Espressioni con i prodotti notevoli

Le espressioni con i prodotti notevoli sono particolari operazioni che richiedono attenzione, poiché prevedono l’applicazione di una serie di regole o procedure di calcolo che è bene memorizzare; in particolare:

Per svolgere questo tipo di espressioni vediamo alcuni esempi per capire come poterle risolvere senza particolari difficoltà.

Esempio 1

 (a+2)^{2}+(a+1)(a-1)-4a=

In questa espressione sono presenti solamente parentesi tonde, quindi il primo passaggio prevede di svolgere le operazioni necessarie per poter togliere le parentesi; le operazioni da svolgere sono, nello specifico:

  • un quadrato di un binomio →  (a+2)^{2}
  • una somma per differenza → (a+1)(a-1)

Svolgendo le operazioni sopra indicate (si deve fare riferimento alle regole di svolgimento dei prodotti notevoli):

  •  (a+2)^{2}= a^{2}+4a+4
  • (a+1)(a-1)= a^{2}-1

si ottiene:

 a^{2}+4a+4+a^{2}-1-4a=

Ora è sufficiente individuare eventuali monomi simili tra loro (a^{2} e +a^{2}+4a e -4a+4 e -1) e svolgere la somma algebrica, ottenendo:

 2a^{2}+3

Esempio 2

 (x+1)^{3}-[x(x+y)+(x+y+2)^{2}]=

In questa espressione sono presenti parentesi tonde e quadre, quindi il primo passaggio prevede di svolgere le operazioni necessarie per poter togliere le parentesi tonde (in seguito, le quadre); le operazioni da svolgere sono, nello specifico:

  • un cubo di un binomio →  (x+1)^{3}
  • un prodotto di un monomio per un binomio → x (x+y)
  • un quadrato di un trinomio →  (x+y+2)^{2}

Svolgendo le operazioni sopra indicate:

  •  (x+1)^{3}= x^{3}+3 x^{2}+3x+1
  •  x(x+y)= x^{2}+xy
  •  (x+y+2)^{2}= x^{2}+ y^{2}+4+2xy+4x+4y

si ottiene

 x^{3}+3x^{2}+3x+1-[x^{2}+xy+x^{2}+y^{2}+4+2xy+4x+4y]=

Per togliere le parentesi quadre osserviamo se all’interno di esse sono presenti monomi simili tra loro (x^{2} e +x^{2}+xy e +2xy; ); si procede, quindi, svolgendo la somma algebrica ottenendo:

 x^{3}+3x^{2}+3x+1-[2x^{2}+3xy+y^{2}+4+4x+4y]=

Ora che all’interno delle parentesi quadre sono state svolte le somme algebriche tra i monomi simili tra loro, si procede togliendo le parentesi, facendo attenzione al segno meno davanti ad esse: in questo caso, tutti i monomi interni alle parentesi quadre andranno riscritti con il segno opposto. Si ottiene così la seguente espressione:

 x^{3}+3x^{2}+3x+1-2x^{2}-3xy-y^{2}-4-4x-4y=

Ora è sufficiente individuare eventuali monomi simili tra loro (+3x^{2} e -2x^{2}+3x e -4x+1 e -4) e svolgere la somma algebrica, ottenendo:

 x^{3}+x^{2}-y^{2}-x-4y-3xy-3

Vai alla pagina degli esercizi sulle espressioni con i prodotti notevoli!

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