M.C.D. di monomi

Il Massimo Comune Divisore di due o più monomi (M.C.D. di monomi) è il monomio di grado massimo che è loro divisore comune.

Per calcolare il M.C.D. di monomi si devono analizzare i coefficienti e le parti letterali dei monomi iniziali:

  • il coefficiente numerico (indifferentemente con segno + o -) corrisponde:
    • al M.C.D. dei singoli coefficienti dei monomi iniziali, se questi sono numeri interi;
    • a 1 (per semplicità) se i coefficienti dei monomi iniziali non sono numeri interi;
  • la parte letterale è formata da tutte le lettere comuni ai singoli monomi iniziali, prese una sola volta, con il minimo esponente con cui compaiono.

Nel caso in cui il M.C.D. di due o più monomi non contiene parte letterale, si dice che i monomi sono primi tra loro.

Esempio 1:

M.C.D. (2a2b3; 4a3b)

Prima di tutto si ricava il M.C.D. dei coefficienti: in questo caso si deve calcolare il Massimo Comune Divisore tra 2 e 4, cioè:

M.C.D. (2; 4) = 2

Passando alla parte letterale, si può notare che nei monomi iniziali appaiono sia a che b, quindi entrambe le lettere sono comuni:

  • tra a2 del primo monomio e a3 del secondo monomio, si considera a2, perché ha l’esponente più basso;
  • tra b3 del primo monomio e b del secondo monomio, si considera b, perché ha l’esponente più basso.

Da queste considerazioni, si può concludere che la parte letterale del M.C.D. sarà formata da a2b.

Per finire, il Massimo Comune Divisore corrisponde a 2a2b, quindi:

M.C.D. (2a2b3; 4a3b) = 2a2b

Esempio 2:

M.C.D. (-x2y; +xz; -2xy4)

Prima di tutto si ricava il M.C.D. dei coefficienti: in questo caso si deve calcolare il Massimo Comune Divisore tra 1, 1 e 2, cioè:

M.C.D. (1; 1; 2) = 1

Passando alla parte letterale, si può notare che l’unica lettera comune a tutti i monomi è x, poiché y è presente solamente nel primo e nel terzo monomio, mentre z è presente solo nel secondo; la lettera x ha esponente 2 nel primo monomio e 1 sia nel secondo che nel terzo monomio: si considera, quindi, x perché ha l’esponente più basso.

Da queste considerazioni, si può concludere che la parte letterale del M.C.D. sarà formata da x.

Per finire, il Massimo Comune Divisore corrisponde a +x (si è scelto segno + per semplicità), quindi:

M.C.D. (-x2y; +xz; -2xy4) = +x

Esempio 3:

M.C.D. (2a3b; 4cx)

Prima di tutto si ricava il M.C.D. dei coefficienti: in questo caso si deve calcolare il Massimo Comune Divisore tra 2 e 4, cioè:

M.C.D. (2; 4) = 2

Passando alla parte letterale, si può notare che non ci sono lettere comuni ad entrambi i monomi (a e b sono presenti nel primo monomio, ma non nel secondo; c e x sono presenti nel secondo monomio, ma non nel primo).

La considerazione riguardo alla parte letterale porta a concludere che il M.C.D. tra i monomi di questo esempio è uguale a 2, quindi – non essendoci parte letterale – i monomi sono primi tra loro.

M.C.D. (2a3b; 4cx) = 2

2a3b e 4cx sono monomi primi tra loro.

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