Le espressioni con i prodotti notevoli sono particolari operazioni che richiedono attenzione, poiché prevedono l’applicazione di una serie di regole o procedure di calcolo che è bene memorizzare; in particolare:
- prodotti notevoli;
- operazioni con i monomi;
- somma algebrica di polinomi;
- prodotto di polinomi;
- quoziente di un polinomio per un monomio.
Per svolgere questo tipo di espressioni vediamo alcuni esempi per capire come poterle risolvere senza particolari difficoltà.
Esempio 1
In questa espressione sono presenti solamente parentesi tonde, quindi il primo passaggio prevede di svolgere le operazioni necessarie per poter togliere le parentesi; le operazioni da svolgere sono, nello specifico:
- un quadrato di un binomio →
- una somma per differenza →
Svolgendo le operazioni sopra indicate (si deve fare riferimento alle regole di svolgimento dei prodotti notevoli):
si ottiene:
Ora è sufficiente individuare eventuali monomi simili tra loro:
- a2 e +a2
- +4a e -4a
- +4 e -1
e svolgere la somma algebrica, ottenendo:
+2a2 + 3
Esempio 2
In questa espressione sono presenti parentesi tonde e quadre, quindi il primo passaggio prevede di svolgere le operazioni necessarie per poter togliere le parentesi tonde (in seguito, le quadre); le operazioni da svolgere sono, nello specifico:
- un cubo di un binomio →
- un prodotto di un monomio per un binomio →
- un quadrato di un trinomio →
Svolgendo le operazioni sopra indicate:
si ottiene
Per togliere le parentesi quadre osserviamo se all’interno di esse sono presenti monomi simili tra loro; eccoli:
- x2 e +x2
- +xy e +2xy
Procediamo, quindi, svolgendo la somma algebrica ottenendo:
Ora che all’interno delle parentesi quadre sono state svolte le somme algebriche tra i monomi simili tra loro, si procede togliendo le parentesi, facendo attenzione al segno meno davanti ad esse: in questo caso, tutti i monomi interni alle parentesi quadre andranno riscritti con il segno opposto. Si ottiene così la seguente espressione:
Ora è sufficiente individuare eventuali monomi simili tra loro:
- +3x2 e -2x2
- +3x e -4x
- +1 e -4
e, svolgendo la somma algebrica, otteniamo:
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