Scomposizione con quadrato di un binomio

Scomposizione con quadrato di un binomio: la lezione che ti chiarirà ogni dubbio!

La scomposizione di un polinomio, in alcuni casi, è possibile facendo riferimento ai prodotti notevoli.

Se il polinomio da scomporre è un trinomio, è possibile – con alcune condizioni – che la scomposizione da applicare sia quella del quadrato di un binomio.

Le forme generiche di questa scomposizione sono le seguenti:

a2 + 2abb2 = (a + b)2

a2 – 2abb2 = (ab)2

Osservando le forme generiche, si deve verificare che il trinomio sia composto da:

  • due termini che sono due quadrati (a2 è il quadrato di ab2 è il quadrato di b);
  • un termine che corrisponde al doppio prodotto delle basi (+ 2ab è il doppio prodotto di a e b, nel primo caso; – 2ab è il doppio prodotto di a e b, nel secondo caso).

Concludendo, se in un trinomio due termini sono dei quadrati e il terzo termine è il doppio prodotto delle relative basi, il trinomio corrisponde allo sviluppo del quadrato di un binomio.

Esempio 1:

x2 + 4x + 4

Osservando i termini del trinomio, si può verificare che:

  • x2 è il quadrato di x;
  • 4 è il quadrato di 2;
  • 4x è il doppio prodotto delle due basi, cioè 2 · 2 · = 4x.

Questo permette di affermare che il trinomio da scomporre è lo sviluppo di un quadrato di un binomio, quindi è possibile eseguire la scomposizione come segue:

x2 + 4x + 4 = (x + 2)2

Per verificare che la scomposizione ottenuta è corretta, è sufficiente eseguire la potenza, quindi risolvere il quadrato del binomio, secondo la regola generale:

(x + 2)2 = (x)2 + 2 · 2 · + (2)2 = x2 + 4x + 4

Esempio 2:

4a4 – 12a2b + 9b2

Osservando i termini del trinomio, si può verificare che:

  • 4a4 è il quadrato di 2a2;
  • 9b2 è il quadrato di – 3b (lo consideriamo negativo perché il doppio prodotto è negativo);
  • – 12a2b è il doppio prodotto delle due basi, cioè 2 · 2a2 · (- 3b) = – 12a2b.

Questo permette di affermare che il trinomio da scomporre è lo sviluppo di un quadrato di un binomio, quindi è possibile eseguire la scomposizione come segue:

4a4 – 12a2b + 9b2 = (2a2 – 3b)2

Per verificare che la scomposizione ottenuta è corretta, è sufficiente eseguire la potenza, quindi risolvere il quadrato del binomio, secondo la regola generale:

(2a2 – 3b)2 = (2a2)2 + 2 · 2a2 · (- 3b) + (- 3b)2 = 4a4 – 12a2b + 9b2

Scarica il pdf della lezione sulla scomposizione con quadrato di un binomio!

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