Equazioni di secondo grado pure

Le equazioni di secondo grado pure sono le equazioni espresse nella forma

$a x^{2}+c=0$

Essa deriva dall’equazione in forma completa $ax^{2}+bx+c=0$ , in cui il temine b è uguale a 0.

Ma come si risolve una equazione di secondo grado pura?

A questa domanda si risponde facilmente, poiché è sufficiente ricordarsi ed applicare le due piccole formule sotto riportate:

$x_{1}=-\sqrt{-\frac{c}{a}}$

$x_{2}=+\sqrt{-\frac{c}{a}}$

Vediamo con alcuni esempi come si applicano queste formule.

Esempio 1

$x^{2}-4=0$

In questa equazione i valori di riferimento sono i seguenti:

$a=+1$

$c=-4$

Non resta che sostituire questi valori all’interno delle formule risolutive:

$x_{1}=-\sqrt{-\frac{-4}{1}}=-\sqrt{\frac{4}{1}}=-\sqrt{4}}=-2$

$x_{2}=+\sqrt{-\frac{-4}{1}}=+\sqrt{\frac{4}{1}}=+\sqrt{4}}=+2$

Esempio 2

$16x^{2}-1=0$

Come per l’esempio 1, identifichiamo i valori di riferimento che ci aiuteranno a risolvere l’equazione:

$a=+16$

$c=-1$

Ora sostituiamo i valori all’interno delle formule, ottenendo:

$x_{1}=-\sqrt{-\frac{-1}{16}}=-\sqrt{\frac{1}{16}}=-\frac{1}{4}$

$x_{2}=+\sqrt{-\frac{-1}{16}}=+\sqrt{\frac{1}{16}}=+\frac{1}{4}$

Esempio 3

$-25x^{2}+9=0$

In questo ultimo esempio i valori di riferimento per le formule risolutive sono i seguenti:

$a=-25$

$c=+9$

Le soluzioni dell’equazione le otteniamo sostituendo i valori:

$x_{1}=-\sqrt{-\frac{9}{-25}}=-\sqrt{\frac{9}{25}}=-\frac{3}{5}$

$x_{2}=+\sqrt{-\frac{9}{-25}}=+\sqrt{\frac{9}{25}}=+\frac{3}{5}$

Qual è l’origine delle formule risolutive per svolgere le equazioni di secondo grado pure? Lo vediamo!

Scriviamo l’equazione $ax^{2}+bx+c=0$ in modo che $a>0$ . Se non è così, cambiamo tutto di
segno. Questo passo è importante perché la radice quadrata prende argomenti positivi e
restituisce numeri positivi.

Consideriamo la formula risolutiva delle equazioni di secondo grado complete:

$x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{ b^{2}-4ac}}{2a}$

Come detto, il termine b è uguale a 0: di conseguenza, se sostituiamo 0 al posto della lettera b, la formula si riduce come segue:

$x_{1,2}=\frac{\pm\sqrt{-4ac}}{2a}$

Possiamo portare fuori radice il 4, ottenendo così:

$x_{1,2}=\frac{\pm2\sqrt{-ac}}{2a}$

Ora possiamo semplificare il 2 sopra e sotto; la formula si riduce alla forma seguente:

$x_{1,2}=\frac{\pm\sqrt{-ac}}{a}$

Moltiplicando numeratore e denominatore per $\sqrt{a}$ (si può fare solo se $a>0$ ) si ottiene:

$x_{1,2}=\frac{\pm\sqrt{-ac}\cdot\sqrt{a}}{a\cdot\sqrt{a}}$

Eseguendo la moltiplicazione a numeratore si ottiene:

$x_{1,2}=\frac{\pm\sqrt{-a^2c}}{a\cdot\sqrt{a}}$

Portiamo fuori il termine al quadrato e usiamo $\sqrt{a^2}=a$ (vero solo se $a>0$ ), ottenendo così:

$x_{1,2}=\frac{\pm{a}\sqrt{-c}}{a\cdot\sqrt{a}}$

Ora è possibile semplificare i due termini a che si trovano a numeratore e a denominatore; in questo modo otteniamo:

$x_{1,2}=\frac{\pm\sqrt{-c}}{\sqrt{a}}$

Le radici presenti a numeratore e a denominatore hanno lo stesso indice, quindi è possibile applicare la stessa radice al rapporto $\frac{-c}{a}$ ; a questo punto si ottiene la formula finale: