Espressioni con le frazioni

Come si svolge una espressione con le frazioni?

In questa lezione vedremo come risolvere una espressione con le frazioni, facendo attenzione alle regole di svolgimento che sono necessarie; faremo riferimento alle regole suggerire da altre lezioni presenti nel nostro sito, in particolare:

Altri contenuti teorici utili verranno suggeriti in seguito svolgendo gli esercizi proposti negli esempi.

Esempio 1 – Espressione con le frazioni senza parentesi

\frac{4}{3}\cdot\frac{4}{5}-\frac{1}{5}+\frac{2}{5}:\frac{3}{2}=

L’espressione dell’esempio proposto non ha parentesi; secondo le regole di svolgimento delle espressioni in generale, il primo passaggio da svolgere prevede di risolvere moltiplicazioni e divisioni, nell’ordine in cui sono scritte (può essere utile leggere come si svolgono moltiplicazioni di frazioni e divisioni di frazioni):

  • Si svolgerà la moltiplicazione \frac{4}{3}\cdot\frac{4}{5}, moltiplicando tra loro i numeratori e i denominatori delle due frazioni, ottenendo \frac{16}{15};
  • Si svolgerà la divisione \frac{2}{5} : \frac{3}{2}, che verrà trasformata in una moltiplicazione, cioè \frac{2}{5} \cdot \frac{2}{3}.

\frac{16}{15}-\frac{1}{5}+\frac{2}{5}\cdot\frac{2}{3}=

Il passaggio successivo prevede di svolgere la moltiplicazione rimasta, cioè \frac{2}{5} \cdot \frac{2}{3}, ottenendo così:

\frac{16}{15}-\frac{1}{5}+\frac{4}{15}=

A questo punto si procede svolgendo addizioni e sottrazioni (può essere utile leggere come si svolgono addizioni di frazioni e sottrazioni di frazioni): essendo frazioni, si deve determinare il minimo comune multiplo dei denominatori, cioè il minimo comune denominatore tra 5 e 15. Essendo 15 multiplo di 5, il denominatore comune è 15, quindi avremo:

\frac{(15:15) \cdot 16-(15:5) \cdot 1+(15:15) \cdot 4}{15}=

Svolgendo i passaggi al numeratore, si ottiene:

\frac{16-3+4}{15}= \frac{17}{15}

Esempio 2 – Espressione con le frazioni con le parentesi

\left [ \left ( \frac{3}{5}+\frac{1}{2} \right ) \cdot \frac{5}{11} \right ]- \frac{1}{3}=

L’espressione dell’esempio proposto ha parentesi tonde e quadre; secondo le regole di svolgimento delle espressioni in generale, il primo passaggio da svolgere prevede di risolvere le operazioni all’interno delle parentesi tonde e, in seguito, quelle all’interno delle quadre.

All’interno delle parentesi tonde è presente un’addizione \left ( \frac{3}{5}+\frac{1}{2} \right ), che si svolge come nel passaggio esposto nell’esempio 1; quindi si avrà:

\left [ \left ( \frac{6+5}{10} \right ) \cdot \frac{5}{11} \right ]- \frac{1}{3}=

Svolgiamo il calcolo all’interno delle parentesi tonde, ottenendo:

\left [ \frac{11}{10} \cdot \frac{5}{11} \right ]- \frac{1}{3}=

Tolte le parentesi tonde, ora è necessario togliere le parentesi quadre, svolgendo la moltiplicazione presente \left [ \frac{11}{10} \cdot \frac{5}{11} \right ]; è possibile semplificare, 11 con 11 e 10 con 5, ottenendo come risultato:

\frac{1}{2} - \frac{1}{3}=

Ora è sufficiente svolgere l’ultima operazione, una sottrazione, ottenendo:

\frac{3-2}{6}= \frac{1}{6}

Guarda la videolezione sotto riportata per un ulteriore esempio!

Vai alla pagina degli esercizi sulle espressioni con le frazioni!

Potenze con esponente negativo

Prima di capire come si calcola la potenza di un numero con esponente negativo, è necessario chiarire cos’è il reciproco di un numero. Questo concetto è estremamente importante nel momento in cui dobbiamo trovare il valore della potenza di un numero al quale è applicato un esponente negativo.

Il reciproco di un numero si ottiene dividendo 1 per il numero iniziale. Vediamo cosa significa questa frase con qualche esempio nella tabella sotto riportata:

Numero iniziale Passaggio da svolgere Reciproco
2 1 : 2 = \frac{1}{2}
+ 5 1 : (+ 5) = +\frac{1}{5}
− 8 1 : (− 8) = -\frac{1}{8}
\frac{3}{4} 1 : \frac{3}{4} = 1 · \frac{4}{3} = \frac{4}{3}
+\frac{5}{7} 1 : \left ( +\frac{5}{7} \right ) = 1 · \left ( +\frac{7}{5} \right ) +\frac{7}{5}
-\frac{9}{13} 1 : \left ( -\frac{9}{13} \right ) = 1 · \left ( -\frac{13}{9} \right ) -\frac{13}{9}
+\frac{1}{10} 1 : \left ( +\frac{1}{10} \right ) = 1 · \left ( +\frac{10}{1} \right ) + 10

In sintesi, per trovare il reciproco di un numero (non frazione), è sufficiente porre quel numero come denominatore di una frazione che ha come numeratore 1. Se, invece, dobbiamo trovare il reciproco di una frazione, è sufficiente cambiare di posto numeratore e denominatore. Attenzione: il segno del numero iniziale (come si può notare anche negli esempi in tabella) non cambia!

Chiarito cos’è il reciproco di un numero, vediamo ora come si calcola la potenza con esponente negativo.

 \left ( a \right )^{-b}

Il passaggio fondamentale consiste nel “togliere il meno” dall’esponente, in modo tale che risulti poi molto semplice svolgere la potenza. Per “rendere positivo” l’esponente, è sufficiente riscrivere la potenza nel modo seguente:

  • nella base scriviamo il reciproco del numero iniziale
  • nell’esponente scriviamo l’esponente iniziale senza il segno meno

In questo modo la potenza diventa:

 \left ( \frac{1}{a} \right )^{b}

Ora risulta molto semplice trovare il risultato, seguendo le regole di svolgimento delle potenze. Vediamo qualche esempio.

Esempio 1

 \left ( +2 \right )^{-3}

In questo esempio abbiamo la base (+ 2) alla quale si deve applicare l’esponente − 3.

Procediamo scrivendo al posto di (+ 2) il suo reciproco e come esponente il numero iniziale ma senza il segno meno (3); in questo modo si ottiene:

 \left ( +\frac{1}{2} \right )^{3}

Ora è sufficiente applicare l’esponente alla base; essendo una frazione, l’esponente 3 va applicato sia al numeratore che al denominatore, ottenendo così:

+\frac{1}{8}

Esempio 2

\left ( -\frac{2}{5} \right ) ^{-2}

In questo esempio abbiamo la base \left ( -\frac{2}{5} \right ) alla quale si deve applicare l’esponente − 2.

Procediamo scrivendo al posto di \left ( -\frac{2}{5} \right ) la sua reciproca e come esponente il numero iniziale ma senza il segno meno (2); in questo modo si ottiene:

\left ( -\frac{5}{2} \right ) ^{2}

Ora è sufficiente applicare l’esponente alla base; essendo una frazione, l’esponente 2 va applicato sia al numeratore che al denominatore, facendo attenzione a cambiare il segno (“meno per meno fa più”) ottenendo così:

+\frac{25}{4}

Vai alla pagina degli esercizi sulle potenze con esponente negativo!