Scomposizione con quadrato di un trinomio: la lezione che ti chiarirà ogni dubbio!
La scomposizione di un polinomio, in alcuni casi, è possibile facendo riferimento ai prodotti notevoli.
In questo caso non è difficile individuare il risultato del quadrato di un trinomio, poiché è composto da 6 termini (6 monomi).
Il caso generale è il seguente:
In sostanza, per identificare lo sviluppo del quadrato di un trinomio sono necessarie le seguenti condizioni:
- Sei monomi
- Tre di questi monomi devono essere quadrati
- I tre monomi restanti devono corrispondere ai doppi prodotti dei monomi di base
Vediamo ora alcuni esempi della scomposizione con quadrato di un trinomio.
Esempio 1
Il polinomio di questo esempio è composto da 6 monomi, quindi potrebbe essere lo sviluppo del quadrato di un trinomio.
Ora è necessario individuare i tre monomi quadrati: il consiglio è di iniziare ad analizzare il polinomio dal primo monomio a sinistra, procedendo verso destra, poiché è possibile che i monomi siano ordinati rispetto alla regola del quadrato del trinomio.
Procedendo in questo modo abbiamo:
- x4 è il quadrato di x2
- 4y2 è il quadrato di 2y
- 9z2 è il quadrato di 3z
La seconda condizione è soddisfatta. Ora non resta che verificare che i tre monomi restanti sono i doppi prodotti dei monomi di base (x2, 2y, 3z).
Verifichiamo i doppi prodotti:
- 4x2y è il risultato del doppio prodotto dei monomi x2 e 2y
- 12yz è il risultato del doppio prodotto dei monomi 2y e 3z
- 6x2z è il risultato del doppio prodotto dei monomi x2 e 3z
Osservando, infine, il polinomio iniziale possiamo notare che tutti i monomi hanno segno positivo; di conseguenza, la scomposizione corrisponde alla seguente forma:
Esempio 2
Il polinomio di questo esempio è composto da 6 monomi, quindi potrebbe essere lo sviluppo del quadrato di un trinomio.
Ora è necessario individuare i tre monomi quadrati: come per il primo esempio, iniziamo ad analizzare il polinomio dal primo monomio a sinistra, procedendo verso destra, poiché è possibile che i monomi siano ordinati rispetto alla regola del quadrato del trinomio.
Procedendo in questo modo abbiamo:
- 4a2 è il quadrato di 2a
- 9b2 è il quadrato di 3b
- 16c4 è il quadrato di 4c2
La seconda condizione è soddisfatta. Ora non resta che verificare che i tre monomi restanti sono i doppi prodotti dei monomi di base (2a , 3b , 4c2).
Verifichiamo i doppi prodotti:
- 12ab è il risultato del doppio prodotto dei monomi 2a e 3b
- 24bc2 è il risultato del doppio prodotto dei monomi 3b e 4c2
- 16ac2 è il risultato del doppio prodotto dei monomi 2a e 4c2
Se osserviamo il polinomio iniziale notiamo che due termini (doppi prodotti) hanno segno negativo: a differenza del polinomio del primo esempio non è possibile assegnare segno più a tutti i monomi, quindi è necessario un ragionamento sui segni, partendo dalla seguente situazione:
Occhio ai segni!
Secondo la regola dei segni, il risultato negativo di una moltiplicazione di due termini è dovuto al fatto che uno dei due termini è negativo. Si può iniziare assegnando il segno positivo al primo monomio:
Per assegnare il segno del secondo monomio osserviamo il segno del doppio prodotto del primo per il secondo: c’è meno, quindi il secondo monomio dentro parentesi avrà segno meno.
Per il segno del terzo monomio osserviamo il doppio prodotto fra il primo ed il terzo: essendo positivi, il terzo monomio dentro parentesi avrà segno più.
Ultimo controllo: è necessario verificare che il segno del doppio prodotto fra il secondo ed il terzo sia corretto. In effetti lo è, perché il segno finale è meno: di conseguenza quello indicato nell’ultimo passaggio è il risultato finale.
Questa non è l’unica scomposizione: qui puoi trovare tutte le scomposizioni un polinomio in fattori!
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