Grado rispetto alle lettere di un polinomio

Cos’è il grado rispetto alle lettere di un polinomio?

Per rispondere a questa domanda è necessario sapere cos’è il grado rispetto alla lettera di un monomio.

In sostanza, il grado rispetto alle lettere di un polinomio è l’esponente più alto con cui una certa lettera compare nei termini del polinomio (cioè nei monomi che compongono il polinomio).

In aggiunta, possiamo definire polinomio completo (rispetto ad una lettera) quel polinomio nel quale una lettera è presente dal grado più alto fino al grado 0.

Infine, un polinomio è ordinato quando i monomi sono scritti in modo tale che, rispetto ad una determinata lettera, gli esponenti sono in ordine crescente o decrescente.

Vediamo ora, con qualche esempio, di capire come si determina il grado rispetto alla lettera di un polinomio.

Esempio 1

-3x^3y^2+6x^4-8y^3

Per stabilire il grado rispetto alle lettere di questo polinomio (si tratta, in particolare, di un trinomio), è necessario definire il grado più alto di ogni lettera.

Ci facciamo aiutare da una semplice tabella, nella quale indichiamo i gradi rispetto alle lettere di ogni monomio che compone il polinomio.

Monomio Grado rispetto alla lettera x Grado rispetto alla lettera y
-3x^3y^2 3 2
+6x^4 4 0
-8y^3 0 3

Ora non resta che osservare i valori in tabella: il grado più alto della lettera x è 4, quindi il polinomio è di quarto grado rispetto alle lettera x; il grado più alto della lettera y è 3, quindi il polinomio è di terzo grado rispetto alla lettera y.

Possiamo affermare che il polinomio non è completo, né rispetto alla lettera x (mancano, infatti, il grado 1 e il grado 2), né rispetto alla lettera y (manca, infatti, il grado 1).

Infine possiamo anche affermare che il polinomio non è ordinato, né rispetto alla lettera x, né rispetto alla lettera y, in quanto non c’è un ordine preciso dei gradi.

Esempio 2

9a^3b+\frac{1}{3}a^2b^4-5ab^2-8b

Come per il primo esempio, costruiamo una tabella per definire i gradi rispetto ad ogni lettera di ogni monomio.

Monomio Grado rispetto alla lettera a Grado rispetto alla lettera b
9a^3b 3 1
+\frac{1}{3}a^2b^4 2 4
-5ab^2 1 2
-8b 0 1

Ora non resta che osservare i valori in tabella: il grado più alto della lettera a è 3, quindi il polinomio è di terzo grado rispetto alle lettera a; il grado più alto della lettera b è 4, quindi il polinomio è di quarto grado rispetto alla lettera b.

Possiamo affermare che il polinomio è completo rispetto alla lettera a: sono presenti, infatti, tutti i gradi partendo da quello massimo (in questo caso 3) fino al grado 0; il polinomio non è completo rispetto rispetto alla lettera b (mancano, infatti, il grado 0 e il grado 3).

Infine possiamo affermare che il polinomio è ordinato rispetto alla lettera a (i monomi, infatti, sono scritti in modo tale che gli esponenti della lettera a sono in ordine decrescente); il polinomio non è ordinato rispetto alla lettera b (non c’è un ordine preciso dei gradi).

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