Prodotto di radicali con lo stesso indice

Il prodotto di radicali con lo stesso indice è una delle diverse operazioni che si possono eseguire con i radicali.

La regola generale per poter svolgere il prodotto di radicali con lo stesso indice è la seguente:

\sqrt[a]{b}\cdot\sqrt[a]{c}\ = \sqrt[a]{b\cdot\ c}

Innanzitutto si parte dal presupposto che i radicali devono avere lo stesso indice, indicato sopra con la lettera a.

Una volta verificato che i radicali hanno lo stesso indice, si procede svolgendo il prodotto, moltiplicando tra loro i radicandi e mantenendo la stessa radice (e, quindi, lo stesso indice).

Dopo aver svolto il prodotto è bene verificare se è possibile calcolare la radice ottenuta.

Vediamo ora qualche esempio applicativo.

Esempio 1

\sqrt[3]{4}\cdot\sqrt[3]{5}\ =

Come si può facilmente notare, i radicali di questo esempio hanno lo stesso indice (3).

Di conseguenza si può applicare la regola sopra indicata moltiplicando tra loro i radicandi, ottenendo così:

\sqrt[3]{4}\cdot\sqrt[3]{5}\ = \sqrt[3]{4\cdot5}= \sqrt[3]{20}

La radice ottenuta non è semplificabile, quindi quello ottenuto è il risultato finale.

Esempio 2

\sqrt[4]{27}\cdot\sqrt[4]{3}\ =

Così come per il primo esempio, anche in questo caso i radicali hanno lo stesso indice, cioè 4.

Si procede, quindi, con la regola prevista; si ottiene così:

\sqrt[4]{27}\cdot\sqrt[4]{3}\ = \sqrt[4]{27\cdot3}= \sqrt[4]{81}=3

Esempio 3

\sqrt{5}\cdot\sqrt{6}\cdot\sqrt{8}=

Anche in questo terzo esempio i radicali hanno lo stesso indice: si tratta di radici quadrate (indice pari a 2).

La regola prevista si applica anche se i radicali sono più di due; avremo quindi:

\sqrt{5}\cdot\sqrt{6}\cdot\sqrt{8}= \sqrt{5\cdot6\cdot8}= \sqrt{240}

Il radicando ottenuto si può scomporre in fattori primi, in modo tale da portare alcuni fattori fuori radice:

240= 2^{4}\cdot3\cdot5

Essendo radice quadrata e avendo un fattore con esponente pari, è possibile portare il fattore stesso fuori radice, dividendo per 2 l’esponente; otteniamo così:

\sqrt{5}\cdot\sqrt{6}\cdot\sqrt{8}= \sqrt{5\cdot6\cdot8}= \sqrt{240}=\sqrt{2^{4}\cdot3\cdot5}=2^{2}\sqrt{3\cdot5}=4\sqrt{15}

Guarda la videolezione con altri esempi chiari ed esaustivi!

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