori (non scelti a caso, poiché un triangolo è rettangolo se i lati hanno delle misure tali da essere una terna pitagorica).

AB = 4 cm; AC = 3 cm; BC = 5 cm.

Applicando l’enunciato del Teorema di Pitagora avremo:

52 = 32 + 42 → 25 = 9 + 16 → 25 = 25

Con questo esempio abbiamo anche implicitamente visto cos’è una terna pitagorica, cioè un insieme di tre numeri naturali (n1, n2 e n3) tali che:

n12 + n22 = n32

Nei problemi di geometria con cui si ha a che fare solitamente si utilizzano delle formule che derivano da quella sopra descritta (Q3 = Q1 + Q2); in particolare, le formule sono quelle che permettono di ottenere la misura di un lato del triangolo, conoscendo le misure degli altri due lati.

Le formule del Teorema di Pitagora sono le seguenti:

  • i=\sqrt{c_m{}^{2}+c_M{}^{2}}  → formula che permette di ricavare la misura dell’ipotenusa, conoscendo le misure dei due cateti
  • c_m{}=\sqrt{i^{2}-c_M{}^{2}} → formula che permette di ricavare la misura del cateto minore, conoscendo le misure dell’ipotenusa e del cateto maggiore
  • c_M{}=\sqrt{i^{2}-c_m{}^{2}} → formula che permette di ricavare la misura del cateto maggiore, conoscendo le misure dell’ipotenusa e del cateto minore

Vediamo qualche esempio di applicazione di queste formule in alcuni problemi sui triangoli rettangoli.

Esempio 1

I cateti di un triangolo rettangolo misurano, rispettivamente, 6 cm e 8 cm. Quanto misura l’ipotenusa?

Il problema sopra presentato è uno tra i più classici che riguardano il Teorema di Pitagora: la domanda chiede di trovare la misura dell’ipotenusa di un triangolo rettangolo, di cui si conosce la misura dei due cateti.

Per svolgere questo problema è sufficiente applicare la prima delle tre formule sopra riportate:

i=\sqrt{c_m{}^{2}+c_M{}^{2}}

Sostituendo i valori, si ottiene:

i=\sqrt{c_m{}^{2}+c_M{}^{2}}=\sqrt{6{}^{2}+8{}^{2}}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10cm

Esempio 2

La base di un rettangolo misura 15 cm. Calcolare la misura dell’altezza, sapendo che la diagonale del rettangolo misura 17 cm.

Questo è un classico problema nel quale il Teorema di Pitagora è applicato ad altre figure geometriche (in questo caso ad un rettangolo). In realtà, se si immagina la figura del problema, si può facilmente intuire che tracciando la diagonale del rettangolo si ottengono due triangoli rettangoli uguali: ecco perché è possibile (e necessario) applicare il Teorema di Pitagora.

Teorema di Pitagora_2

La richiesta del problema è la misura dell’altezza del rettangolo: si tratta, quindi, di calcolare la misura di un cateto (quello minore), poiché la diagonale corrisponde all’ipotenusa, mentre la base del rettangolo all’altro cateto (quello maggiore).

Si utilizzerà, quindi, la formula seguente:

c_m{}=\sqrt{i^{2}-c_M{}^{2}}

Sostituendo i valori, si ottiene:

c_m{}=\sqrt{i^{2}-c_M{}^{2}}=\sqrt{17{}^{2}-15{}^{2}}=\sqrt{289-225}=\sqrt{64}=8cm

Esempio 3

In un cono l’apotema misura 37 cm. Sapendo che il raggio di base è di 12 cm, calcolare la misura dell’altezza del cono.

Questo è un problema nel quale il Teorema di Pitagora è applicato ad un solido (in questo caso ad un cono).

Teorema di Pitagora_3

La richiesta del problema è la misura dell’altezza del cono: si tratta, quindi, di calcolare la misura di un cateto (quello maggiore), poiché l’apotema corrisponde all’ipotenusa, mentre il raggio del cono all’altro cateto (quello minore).

Si utilizzerà, quindi, la formula seguente:

c_M{}=\sqrt{i^{2}-c_m{}^{2}}

Sostituendo i valori, si ottiene:

c_M{}=\sqrt{i^{2}-c_m{}^{2}}=\sqrt{37{}^{2}-12{}^{2}}=\sqrt{1369-144}=\sqrt{1225}=35cm

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