Per risolvere una proporzione può essere utile, in alcuni casi, applicare le proprietà delle proporzioni: una di queste è la proprietà dello scomporre delle proporzioni.
Partiamo dalla seguente proporzione:
a : b = c : d
La proprietà si può applicare nel modo seguente:
(a – b) : a = (c – d) : c
Traducendo a parole il passaggio sopra riportato si può dire che la differenza del primo e del secondo termine sta al primo termine, come la differenza del terzo e del quarto termine sta al terzo termine (primo caso).
In modo alternativo, la proprietà dello scomporre delle proporzioni si può applicare nel modo seguente:
(a – b) : b = (c – d) : d
Traducendo a parole il passaggio sopra riportato si può dire che la differenza del primo e del secondo termine sta al secondo termine, come la differenza del terzo e del quarto termine sta al quarto termine (secondo caso).
Esempio 1
Applicare la proprietà dello scomporre alla proporzione 25 : 5 = 10 : 2
Considerando il primo caso sopra esposto (a – b) : a = (c – d) : c, avremo:
(25 – 5) : 25 = (10 – 2) : 10
Svolgendo le sottrazioni dentro parentesi si ottiene:
20 : 25 = 8 : 10
Applicando la proprietà fondamentale delle proporzioni, verifichiamo che si tratta comunque di una proporzione; infatti:
20 · 10 = 200
25 · 8 = 200
Il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi, quindi la proprietà dello scomporre è stata applicata correttamente.
Esempio 2
Applicare la proprietà dello scomporre alla proporzione 16 : 4 = 12 : 3
Considerando il secondo caso sopra esposto (a – b) : b = (c – d) : d, avremo:
(16 – 4) : 4 = (12 – 3) : 3
Svolgendo le sottrazioni dentro parentesi si ottiene:
12 : 4 = 9 : 3
Applicando la proprietà fondamentale delle proporzioni, verifichiamo che si tratta comunque di una proporzione; infatti:
12 · 3 = 36
4 · 9 = 36
Il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi, quindi la proprietà dello scomporre è stata applicata correttamente.
