Equazioni di secondo grado spurie

15 Settembre 20194 Novembre 2019 / Alessandro

Le equazioni di secondo grado spurie sono le equazioni espresse nella forma

$a x^{2}+bx=0$

Essa deriva dall’equazione in forma completa $ax^{2}+bx+c=0$ , in cui il temine c è uguale a 0.

Ma come si risolve una equazione di secondo grado spuria?

A questa domanda si risponde facilmente, poiché è sufficiente ricordare che le due soluzioni sono sempre:

$x_{1}=0$

$x_{2}=-\frac{b}{a}$

Vediamo alcuni esempi applicativi.

Esempio 1

$4x^{2}-12x=0$

In questa equazione i valori di riferimento sono i seguenti:

$a=+4$

$b=-12$

Non resta che sostituire questi valori all’interno delle formule risolutive:

$x_{1}=0$

$x_{2}=-\frac{-12}{4}=+\frac{12}{4}=+3$

Esempio 2

$-2x^{2}+9x=0$

Come per l’esempio 1, identifichiamo i valori di riferimento che ci aiuteranno a risolvere l’equazione:

$a=-2$

$b=+9$

Ora sostituiamo i valori all’interno delle formule, ottenendo:

$x_{1}=0$

$x_{2}=-\frac{+9}{-2}=+\frac{9}{2}$

Esempio 3

$-5x^{2}-10x=0$

In questo ultimo esempio i valori di riferimento per le formule risolutive sono i seguenti:

$a=-5$

$b=-10$

Le soluzioni dell’equazione le otteniamo sostituendo i valori:

$x_{1}=0$

$x_{2}=-\frac{-10}{-5}=-\frac{10}{5}=-2$

Qual è l’origine delle formule risolutive per svolgere le equazioni di secondo grado spurie? Lo vediamo!

Consideriamo la formula risolutiva delle equazioni di secondo grado complete:

$x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{ b^{2}-4ac}}{2a}$

Come detto, il termine c è uguale a 0: di conseguenza, se sostituiamo 0 al posto della lettera c, la formula si riduce come segue:

$x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{ b^{2}}}{2a}$

Portiamo fuori il termine al quadrato e usiamo $\sqrt{b^2}=b$ (vero solo se $b>0$ ), ottenendo così:

$x_{1,2}=\frac{-b\pm\ b}{2a}$

Ora è possibile ottenere le formule iniziali:

$x_{1}=\frac{-b+b}{2a}=\frac{0}{2a}=0$

$x_{2}=\frac{-b-b}{2a}=\frac{-2b}{2a}=-\frac{b}{a}$

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