Il prodotto di polinomi, insieme alla somma algebrica di polinomi, è una delle operazioni più comuni del calcolo letterale. Non vanno poi dimenticati i prodotti notevoli e il quoziente di un polinomio per un monomio.
Per trovare il prodotto di polinomi è necessario ricordare la prima proprietà delle potenze (prodotto di potenze con la stessa base):
Inoltre, per svolgere la moltiplicazione tra polinomi, è necessario ricordare la proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma: il prodotto di polinomi è un polinomio che si ottiene moltiplicando tutti i termini di un polinomio per tutti i termini dell’altro polinomio.
Vediamo di capire, con un paio di esempi, come si svolge questo tipo di operazione.
Esempio 1
In questo esempio è presente una moltiplicazione tra due binomi. Si procede moltiplicando i due monomi della prima parentesi per i due monomi della seconda parentesi, ottenendo così quattro monomi (due monomi per due monomi):
Si ritiene importante sottolineare che, nell’eseguire i prodotti, si applica – nella parte letterale – la prima proprietà delle potenze, che prevede di sommare gli esponenti delle lettere uguali (come nella prima e nella quarta moltiplicazione).
Solitamente il passaggio si compie direttamente, ottenendo così:
Osservando i quattro monomi ottenuti dalle singole moltiplicazioni, si può affermare che non vi sono monomi simili tra loro, quindi il risultato è quello finale.
Esempio 2
In questo esempio è presente un trinomio per un binomio. Come nel primo esempio, moltiplichiamo tutti i termini del trinomio con tutti i termini del binomio, ottenendo così:
Anche in questo caso, nell’eseguire i prodotti, è stata applicata – nella parte letterale – la prima proprietà delle potenze (nella prima e nella quarta moltiplicazione).
Compiendo i passaggi direttamente si otterrebbe:
Osservando i termini ottenuti dalla moltiplicazioni, si può osservare che si trovano due monomi simili tra loro (-xy e 2xy). Sommandoli algebricamente si ottiene:
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