Radice con la scomposizione in fattori primi

Cosa significa calcolare la radice con la scomposizione in fattori primi?

Significa utilizzare la scomposizione in fattori primi per l’estrazione della radice di un numero. Ricordiamo che la radice è l’operazione inversa della potenza; infatti:

4^3=64 \rightarrow\sqrt[3]{64}=4

La scomposizione in fattori primi è un’operazione che permette di scrivere un numero sotto forma di prodotto di fattori che sono numeri primi. Per esempio:

45=3\cdot3\cdot5=3^2\cdot5

Per calcolare la radice di un numero attraverso la scomposizione in fattori primi è necessario:

  1. Scomporre il numero in fattori primi;
  2. Osservare gli esponenti dei fattori ottenuti dalla scomposizione: se tutti gli esponenti dei fattori sono uguali o multipli dell’indice di radice, allora è possibile svolgere la radice.

Vediamo con alcuni esempi come si svolge questa operazione.

Esempio 1

\sqrt{36}=

Il primo passaggio prevede di scomporre in fattori primi il numero 36:

36 | 2
18 | 2
9    | 3
3    | 3
1

Dalla scomposizione in fattori primi si ottiene:

36=2^2\cdot3^2

In questo caso gli esponenti dei fattori sono entrambi uguali all’indice di radice (si tratta di radice quadrata, quindi con indice uguale a 2).

Per calcolare la radice quadrata è sufficiente dividere per 2 gli esponenti dei fattori, togliendo così la radice:

\sqrt{36}=\sqrt{2^2\cdot3^2}=2^1\cdot3^1=2\cdot3=6

Esempio 2

\sqrt[3]{8000}=

Come detto nel primo esempio, il primo passaggio prevede di scomporre il numero in fattori primi:

8000 | 2
4000 | 2
2000 | 2
1000 | 2
500    | 2
250    | 2
125    | 5
25       | 5
5          | 5
1

Il risultato della scomposizione è il seguente:

8000=2^6\cdot5^3

Gli esponenti dei fattori sono, rispettivamente, multiplo (6 nel 26) e uguale (3 nel 53) dell’indice di radice.

Anche in questo esempio è possibile calcolare la radice, dividendo gli esponenti per l’indice di radice:

\sqrt[3]{8000}=\sqrt[3]{2^6\cdot5^3}=2^2\cdot5^1=4\cdot5=20

Esempio 3

\sqrt{54}=

Procediamo con la scomposizione in fattori primi del numero 54:

54 | 2
27 | 3
9    | 3
3    | 3
1

La scomposizione in fattori primi dà il seguente risultato:

54=2\cdot3^3

Considerando che si tratta di una radice quadrata, gli esponenti dei fattori non sono tali da permettere il calcolo della radice (il fattore 2 ha esponente 1, mentre il fattore 3 ha esponente 3).


Se hai ancora qualche dubbio, guarda la videolezione!


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Radice di una frazione

La radice di una frazione è un’operazione molto particolare che richiede attenzione.

In generale, la radice è l’opposto della potenza; per esempio:

2^4=16\to\sqrt[4]{16}=2

In questa lezione vedremo come si calcola la radice di una frazione.

In generale, vale la regola seguente:

\sqrt[a]{\frac{N}{D}}= \frac{\sqrt[a]{N}}{\sqrt[a]{D}}

Concretamente, la radice di una frazione con indice a si calcola applicando la radice sia al numeratore che al denominatore.

Presentiamo alcuni esempi per chiarire maggiormente questa regola. Se preferisci, a fondo pagina, puoi trovare un’utilissima videolezione!

Esempio 1

\sqrt[]{\frac{16}{25}}

In questo esempio è presente una radice quadrata (cioè con indice 2). Per svolgere questa operazione è sufficiente applicare la radice quadrata sia al numeratore che al denominatore della frazione, come di seguito presentato:

\sqrt[]{\frac{16}{25}}= \frac{\sqrt[]{16}}{\sqrt[]{25}} =\frac{4}{5}

Per verificare che il risultato ottenuto è corretto, è sufficiente applicare l’operazione inversa alla radice, cioè la potenza. Considerando che l’opposto della radice quadrata è la potenza alla seconda (o, al quadrato), avremo:

\frac{4^2}{5^2}=\frac{16}{25}

Esempio 2

\sqrt[3]{\frac{8}{125}}

In questo esempio è presente una radice con indice 3 (cioè una radice cubica). Per svolgere questa operazione è sufficiente applicare la radice cubica sia al numeratore che al denominatore della frazione, come di seguito presentato:

\sqrt[3]{\frac{8}{125}}= \frac{\sqrt[3]{8}}{\sqrt[3]{125}} =\frac{2}{5}

Per verificare che il risultato ottenuto è corretto, è sufficiente applicare l’operazione inversa alla radice, cioè la potenza. Considerando che l’opposto della radice cubica è la potenza alla terza (o, al cubo), avremo:

\frac{2^3}{5^3}=\frac{8}{125}

Esempio 3

\sqrt[]{1+\sqrt[]{\frac{49}{81}}}

In questo esempio è presente una doppia radice. Per svolgere questa operazione è necessario, innanzitutto, svolgere la radice interna; successivamente – quando tutte le operazioni sono state svolte e si ha un solo termine – si può risolvere la seconda radice.

Si precede, quindi, calcolando la prima radice (applicando la radice quadrata sia al numeratore che al denominatore), ottenendo:

\sqrt[]{1+\frac{7}{9}}}

Ora non resta che svolgere l’addizione, applicando le regole dell’addizione di frazioni, ottenendo così:

\sqrt[]{\frac{16}{9}}}

Applicando la radice quadrata sia al numeratore che al denominatore si ottiene:

\sqrt[]{\frac{16}{9}}= \frac{\sqrt[]{16}}{\sqrt[]{9}} =\frac{4}{3}

Questa che abbiamo appena presentato  non è l’unica operazione che è possibile svolgere con le frazioni.

Se desideri, puoi accedere ad altre lezioni sulle operazioni con le frazioni! In particolare:

E per finire, non perdere una lezione semplice ma efficace sulle espressioni con le frazioni!

Nel canale Youtube matematicaoggi è presente un’interessante playlist con una serie di videolezioni coinvolgenti, che completano le lezioni sopra elencate.