Equazioni di secondo grado pure

Le equazioni di secondo grado pure sono le equazioni espresse nella forma

a x^{2}+c=0

Essa deriva dall’equazione in forma completa ax^{2}+bx+c=0 , in cui il temine b è uguale a 0.

Ma come si risolve una equazione di secondo grado pura?

A questa domanda si risponde facilmente, poiché è sufficiente ricordarsi ed applicare le due piccole formule sotto riportate:

x_{1}=-\sqrt{-\frac{c}{a}}

x_{2}=+\sqrt{-\frac{c}{a}}

Vediamo con alcuni esempi come si applicano queste formule.

Esempio 1

 x^{2}-4=0

In questa equazione i valori di riferimento sono i seguenti:

a=+1

c=-4

Non resta che sostituire questi valori all’interno delle formule risolutive:

x_{1}=-\sqrt{-\frac{-4}{1}}=-\sqrt{\frac{4}{1}}=-\sqrt{4}}=-2

x_{2}=+\sqrt{-\frac{-4}{1}}=+\sqrt{\frac{4}{1}}=+\sqrt{4}}=+2

Esempio 2

 16x^{2}-1=0

Come per l’esempio 1, identifichiamo i valori di riferimento che ci aiuteranno a risolvere l’equazione:

a=+16

c=-1

Ora sostituiamo i valori all’interno delle formule, ottenendo:

x_{1}=-\sqrt{-\frac{-1}{16}}=-\sqrt{\frac{1}{16}}=-\frac{1}{4}

x_{2}=+\sqrt{-\frac{-1}{16}}=+\sqrt{\frac{1}{16}}=+\frac{1}{4}

Esempio 3

-25x^{2}+9=0

In questo ultimo esempio i valori di riferimento per le formule risolutive sono i seguenti:

a=-25

c=+9

Le soluzioni dell’equazione le otteniamo sostituendo i valori:

x_{1}=-\sqrt{-\frac{9}{-25}}=-\sqrt{\frac{9}{25}}=-\frac{3}{5}

x_{2}=+\sqrt{-\frac{9}{-25}}=+\sqrt{\frac{9}{25}}=+\frac{3}{5}


Qual è l’origine delle formule risolutive per svolgere le equazioni di secondo grado pure? Lo vediamo!

Scriviamo l’equazione ax^{2}+bx+c=0 in modo che a>0 . Se non è così, cambiamo tutto di
segno. Questo passo è importante perché la radice quadrata prende argomenti positivi e
restituisce numeri positivi.

Consideriamo la formula risolutiva delle equazioni di secondo grado complete:

x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{ b^{2}-4ac}}{2a}

Come detto, il termine b è uguale a 0: di conseguenza, se sostituiamo 0 al posto della lettera b, la formula si riduce come segue:

x_{1,2}=\frac{\pm\sqrt{-4ac}}{2a}

Possiamo portare fuori radice il 4, ottenendo così:

x_{1,2}=\frac{\pm2\sqrt{-ac}}{2a}

Ora possiamo semplificare il 2 sopra e sotto; la formula si riduce alla forma seguente:

x_{1,2}=\frac{\pm\sqrt{-ac}}{a}

Moltiplicando numeratore e denominatore per \sqrt{a} (si può fare solo se a>0) si ottiene:

x_{1,2}=\frac{\pm\sqrt{-ac}\cdot\sqrt{a}}{a\cdot\sqrt{a}}

Eseguendo la moltiplicazione a numeratore si ottiene:

x_{1,2}=\frac{\pm\sqrt{-a^2c}}{a\cdot\sqrt{a}}

Portiamo fuori il termine al quadrato e usiamo \sqrt{a^2}=a (vero solo se a>0), ottenendo così:

x_{1,2}=\frac{\pm{a}\sqrt{-c}}{a\cdot\sqrt{a}}

Ora è possibile semplificare i due termini a che si trovano a numeratore e a denominatore; in questo modo otteniamo:

x_{1,2}=\frac{\pm\sqrt{-c}}{\sqrt{a}}

Le radici presenti a numeratore e a denominatore hanno lo stesso indice, quindi è possibile applicare la stessa radice al rapporto \frac{-c}{a} ; a questo punto si ottiene la formula finale:

x_{1,2}=\pm\sqrt{\frac{-c}{a}}

Essa corrisponde alle due formule:

x_{1}=-\sqrt{-\frac{c}{a}}

x_{2}=+\sqrt{-\frac{c}{a}}


Vai alla pagina degli esercizi sulle equazioni di secondo grado pure!

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