Frazione generatrice di un numero decimale

Frazione generatrice di un numero decimale: ecco la lezione che ti chiarirà ogni dubbio!

Come si trasforma un numero decimale in una frazione?

La frazione di cui si parla è chiamata frazione generatrice di un numero decimale. Si devono distinguere tre casi:

Frazione generatrice di un numero decimale limitato
Frazione generatrice di un numero decimale illimitato periodico semplice
Frazione generatrice di un numero decimale illimitato periodico misto

Frazione generatrice di un numero decimale limitato

Per ottenere la frazione generatrice di questo numero è sufficiente seguire questi passaggi:

al numeratore si scrive il numero senza virgola
al denominatore si scrive un 1 seguito da tanti zeri quante sono le cifre decimali

Esempio 1:

$0,23=\frac{23}{100}$

Al numeratore abbiamo scritto 23, cioè il numero iniziale senza virgola e lo zero che lo precede; al denominatore abbiamo scritto 100, poiché 0,23 ha due cifre dopo la virgola (quindi 1 seguito da due zeri).

Esempio 2:

$1,077=\frac{1077}{1000}$

Al numeratore abbiamo scritto 1077, cioè il numero iniziale senza virgola; al denominatore abbiamo scritto 1000, poiché 1,077 ha tre cifre dopo la virgola (quindi 1 seguito da tre zeri).

Quando possibile, la frazione che si ottiene è bene semplificarla e ridurla ai minimi termini (lezione sulla semplificazione di frazioni).

Frazione generatrice di un numero decimale illimitato periodico semplice

Per ottenere la frazione generatrice di questo numero è sufficiente seguire questi passaggi:

al numeratore si scrive il numero senza virgola, al quale si sottrae la parte del numero che non fa parte del periodo (parte intera)
al denominatore si scrive un 9 per ogni cifra che fa parte del periodo

Precisiamo che per periodo si intende la parte del numero decimale che si ripete e che è indicata con una linea al di sopra dei numeri che si ripetono, ad esempio:

$1\overline{3}=1,333333333333...$

In questo caso il periodo è il 3.

Esempio 3:

$1,\overline{32}=\frac{132-1}{99}=\frac{131}{99}$

Al numeratore abbiamo scritto 132 (il numero iniziale senza virgola) meno 1 (il numero che non fa parte del periodo); al denominatore abbiamo scritto 99, poiché il numero decimale periodico iniziale ha due cifre che fanno parte del periodo.

Esempio 4:

$12,\overline{6}=\frac{126-12}{9}=\frac{114}{9}=\frac{38}{3}$

Al numeratore abbiamo scritto 126 (il numero iniziale senza virgola) meno 12 (il numero che non fa parte del periodo); al denominatore abbiamo scritto 9, poiché il numero decimale periodico iniziale ha una cifre che fa parte del periodo.

Nell’ultimo passaggio numeratore e denominatore sono stati divisi entrambi per 3, per semplificare la frazione e ridurla ai minimi termini.

Frazione generatrice di un numero decimale illimitato periodico misto

Per ottenere la frazione generatrice di questo numero è sufficiente seguire questi passaggi:

al numeratore si scrive il numero senza virgola, al quale si sottrae la parte del numero che non fa parte del periodo (parte intera)
al denominatore si scrivono:
- un 9 per ogni cifra che fa parte del periodo
- uno 0 per ogni cifra che fa parte dell’antiperiodo

Precisiamo che per antiperiodo si intende la parte del numero decimale che si trova tra la virgola e il periodo, ad esempio:

$2,4\overline{5}=2,45555555555...$

In questo caso l’antiperiodo è il 4.

Esempio 5:

$3,5\overline{2}=\frac{352-35}{90}=\frac{317}{90}$

Al numeratore abbiamo scritto 352 (il numero iniziale senza virgola) meno 35 (il numero che non fa parte del periodo); al denominatore abbiamo scritto 90, poiché il numero decimale periodico iniziale ha una cifra che fa parte del periodo (il 2) – quindi abbiamo scritto un 9 – e una cifra che fa parte dell’antiperiodo (il 5) – quindi abbiamo scritto uno 0.

Esempio 6:

$12,4\overline{78}=\frac{12478-124}{990}=\frac{12354}{990}=\frac{2059}{165}$

Al numeratore abbiamo scritto 12478 (il numero iniziale senza virgola) meno 124 (il numero che non fa parte del periodo); al denominatore abbiamo scritto 990, poiché il numero decimale periodico iniziale ha due cifre che fanno parte del periodo (il 78) – quindi abbiamo scritto due 9 – e una cifra che fa parte dell’antiperiodo (il 4) – quindi abbiamo scritto uno 0.

Nell’ultimo passaggio numeratore e denominatore sono stati divisi entrambi prima per 2 e poi per 3, per semplificare la frazione e ridurla ai minimi termini.